2.2　直线与圆的位置关系练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

2.2　直线与圆的位置关系 一、知识梳理 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相　交 相　切 相　离 公共点个数 2 1 0 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d= d＜r d＝r d＞r 代数法： Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二、课前自测 1.若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切， 则b的值是(　　) A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12 D.2或12 2.直线3x＋4y＋1＝0被圆x2＋y2－x＋y＝0所截得的弦长为(　　) A. B. C. D. 3.(多选题)已知直线l经过点P(1，1)且与圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0相切，则直线l的方程可以是(　　) A.y＝1 B.x＝1 C.3x－4y＋1＝0 D.3x＋4y－7＝0 4.直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．若过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝________． 5.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)． (1) 判断直线l与圆C的位置关系； (2) 设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长． 三、课后练习 6.若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，则(　　) A.E≠0，D＝F＝0 B.D≠0，E≠0，F＝0 C.D≠0，E＝F＝0 D.F≠0，D＝E＝0 7.若a2＋b2＝c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝2所截得的弦长为(　　) A. B. C. 2 D. 2 8.已知直线x＋ay－2＝0与圆C：(x－a)2＋(y＋1)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a等于(　　) A.± B. C.± D. 9.(多选题)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0上至多有一点到直线3x＋4y－10＝0的距离为1，则实数m的取值可以是(　　) A.0 B.1 C.3 D.5 10.(多选题)已知直线l：mx－(2－m)y＋1－m＝0，圆C：x2＋y2－2x＝0，则下列结论正确的是(　　) A.直线l与圆C恒有两个公共点 B.圆心C到直线l的最大距离是 C.存在一个m的值，使直线l经过圆心C D.当m＝1时，圆C与圆x2＋(y－1)2＝1关于直线l对称 11.经过点A(2，－1)且和圆C：x2＋y2－6x－6y＋1＝0相切的直线l的方程为__________． 12.已知经过点P(－1，1)作圆x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0的切线有两条，则实数a的取值范围是________． 13.已知圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝9，经过点 M(1，1)的直线l与圆C交于A，B两点，则弦长AB最短时直线l的方程为______________． 14.已知直线的方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆满足： (1) 有两个公共点； (2) 只有一个公共点； (3) 没有公共点． 15.已知圆心为C的圆经过点A(－4，1)，B(－3，2)，且圆心C在直线l：x－y－2＝0上． (1) 求圆C的标准方程； (2) 若经过点P(3，－1)作直线m交圆C于点M，N且MN＝8，求直线m的方程． 16. ① 圆经过点C；② 圆心在直线x＋y－2＝0上；③ 圆截y轴所得的弦长为8且圆心E的坐标为整数．从上述三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解． 已知圆E经过点A(－1，2)，B(6，3)且________．求： (1) 圆E的方程； (2) 以M(2，1)为中点的弦所在直线的方程． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2　直线与圆的位置关系 一、知识梳理 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相　交 相　切 相　离 公共点个数 2 1 0 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d= d＜r d＝r d＞r 代数法： Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二、课前自测 1.若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切， 则b的值是(　D　) A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12 D.2或12 解析：圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心坐标为(1，1)，半径r＝＝1.因为直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，所以圆心(1，1)到直线3x＋4y＝b的距离d＝＝1，解得b＝2或b＝12. 2.直线3x＋4y＋1＝0被圆x2＋y2－x＋y＝0所截得的弦长为(　C　) A. B. C. D. 解析：因为圆x2＋y2－x＋y＝0的圆心坐标为，半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以所求弦长为2＝. 3.(多选题)已知直线l经过点P(1，1)且与圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0相切，则直线l的方程可以是(　BD　) A.y＝1 B.x＝1 C.3x－4y＋1＝0 D.3x＋4y－7＝0 解析：由x2＋y2－4x＋2y＋4＝0，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以该圆的圆心坐标为(2，－1)，半径为1.当经过点P(1，1)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，直线l与圆相切，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0.由题意，得＝1，解得k＝－.所以直线l的方程为3x＋4y－7＝0.综上所述，直线l的方程可以是x＝1或3x＋4y－7＝0. 4.直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．若过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝___6____． 解析：由题意，知直线l经过圆心C(2，1)，所以2＋a－1＝0，解得a＝－1.又因为圆C的半径r＝2，所以AB＝＝＝6. 5.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)． (1) 判断直线l与圆C的位置关系； (2) 设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长． 解析：(1) 直线l的方程可变形为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1，1)．又＝1＜，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交． (2) 由题意，知m≠0，所以直线l的斜率k＝m.又因为k＝tan 120°＝－，所以m＝－.所以圆心C(0，1)到直线l： x＋y－－1＝0的距离d＝＝.因为圆C的半径r＝，所以AB＝2＝2＝. 三、课后练习 6.若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，则(　A　) A.E≠0，D＝F＝0 B.D≠0，E≠0，F＝0 C.D≠0，E＝F＝0 D.F≠0，D＝E＝0 解析：由题意，得圆心坐标为.因为圆与x轴相切于原点，所以圆心在y轴上．所以D＝0，E≠0，半径为＝，化简，可得F＝0. 7.若a2＋b2＝c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝2所截得的弦长为(　C　) A. B. C. 2 D. 2 解析：圆的圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离为，因为a2＋b2＝c2(c≠0)，所以＝＝1，半弦长为＝1.所以直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝2所截得的弦长为2. 8.已知直线x＋ay－2＝0与圆C：(x－a)2＋(y＋1)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a等于(　A　) A.± B. C.± D. 解析：由圆C的半径为2，可得等边三角形ABC的边长为2，所以圆心C(a，－1)到直线x＋ay－2＝0的距离为，即＝，解得a＝±. 9.(多选题)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0上至多有一点到直线3x＋4y－10＝0的距离为1，则实数m的取值可以是(　BC　) A.0 B.1 C.3 D.5 解析：由x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，得(x－1)2＋(y＋2)2＝5－m，则5－m＞0，解得m＜5.因为圆心(1，－2)到直线3x＋4y－10＝0的距离d＝＝3，所以要使圆x2＋y2－2x＋4y＋m＝0上至多有一点到直线3x＋4y－10＝0的距离为1，则3－≥1，即m≥1.所以m的取值范围是[1，5)．结合选项，可知实数m的取值可以是1，3. 10.(多选题)已知直线l：mx－(2－m)y＋1－m＝0，圆C：x2＋y2－2x＝0，则下列结论正确的是(　AD　) A.直线l与圆C恒有两个公共点 B.圆心C到直线l的最大距离是 C.存在一个m的值，使直线l经过圆心C D.当m＝1时，圆C与圆x2＋(y－1)2＝1关于直线l对称 解析：由直线l：mx－(2－m)y＋1－m＝0，即m(x＋y－1)－2y＋1＝0，令解得则直线l过定点P.将圆C的方程x2＋y2－2x＝0化为(x－1)2＋y2＝1，则圆心坐标为C(1，0)．因为PC＝＝＜1，所以点P在圆C内部．所以直线l与圆C恒有两个公共点，故A正确．圆心C到直线l的最大距离为PC＝，故B错误．因为直线系方程mx－(2－m)y＋1－m＝0不包含直线x＋y－1＝0(无论m取何值)，而经过点P的直线只有直线x＋y－1＝0经过圆心C(1，0)，故C错误．当m＝1时，直线l的方程为x－y＝0，圆C的圆心坐标为(1，0)，半径为1，圆x2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(0，1)，半径为1，两圆的圆心关于直线x－y＝0对称，且半径相等，则当m＝1时，圆C与圆x2＋(y－1)2＝1关于直线l对称，故D正确． 11.经过点A(2，－1)且和圆C：x2＋y2－6x－6y＋1＝0相切的直线l的方程为__x＋4y＋2＝0__． 解析：由题意，可知A为圆C上一点，圆C的圆心坐标为(3，3)，所以kAC＝＝4，则直线l的斜率为－.所以直线l的方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋4y＋2＝0. 12.已知经过点P(－1，1)作圆x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0的切线有两条，则实数a的取值范围是__(1，2)___． 解析：因为经过点P(－1，1)作圆x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0的切线有两条，所以点P(－1，1)在圆外，故点P到圆心的距离大于圆的半径．圆x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0，即 ＋(y－1)2＝3－a2，所以圆心为，r2＝3－a2＞0①， ＋(1－1)2＞ 3－a2②.解①可得－2＜a＜2，解②可得a＞1或a＜－2.因为①②需同时成立，所以实数a的取值范围是(1，2)． 13.已知圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝9，经过点 M(1，1)的直线l与圆C交于A，B两点，则弦长AB最短时直线l的方程为___2x＋y－3＝0____． 解析：根据题意，知圆C的圆心为C(3，2)，半径r＝3，点M(1，1)在圆C的内部．易知当CM与AB垂直，即M为AB的中点时，弦长AB最短，此时kCM＝＝，则kAB＝－2，直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0. 14.已知直线的方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆满足： (1) 有两个公共点； (2) 只有一个公共点； (3) 没有公共点． 解析：方法一：将直线的方程mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得 (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，Δ＝4m(3m＋4)． (1) 当Δ＞0，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. (2) 当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. (3) 当Δ＜0，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2，1)，半径r＝2.圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝. (1) 当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2) 当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. (3) 当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 15.已知圆心为C的圆经过点A(－4，1)，B(－3，2)，且圆心C在直线l：x－y－2＝0上． (1) 求圆C的标准方程； (2) 若经过点P(3，－1)作直线m交圆C于点M，N且MN＝8，求直线m的方程． 解析：(1) 由已知，得kAB＝1，AB的中点坐标为，所以线段AB的垂直平分线的方程为x＋y＋2＝0.联立解得所以圆心为C(0，－2)，半径r＝AC＝5.所以圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝25. (2) 由MN＝8，可得圆心C到直线m的距离d＝＝3，所以当直线m的斜率不存在时，其方程为x＝3，符合题意；当直线m的斜率存在时，设其方程为y＋1＝k(x－3)，即kx－y－3k－1＝0，则d＝＝3，解得k＝－，此时其方程为4x＋3y－9＝0.所以直线m的方程为x＝3或4x＋3y－9＝0. 16. ① 圆经过点C；② 圆心在直线x＋y－2＝0上；③ 圆截y轴所得的弦长为8且圆心E的坐标为整数．从上述三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，进行求解． 已知圆E经过点A(－1，2)，B(6，3)且________．求： (1) 圆E的方程； (2) 以M(2，1)为中点的弦所在直线的方程． 解析：(1) 选条件①，设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意，得解得所以圆E的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝25.选条件②，设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆E经过点A(－1，2)，B(6，3)，且圆心在直线x＋y－2＝0上，所以有解得所以圆E的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝25. 选条件③，设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由圆E经过点A(－1，2)，B(6，3)，得又因为圆截y轴所得的弦长为8，所以方程y2＋Ey＋F＝0的两个实数根y1，y2的差的绝对值为8.所以|y1－y2|＝＝＝8，即E2－4F＝64.解方程组得或由于圆心E的坐标为整数，故圆E的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝25. (2) 由(1)，知圆心为E(3，－1)，弦中点为M(2，1)，所以kME＝＝－2，弦所在直线的斜率k＝－＝.所以弦所在直线的方程为y－1＝(x－2)，即y＝x. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$