2.3　圆与圆的位置关系练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

2.3　圆与圆的位置关系 一、知识梳理 1. 圆与圆的位置关系 两圆相交 相　交 ________公共点 两圆相切 内切和外切 ________公共点 两圆相离 外离和内含 ________公共点 2. 圆与圆的位置关系的判定 (1) 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置 关系 外　离 外　切 相　交 内　切 内　含 图　示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2) 代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(＋－4F1＞0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(＋ －4F2＞0)，联立方程组可得一元二次方程，则_____________________ 二、课前自测 1.若圆C1：(x＋1)2＋y2＝2与圆C2：x2＋y2－4x＋6y＋m＝0外切，则实数m等于(　　) A. 8 B. 9 C. 5 D. 6 2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4的位置关系为(　　) A.内含 B.外离 C.相交 D.相切 3.(多选题)当实数m变化时，圆x2＋y2＝1与圆(x－m)2＋(y－1)2＝4的位置关系可能是(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 4.已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，则两圆的公切线有________条． 5.求圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋2y－4＝0的公共弦长． 三、课后练习 6.已知圆C1：x2＋y2－4x－4y－2＝0，圆C2：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 7.已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　) A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0 C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0 8.若圆x2＋y2＝2与圆(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r＞0)内切，则r等于(　　) A.4 B.3 C.2 D. 9.已知圆C1：x2＋(y＋m)2＝2与圆C2：(x－m)2＋y2＝8恰有两条公切线，则实数m的取值范围是(　　) A.(1，3) B.(－1，1) C.(3，＋∞) D.(－3，－1)∪(1，3) 10.(多选题)已知圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，点A(3，4)，若圆O上存在两点到点A的距离为2，则r的可能取值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 11.(多选题)已知圆M：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆N：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的圆心不重合，直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，则下列说法正确的是(　　) A.若两圆相交，则l是两圆的公共弦所在直线 B.直线l经过线段MN的中点 C.经过直线l上一点P(在两圆外)作两圆的切线，切点分别为A，B，则PA＝PB D.直线l与直线MN互相垂直 12.已知两圆x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝16(a＞0)外切，则实数a＝________． 13.已知圆E的圆心在y轴上，且与圆x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直线的方程为x－y＝0，则圆E的方程为_________________． 14. 在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：x2＋y2＝15，点 M(1，1)，动点A，B分别在圆C1和圆C2上，且OA⊥OB，N为线段AB的中点，则MN的最小值为________． 15.已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及圆C2：x2＋y2＋ 2x＋2y＋1＝0，求两圆的公共弦所在直线的方程，并求出以两圆的公共弦为直径的圆的标准方程． 16. 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝a2}，若A∩B中有且仅有一个元素，求a的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3　圆与圆的位置关系 一、知识梳理 1. 圆与圆的位置关系 两圆相交 相　交 __有两个____公共点 两圆相切 内切和外切 _只有一个___公共点 两圆相离 外离和内含 ___没有_____公共点 2. 圆与圆的位置关系的判定 (1) 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置 关系 外　离 外　切 相　交 内　切 内　含 图　示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2) 代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(＋－4F1＞0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(＋ －4F2＞0)，联立方程组可得一元二次方程，则____________ 二、课前自测 1.若圆C1：(x＋1)2＋y2＝2与圆C2：x2＋y2－4x＋6y＋m＝0外切，则实数m等于(　C　) A.8 B.9 C.5 D.6 解析：由题意，得C1(－1，0)，C2(2，－3)，r1＝，r2＝.根据两圆外切，得C1C2＝r1＋r2＝＋＝3，解得m＝5. 2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4的位置关系为(　C　) A.内含 B.外离 C.相交 D.相切 解析：根据题意，知圆C1：x2＋y2＝1，其圆心为C1(0，0)，半径r＝1，圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，其圆心为C2(1，－2)，半径R＝2，则圆心距C1C2＝＝，有R－r＜＜R＋r，所以两圆相交． 3.(多选题)当实数m变化时，圆x2＋y2＝1与圆(x－m)2＋(y－1)2＝4的位置关系可能是(　ABC　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 解析：圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1；圆(x－m)2＋(y－1)2＝4的圆心为(m，1)，半径为2，所以圆心距d＝≥1＝2－1.所以这两个圆的位置关系可能是外离、外切、相交，不可能是内含． 4.已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，则两圆的公切线有__3___条． 解析：圆C1：x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心坐标为(3，4)，半径为3，则两圆的圆心距为＝5＝2＋3，所以两圆外切．所以两圆公切线的条数为3. 5.求圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋2y－4＝0的公共弦长． 解析：将圆C1的方程x2＋y2－10x－10y＝0与圆C2的方程x2＋y2－6x＋2y－4＝0相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y－1＝0.因为圆C1的圆心为C1(5，5)，半径r1＝＝5，所以圆心C1到公共弦的距离d＝＝.所以公共弦长为2＝2＝. 三、课后练习 6.已知圆C1：x2＋y2－4x－4y－2＝0，圆C2：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是(　B　) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 解析：圆C1：x2＋y2－4x－4y－2＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝10，其圆心为C1(2，2)，半径R＝，圆C2：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，即(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，其圆心为C2(－1，－4)，半径r＝5，则两圆的圆心距C1C2＝＝3，有5－＜3＜5＋，所以两圆相交． 7.已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　C　) A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0 C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0 解析：根据题意，可知AB的垂直平分线经过两圆的圆心，易得圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为(2，－3)，圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3，0)，所以所求直线的方程为＝，即3x－y－9＝0. 8. 若圆x2＋y2＝2与圆(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r＞0)内切，则r等于(　A　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 解析：根据题意，知圆x2＋y2＝2的圆心为(0，0)，半径为，圆(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r＞0)的圆心为(3，3)，半径为r，两圆的圆心距为3，而圆心(3，3)在圆x2＋y2＝2的外部，即圆x2＋y2＝2是圆(x－3)2＋(y－3)2＝r2(r＞0)的内切圆，所以r＝3＋＝4. 9.已知圆C1：x2＋(y＋m)2＝2与圆C2：(x－m)2＋y2＝8恰有两条公切线，则实数m的取值范围是(　D　) A. (1，3) B. (－1，1) C. (3，＋∞) D. (－3，－1)∪(1，3) 解析：因为圆C1：x2＋(y＋m)2＝2与圆C2：(x－m)2＋y2＝8恰有两条公切线，所以两圆相交．因为圆心C1(0，－m)，半径R＝，圆心 C2(m，0)，半径r＝2，所以C1C2＝|m|.若两圆相交，则满足r－R＜C1C2＜R＋r，即＜ |m|＜3，所以1＜|m|＜3，解得－3＜m＜－1或1＜m＜3.故实数m的取值范围是(－3，－1)∪(1，3)． 10. (多选题)已知圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，点A(3，4)，若圆O上存在两点到点A的距离为2，则r的可能取值为(　BCD　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：根据题意，设以点A为圆心、2为半径的圆为圆A，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，其圆心为(0，0)，半径为r，则OA＝＝5.若圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)上存在两点到点A的距离为2，则圆O与圆A相交，则有r－2＜5＜r＋2，解得3＜r＜7，即r的取值范围是(3，7)．故BCD符合题意． 11.(多选题)已知圆M：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆N：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的圆心不重合，直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，则下列说法正确的是(　ACD　) A. 若两圆相交，则l是两圆的公共弦所在直线 B. 直线l经过线段MN的中点 C. 经过直线l上一点P(在两圆外)作两圆的切线，切点分别为A，B，则PA＝PB D. 直线l与直线MN互相垂直 解析：圆M：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆N：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，联立两圆的方程，有D1x＋E1y＋F1＝D2x＋E2y＋F2.对于A，整理，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，即直线l的方程也为两圆的公共弦所在直线的方程，故A正确．对于B，设圆M的半径为r1，圆N的半径为r2.由题意，可知 M，N，线段MN的中点坐标为.令x＝－，y＝－，则(D1－D2)＋(E1－E2)＋F1－F2＝－－ ＋F1－F2＝＝－ ，所以当且仅当r1＝r2，即两圆的半径相等时，直线l经过线段MN的中点．故B错误．对于C，过直线l上的一点P作圆的两条切线，根据圆的切线长定理或切割线定理，易得PA＝PB，故C正确．对于D，由于M，N，所以直线MN的斜率k1＝.又因为直线l的斜率k2＝－，k1·k2＝－1，所以直线l与直线MN互相垂直．故D正确． 12.已知两圆x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝16(a＞0)外切，则实数a＝___3____． 解析：圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1，圆(x＋4)2＋(y－a)2＝16(a＞0)的圆心为O′(－4，a)，半径R＝4.因为两圆外切，所以OO′＝R＋r，即＝1＋4.又a＞0，所以a＝3. 13.已知圆E的圆心在y轴上，且与圆x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直线的方程为x－y＝0，则圆E的方程为____x2＋(y－)2＝3________． 解析：因为圆E的圆心在y轴上，所以设圆E的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)①.又圆x2＋y2－2x＝0②，①－②，可得x－by＋(b2－r2)＝0.由两圆的公共弦所在直线的方程为x－y＝0，可得b＝，r2＝b2＝3，所以圆E的方程为x2＋(y－)2＝3. 14. 在平面直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：x2＋y2＝15，点 M(1，1)，动点A，B分别在圆C1和圆C2上，且OA⊥OB，N为线段AB的中点，则MN的最小值为__2－___． 解析：由题意，可知ON为Rt△AOB的斜边上的中线，所以ON＝AB.又AB2＝OA2＋OB2＝1＋15＝16，所以ON＝2.所以点N的轨迹是以点(0，0)为圆心、2为半径的圆C3.因为点M在圆C3内，所以MN的最小值即为圆C3的半径减去点M到圆心(0，0)的距离，即MNmin＝2－. 15.已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及圆C2：x2＋y2＋ 2x＋2y＋1＝0，求两圆的公共弦所在直线的方程，并求出以两圆的公共弦为直径的圆的标准方程． 解析：根据题意，圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，联立①－②，得x－y＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x－y＝0.又由圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，知其圆心为C2(－1，－1)，半径r2＝1.因为圆心C2(－1，－1)在直线x－y＝0上，所以以两圆的公共弦为直径的圆即为圆C2，其标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1. 16. 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝a2}，若A∩B中有且仅有一个元素，求a的值． 解析：由A∩B中有且仅有一个元素，可知两圆相切．设圆x2＋y2＝4的圆心为O1(0，0)，圆(x－3)2＋(y－4)2＝a2的圆心为O2(3，4)，所以O1O2＝5＝|a|＋2或5＝||a|－2|，解得a＝±3或a＝±7.综上所述，a的值为±3或±7. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$