第21章一元二次方程 自主学习同步练习题 2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024-2025学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 3．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C．2024 D．2025 7．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A． B． C．或1 D．或3 8．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知关于x的方程的一个根是1，则另一个根是 ． 10．若实数x满足，则 ． 11．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为 ． 12．若两个不同的实数m、n满足，，则 ． 13．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 ． 14．定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则 15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为 ． 16．现有一张矩形纸片，其周长为36cm，将纸片的四个角各剪下一个边长为的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的底面积是，设原矩形纸片的长是，那么可列出方程为 ． 三、解答题 17．解方程 (1) (2) 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 19．某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根． (2)若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根． ①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； ②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ 21．东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 22．重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， (1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； (2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 参考答案： 1．解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、，即是一元二次方程，不符合题意； 故选：D． 2．解：， ， ， 将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1， ， 解得：， ， 则该方程中的一次项系数为5， 故选A． 3．解：∵关于的一元二次方程的根为， ∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴这个方程为． 故选：D 4．解： ， ∴， ∴， 故选：D． 5．解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 又∵方程是一元二次方程， ∴， 即， 故的取值范围为：且， ∴的最小整数值为． 故选：A． 6．解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ， 故选：A． 7．解：依题意得：， 即：， ， 解得：或， 当时，原方程为：， ，则不符合题意； 当时，原方程为：， ，则符合题意； 综上所述，的值为， 故选A． 8．解：设每次降价的百分率为，由题意得： ， 故选：D． 9．解：设关于x的方程的两根分别为1和a， 则有：，即：． 故答案为：． 10．解：设， ∵， ∴， 解得：或， 当时，即：， ∵， ∴此时无解，舍去； ∴， 故答案为：6． 11．解：∵关于的一元二次方程的两根为， ∴， ∴， 解得：， 经检验均为所列方程的解， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴舍去． 故答案为：4． 12．解：由题可得：，， ∴m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．解：∵， ∴， 则或， 解得， ①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去； ②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形， 所以该等腰三角形的周长为， 故答案为：16． 14．解：（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∴方程 是 “倍根方程”． 故答案为：是； （2）解方程得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 故答案为：或． 15．解：设主干长出个支干，小分支的数量为（个）， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 16．解：设原矩形纸片的长是 ，则宽为 ， 长方体纸盒的长为 ，宽为 ，高为， 由长方体的底面积是得：． 故答案为：． 17．解：（1）∵ ∴ ∴或 ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 18．（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 19．解：设这种画册每本降价x元， 由题意可得，， 整理得， 解得，， ∵要求每本售价不低于55元， ∴符合题意． 故每本画册应降价4元． 20．（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴， ∴，即，解得， 方程化为，解得， ∴菱形的边长为2． ②设， ∵且AB，AD的长是方程的两个实数根． ∴，， ∴消去，得，即， ∴平行四边形的周长为 21．解：（1）道路的宽为米, 由题意得： 整理得： 解得： (不合题意，舍去)， 答：道路的宽是米； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元, 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让利于居民， ， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 22．（1）解：设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； （2）第一次购买大罗非的数量是（斤）． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：m的值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $$