精品解析：河北省邯郸市育华中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷

邯郸市育华中学22-23学年高一第二学期第一次月考数学 试卷时间：120分钟满分：150分 一､选择题（本题共9小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 化简的结果等于（ ） A B. C. D. 2. 设是两个不平行向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 已知命题：向量，所在的直线平行，命题：向量，平行，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4 已知向量不共线，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 5. 在中，已知D是AB边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 已知，则向量在向量方向上的投影向量的长度为（ ） A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 8. 如图，是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知是一组不共线的向量，集合，，则关于集合说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共5小题.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 10. 设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ） A. 若，则存实数，使得. B. 若，则. C. 若，则，反向. D. 若，则，一定同向 11. 设是平面内一组基底，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知非零平面向量，，，则说法正确的是（ ） A. 存在唯一的实数对，使 B. 若，则 C. D. 若，则 13. 如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知中，O是边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题（本大题共4小题） 15. 若是相反向量，且，则__________. 16. 设，是不共线向量，与共线，则实数为__________． 17. 已知向量满足，则与的夹角为__________. 18. 在中，若，则点是的__（填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）． 四､解答题（本大题共76个大题，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 19. （1） （2） 20. 在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，设，用表示向量及向量. 21. 已知， ，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 22. 已知向量的夹角为，且，，设，. （1）试用t来表示的值； （2）若与的夹角为钝角，试求实数t的取值范围. 23. 已知两个不共线向量的夹角为，且为正实数 （1）若与垂直，求； （2）若，求的最小值，并证明此时与垂直. 24. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 25. 如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝. （1）用表示向量； （2）若点F在AC上，且，求AF∶CF. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邯郸市育华中学22-23学年高一第二学期第一次月考数学 试卷时间：120分钟满分：150分 一､选择题（本题共9小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 化简的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量加法法则及相反向量计算即可. 【详解】， 故选：B. 2. 设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的知识确定正确答案. 【详解】依题意，不共线， A选项，不存在使， 所以和可以组成基底. B选项，不存在使， 所以和可以组成基底. C选项，， 所以和不能构成基底. D选项，不存在使， 所以和可以组成基底. 故选：C 3. 已知命题：向量，所在的直线平行，命题：向量，平行，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义可解． 【详解】因为向量，所在的直线平行时，可得向量，平行，则充分性成立， 而向量，平行时，向量，所在的直线平行或重合，则必要性不成立， 则命题是的充分不必要条件， 故选：A． 4. 已知向量不共线，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解. 【详解】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误. 故选：B 5. 在中，已知D是AB边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的减法运算即可得到答案． 【详解】由可得 则有， 可得，所以 故选：B 6. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将平方开根号，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】解：． 故答案为：A. 7. 已知，则向量在向量方向上的投影向量的长度为（ ） A. －4 B. 4 C. －2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的知识求得正确答案. 【详解】依题意，向量在向量方向上的投影向量的长度为. 故选：B 8. 如图，是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，设，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合向量线性运算求解即可. 【详解】因为是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点， 所以. 故选：C. 9. 已知是一组不共线的向量，集合，，则关于集合说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线以及向量基本定理结合集合间的关系得出答案. 【详解】集合表示所有与共线的向量，而集合则表示平面内所有与和共面的向量 故选：B 二､多选题（本题共5小题.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.） 10. 设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（ ） A. 若，则存在实数，使得. B. 若，则. C. 若，则，反向. D. 若，则，一定同向 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量加法的意义判断选项A，C；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断选项B；根据平面向量平行的性质可判断选项D. 【详解】对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且， 则存在实数，使得，故选项A错误； 对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长， 则，故选项B正确； 对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误； 对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误； 综上所述：选项ACD错误， 故选：ACD. 11. 设是平面内一组基底，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由平面向量基本定理可得，再逐一分析每一个选项即得解. 【详解】由，是平面内一组基底，且，得， 则，，，，ABC正确，D不正确. 故选：ABC 12. 已知非零平面向量，，，则说法正确的是（ ） A. 存在唯一的实数对，使 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】假设与共线，与，都不共线，可判断A；根据向量垂直的数量积表示及向量共线的概念可判断B；向量的数量积的定义可判断C；根据向量数量积法则，可判断D. 【详解】A选项，若与共线，与，都不共线，则与不可能共线，故A错； B选项，因为，,是非零平面向量，若，则，，所以，故B正确； C选项，因为，故C正确； D选项，若，则， ，所以，故D错误. 故选：BC. 13. 如图，在中，若点，，分别是，，的中点，设，，交于一点，则下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量的加减法则进行判断. 【详解】根据向量减法可得，故A正确； 因为是的中点，所以，故B正确； 由题意知是的重心， 则，故C错误； ，故D错误. 故选：AB. 14. 已知中，O是边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线，于不同的两点M，N，设，，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量基本定理，用表达出，用向量共线基本定理的推论结合题干信息进行求解得到. 【详解】，A正确，B错误； 因为，，所以， 又因为三点共线， 所以，故，C正确，D错误 故选：AC 三､填空题（本大题共4小题） 15. 若是相反向量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用互为相反向量意义，数量积的定义计算得解. 【详解】是相反向量，且，则. 故答案为： 16. 设，是不共线向量，与共线，则实数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行列出方程组，求出实数的值. 【详解】因为，是不共线向量，与共线， 所以存在实数使得，所以， 解得：. 故答案为： 17. 已知向量满足，则与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积公式，求得的值，再根据夹角公式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 又因为，所以. 故答案为： 18. 在中，若，则点是的__（填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）． 【答案】垂心 【解析】 【分析】由，根据数量积的运算律得到，从而得出，同理得，，即可得解． 详解】解：， ， ， ， ， ， 同理可得：，，故点是的垂心. 故答案为：垂心． 四､解答题（本大题共76个大题，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 19. （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）（2）利用向量线性运算计算即得. 【详解】（1）. （2） . 20. 在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，设，用表示向量及向量. 【答案】； 【解析】 【分析】用平面基底向量表示向量，结合平面向量线性运算求解. 【详解】∵A是的中点，则， 故， ， 故. 21. 已知， ，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可求的值； （2）利用向量数量积求出，，再由向量数量积求夹角的余弦值. 【小问1详解】 ， 由，得，所以. 【小问2详解】 因为， ， 所以，. 令向量与的夹角为θ， 则， 即向量与夹角的余弦值是. 22. 已知向量的夹角为，且，，设，. （1）试用t来表示的值； （2）若与的夹角为钝角，试求实数t的取值范围. 【答案】（1）；（2）且． 【解析】 【分析】（1）由数量积的运算律计算． （2）由解得的范围，排除反向的值． 【详解】（1）由已知， ． （2）与的夹角为钝角，则，， 设，即，则，解得，此时与方向相反． 所以的取值范围是且． 【点睛】本题考查向量的数量积运算，掌握平面向量数量积运算律是解题关键．时，与的夹角为钝角或平角，即向量方向相反时，数量积也小于0.注意检验排除． 23. 已知两个不共线的向量的夹角为，且为正实数 （1）若与垂直，求； （2）若，求的最小值，并证明此时与垂直. 【答案】（1）； （2），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的运算律求出，再利用夹角公式计算即得. （2）利用数量积的运算律结合二次函数求出最小值，再利用垂直关系的向量表示即可得证. 【小问1详解】 由与垂直， 得， 解得，所以. 【小问2详解】 当时，， ， 当且仅当时取等号，此时，即与垂直， 所以当时，取得最小值，且与垂直. 24. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 【答案】（1）1 （2）9 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得. （2）先求得，然后利用转化法求得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 故. 【小问2详解】 ， ， 为菱形，， 所以， . 25. 如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝. （1）用表示向量； （2）若点F在AC上，且，求AF∶CF. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算法则求解； （2）设＝λ(0＜λ＜1)，由向量线性运算用表示出，再与已知比较求得后即可得． 【小问1详解】 因为＝－＝，点D是AC的中点， 所以＝＝()， 因为点E是BD的中点， 所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝. 【小问2详解】 设＝λ(0＜λ＜1)， 所以＝＋＝＋λ＝，. 又＝，所以λ＝， 所以＝，所以AF∶CF＝4∶1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$