精品解析：2024年河南漯河市中考数学模拟押题试题

2024年中考模拟押题预测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在，，，这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 首先求出，0，2，这四个数的绝对值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可． 【详解】解：，，，， ， 在，0，2，这四个数中，绝对值最小的数是0． 故选：B． 2. 世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.000052克．数0.0000052用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数0.0000052用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 古代中国建筑之魂——传统的榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体三视图，利用三视图的定义是解题关键． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：从正面看整体是一个长方形，但是长方形上方有一部分没有封闭，故A、B不符合题意，而从正面看立体图形中的小长方形的棱是能看见的，故不能是虚线，故D不符合题意， 故选：C． 4. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示，下列关于“月用水量”的数据分析说法正确的是（ ） 月用水量吨 户数 A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 众数是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差，根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可，熟练掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是解题的关键． 【详解】、这组数据的平均数为（吨），故此选项不符合题意； 、根据，中位数应为第，的平均数（吨），故此选项不符合题意； 、方差是，故此选项符合题意； 、这组数据出现次数最多的是吨，共出现次，所以用水量的众数是吨，故此选项不符合题意； 故选：． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式的运算法则．根据合并同类项法则，积的乘方公式，平方差公式，完全平方公式一一判断即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，本选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．判断出判别式的值，可得结论． 【详解】解：对于一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 李阿姨有三件上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条裙子，分别为灰色和黑色，某天她准备出门时，随机拿出一件上衣和一条裙子穿上，则恰好为白色上衣和灰色裙子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好是白色上衣和灰色裙子的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，恰好是白色上衣和灰色裙子的有1种情况， ∴恰好是白色上衣和灰色裙子的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，在△ABC中，，D点在边上，，P为边上一点，当时，的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过P作于E，于F，根据相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过P作于E，于F， ∴四边形为矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ 设，则， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定得出进行解答． 9. 若函数与的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 先求得两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：函数与的图象交于点， ， ， 关于，的二元一次方程组的解是， 故选：D． 10. 如图，等边的边长为1，D是边上的一动点，过点D作边的垂线，交于点G，设线段的长度为x，的面积为y，则y关于x的函数图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的先关知识，解答关键是分析动点到达临界点前后的图形变化．根据题意可知，点为临界点，分别研究在点两侧时的情况即可． 【详解】解：当时，， ∵是等边三角形 ∴ ， ， 根据解析式可知正确， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握以上知识． 根据分母不为零，被开方数大于等于零，列式，解答即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 若关于x的不等式组的解集中只有4个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用含a的式子表示不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围． 【详解】解：由可得， 由可得， ∴． ∵不等式组只有4个整数解，即， 则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的整数解，正确求出不等式的解集，确定的范围，是解决本题的关键． 13. 如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理、三角形外角与内角的关系．首先连接、、，根据三角形内切圆的性质可知：，，平分，平分，在中，，根据，可以求出，从而可以求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得． 【详解】解：如下图所示，连接、、， 是的内切圆， ，，平分，平分， ， ， ，， 在中，， ， 又， ， 是的外角， ， ． 故答案为：． 14. 如图，等腰中，以C为圆心，任意长为半径作弧交于点D，E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线，交于点M，过点M作于N．若，则的长为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，先根据作图过程判断出是的平分线，再根据等腰直角三角形的性质以及，进而求解即可． 【详解】解：由题意，，， 由作图过程得是的平分线， ∴， ∵， ∴，又， ∴，即， 故答案为：10． 15. 如图，在中，，，，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质，最短距离等知识点．作，设的长为，分别用含的代数式表示出，的长，然后利用“两点之间，线段最短”可知，的最小值，进而即可得到答案． 【详解】解：作，设的长为，作， 将点绕点顺时针旋转得到点， ，， ， ，，， ，， ， ， 将它们表示在平面直角坐标系上，如图2， 利用“两点之间，线段最短”可知，的最小值即为的长， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）． （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）4；（2），所有整数解为 【解析】 【分析】（1）根据乘方、负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零次幂，绝对值分别计算即可； （2）先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，进而可得所有整数解． 【详解】（1） ； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 它的所有整数解为． 【点睛】本题考查乘方、负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零次幂，解一元一次不等式组及整数解．熟练掌握相关知识是解题的关键． 17. “卡塔尔世界杯”已经闭幕，足球运动备受人们的关注．某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中的值为______． （2）若该中学共有学生人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识“不了解”和“了解很少”的总人数为______人． （3）若从足球运动达到“非常了解”程度的名男生和名女生中随机抽取人解说一场足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率． 【答案】（1）7 （2）510 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列举法求概率等： （1）根据条形统计图所给数据求解即可； （2）利用样本估计总体即可求解； （3）通过画树状图列出所有等可能的结果，再从中找出符合条件的结果，最后利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：人； 故答案为：． 【小问2详解】 解：达到“不了解”和“了解很少”程度的总人数为： 人； 故答案为：． 小问3详解】 解：由题意画树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的结果有种，恰好抽到名男生和名女生的结果有种， 恰好抽到名男生和名女生． 18. 如图，一次函数与反比例函数图象相交于、两点，过点作轴，垂足为，连接，已知点的坐标是，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点为反比例函数在第一象限内的图象上一点，若，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）根据图象即可求解； （）先求出的面积，设点的坐标为，表示出的面积，根据，列出方程即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：点在上， ， ∴反比例函数解析式为， ，轴， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ， 点、在一次函数图象上， ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象可得，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：， 设点坐标为， ∵，轴， ∴， ∴， ∵， ， ， ． 19. 数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，在河岸边的处，兴趣小组令一架无人机沿的仰角方向飞行130米到达点A处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．（参考数据：， （1）求无人机的飞行高度； （2）求的长． 【答案】（1）无人机的飞行高度为120米 （2）河流的宽度约为172米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法． （1）由题意可得，再代入数据计算即可； （2）过点作，垂足为，先求出米，再在中，根据，求得的长，最后再求解即可． 【小问1详解】 由题意可知，米，， （米）， 无人机的飞行高度为120米； 【小问2详解】 过点作，垂足为， 由题意可得，四边形是矩形， 米，米， （米）， 在中，，即：， （米， （米， （米， 答：河流的宽度约为172米． 20. 已知点在上． （1）如图①，过点作的切线，交延长线于点是弧的中点，连接并延长，交于点，交于点，交切线于点，连接．若，求的大小； （2）如图②，若，的半径为5，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据圆的切线的性质，得到，再根据圆周角定理，得到，进而得到，然后结合垂径定理求解即可； （2）连接，过作，垂足为，根据圆周角定理，推出，是等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理，求出，即可得到的长． 【小问1详解】 解：如图，连接， 为的切线，为切点， ，． ， ， ， 是弧的中点， ，． 在中，． 【小问2详解】 解：如图，连接，过作，垂足为， ，， ， ，． ，是等腰直角三角形， ，， ，， 在中，， ． 21. 现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】（1）1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨 （2）该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【解析】 【分析】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a、b均为非负整数，即可得出各租车方案． 【小问1详解】 设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨， 由题意得： ， 解得：， 答：1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨； 【小问2详解】 由题意得：， ∴， 又∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． 22. 高台跃下，凌空旋转，天际中滑翔出优美曲线；跳台滑雪简称“跳雪”，运动员沿着助滑道飞速下滑，在起跳点腾空，身体在空中沿抛物线飞行直至着陆坡，主要考核运动员的飞行距离和动作姿势．在这项运动里，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过起跳点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．飞行中某一时刻当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，高出水平线的高度为60米． （1）求抛物线所对应的函数表达式． （2）若运动员在高出水平线10米的小山坡上着地，求此时运动员降落点到A点的水平距离． （3）在（2）的条件下，当运动员滑行中与小山坡的竖直距离最大时，求运动员运动的水平距离． 【答案】（1） （2）到A点的水平距离120米时，运动员在距地10米的小山坡上着地 （3）当运动员与小山坡的竖直距离最大时，运动员运动的水平距离50米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键． （1）将代入，求出即可； （2）由题意将代入，解方程即可解决； （3）把代入求出表达式，从而得出关于x的函数表达式，根据二次函数性质即可解决． 【小问1详解】 解：把代入， ， 解得， ∴抛物线所对应的函数表达式； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得（舍去）， 答：到A点的水平距离120米时，运动员在距地10米的小山坡上着地． 【小问3详解】 把代入， 解得， ， ， ， 时，值最大， 答：当运动员与小山坡的竖直距离最大时，运动员运动的水平距离50米． 23. 发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理证得，再证明得到即可求解； （2）先求得，再证明得到，，由求解即可； （3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7； （2）∵长方形的周长为36，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即四边形的面积为48； （3）连接，如图， 由题意知B、F关于对称， ∴， ∴， 当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 则，， 即当最小时，多边形的面积为：， ∴多边形的面积为144． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考模拟押题预测数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在，，，这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也只有0.000052克．数0.0000052用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 古代中国建筑之魂——传统榫卯结构，榫卯是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式，是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图所示是榫卯结构中的一个部件，它的主视图是（ ） A. B. C D. 4. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示，下列关于“月用水量”的数据分析说法正确的是（ ） 月用水量吨 户数 A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 众数是 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 李阿姨有三件上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条裙子，分别为灰色和黑色，某天她准备出门时，随机拿出一件上衣和一条裙子穿上，则恰好为白色上衣和灰色裙子的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，，D点在边上，，P为边上一点，当时，的值为（　　） A. B. C. D. 9. 若函数与的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边的边长为1，D是边上的一动点，过点D作边的垂线，交于点G，设线段的长度为x，的面积为y，则y关于x的函数图象正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 12. 若关于x的不等式组的解集中只有4个整数解，则a的取值范围是______． 13. 如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则________． 14. 如图，等腰中，以C为圆心，任意长为半径作弧交于点D，E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线，交于点M，过点M作于N．若，则的长为_____________． 15. 如图，在中，，，，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，则最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）． （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 17. “卡塔尔世界杯”已经闭幕，足球运动备受人们的关注．某中学对部分学生就足球运动的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅统计图． 根据图中信息回答下列问题： （1）接受问卷调查的学生共有人，条形统计图中的值为______． （2）若该中学共有学生人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识“不了解”和“了解很少”的总人数为______人． （3）若从足球运动达到“非常了解”程度的名男生和名女生中随机抽取人解说一场足球赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，过点作轴，垂足为，连接，已知点的坐标是，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点为反比例函数在第一象限内图象上一点，若，求点的坐标． 19. 数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，在河岸边的处，兴趣小组令一架无人机沿的仰角方向飞行130米到达点A处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．（参考数据：， （1）求无人机飞行高度； （2）求的长． 20. 已知点在上． （1）如图①，过点作的切线，交延长线于点是弧的中点，连接并延长，交于点，交于点，交切线于点，连接．若，求的大小； （2）如图②，若，的半径为5，，求的长． 21. 现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案． 22. 高台跃下，凌空旋转，天际中滑翔出优美曲线；跳台滑雪简称“跳雪”，运动员沿着助滑道飞速下滑，在起跳点腾空，身体在空中沿抛物线飞行直至着陆坡，主要考核运动员的飞行距离和动作姿势．在这项运动里，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过起跳点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．飞行中某一时刻当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，高出水平线的高度为60米． （1）求抛物线所对应的函数表达式． （2）若运动员在高出水平线10米的小山坡上着地，求此时运动员降落点到A点的水平距离． （3）在（2）的条件下，当运动员滑行中与小山坡的竖直距离最大时，求运动员运动的水平距离． 23. 发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$