精品解析：2024年山东聊城市中考数学押题模拟预测试题

2024年中考押题模拟预测卷 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 计算的结果是（ ） A. 2024 B. C. D. 1 2. 剪纸艺术是中国优秀传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，俯视图是（ ） A. B. C D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，的顶点C在直线b上，直线a交于点E， 交于点F，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 某中学八年级举行春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度是第二小组的1.2倍，第一小组比第二小组早到达目的地，求两个小组的步行速度．若设第二小组的步行速度为，则可列出方程为（ ） A. B. C D. 8. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比，已知，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与x轴重合，将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，以此类推……，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，，则______． 12. 现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为___________． 13. 某水果种植基地通过网红带货形式出售一批黄桃．如图，线段反映了黄桃的日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）之间的函数关系，已知1kg的黄桃的种植成本是4元．如果某天该网络平台黄桃的售价为9元/kg，那么该天销售黄桃所获得的利润是 _________元． 14. 如图，在中，是的直径，，是上的点，如果，那么的度数为______． 15. 如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为______． 16. 如图，的圆心的坐标是，半径为，在直角坐标系中，为直线上的动点，过作的切线，切点为，则切线长的最小值是 ________________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算： （2）解不等式组 18. 垃圾分类齐参与，美好生活共创建．为巩固创文成果，某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶．已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少元，且元购买甲型垃圾桶的数量与元购买乙型垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价； （2）若需购买甲，乙两种型号的垃圾桶共个，总费用不超过元，至少需购买甲型垃圾桶多少个？ 19. 某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练，每人踢五次，训练结束后，把结果制成了如图，所示不完整的折线统计图和扇形统计图． （1）“进球次”所在扇形的圆心角是 ；请补充完整折线统计图； （2）若有一名新队员加入足球队，经过五次定点射门后，把进球的结果与原进球结果组成一组新数据，发现平均数变小，求此队员进球的最大值； （3）在此次定点射门训练中进球次的队员中有名女生． 学校想从进球次的队员中选人参加比赛，请通过列表或树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率． 20. 如图，在中，于点，于点，与、分别交于点，． （1）求证： （2）若，求证四边形是菱形 21. “为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． （1）请求出观测点C到公路的距离； （2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：） 22. 如图，中，，以为直径的交于点D，过点D分别作于点E，于点F，延长交于点G，延长分别交于点H，交于点M． （1）求证：是的切线； （2）若，求，的长． 23. 如图，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点D是线段上的动点，连接、，若点A关于的对称点恰好在该抛物线的对称轴上，求点D的坐标； （3）如图2，动点P在直线下方的抛物线上，过点P作于点E，交线段于点F，过点F作轴于点G，求的最大值． 24. 王老师在组织同学们进行第一轮数学总复习时，对苏科版八年级下册数学教材第94页第19题进行了重新的探究，请你和王老师一起完成如下的问题探究： 问题初探： （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为M．那么与相等吗？ 直接判断： _____（填“=”或“≠”）； 问题迁移： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你结论； 问题延伸： （3）王老师将图2的四边形沿翻折得四边形，如图3，点P是点C的对应点，点Q是点D的对应点，已知正方形的边长为9，． ①若线段恰好经过点B，如图4，求的长． ②在图3中，连接，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考押题模拟预测卷 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 计算的结果是（ ） A. 2024 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．先把原式变形为，然后逆用积的乘方法则计算． 【详解】解： 故选C． 2. 剪纸艺术是中国优秀的传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 3. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，据此可以解答． 【详解】解：． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 4. 如图，俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，俯视图是从上往下看，即可得到结果，正确得到俯视图是解题的关键． 【详解】解：从上往下看，是一个矩形，看不见的线为虚线，所以左右两边为两条虚线，在两条虚线的中间有两条实线， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方进行计算即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6. 如图，直线，的顶点C在直线b上，直线a交于点E， 交于点F，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质和内角和定理，掌握相关的知识是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得，根据内角和定理可得，根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 某中学八年级举行春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度是第二小组的1.2倍，第一小组比第二小组早到达目的地，求两个小组的步行速度．若设第二小组的步行速度为，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，设第二小组的步行速度为，则第一小组的步行速度为，根据第一小组比第二小组早到达目的地，列出分式方程即可，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设第二小组的步行速度为，则第一小组的步行速度为， ， 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义，可得，的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，根据面积比等于相似比的平方，即可求解， 本题考查了，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质性质，将面积比转化为相似比，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的几何意义． 【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、， ∴ ∴ 点在反比例函数上，点在上， ∴，， 又∵， ∴ ， ， ∴， ∴， 故选：． 9. 某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比，已知，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据图形和题目中的数据，可以得到，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形在第二象限，与x轴重合，将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O顺时针旋转60°，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，以此类推……，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质，本题是操作性题目，利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：边长为2的等边三角形在第二象限， ∴． 将绕点顺时针旋转，得到， 与点关于轴对称， ． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 与点关于原点对称， ． 再将绕点顺时针旋转，得到 此时点落在轴的负半轴上， ． 再作关于原点的中心对称图形，得到， 此时点落在轴的正半轴上， ． 以此类推，则，， 与点重合， 对应的点大于1的整数）的坐标以，，，，，为规律循环， 与的坐标相同， ∴则点的坐标是． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的异分母加法运算以及已知式子的值求代数式的值，先整理，再把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵，， ∴ 故答案为： 12. 现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】设该扇形半径为，根据题意，得， 解得， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13. 某水果种植基地通过网红带货的形式出售一批黄桃．如图，线段反映了黄桃的日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）之间的函数关系，已知1kg的黄桃的种植成本是4元．如果某天该网络平台黄桃的售价为9元/kg，那么该天销售黄桃所获得的利润是 _________元． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，根据图象求出线段的函数解析式，求出当时的销售量，即可求出当天的销售利润． 【详解】解：设线段的函数解析式为， ， 解得 ∴， 当时，， ∴该天销售黄桃所获得的利润是（元）， 故答案为：9000． 14. 如图，在中，是的直径，，是上的点，如果，那么的度数为______． 【答案】##63度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对圆周角为，根据同弧所对圆周角相等可得，再根据直径所对圆周角为，利用直角三角形两锐角互余即可得出结果． 【详解】解：是的直径，，是上的点，， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点为线段上的动点，以每秒个单位长度的速度从点向点移动，到达点时停止．过点作于点，作于点，连结，线段的长度与点的运动时间(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的最小值，连接，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形为矩形，利用矩形的对角线相等得到，再利用垂线段最短的性质得到当时，取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可求解，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵， ，， ∴，， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为线段上的动点，由于垂线段最短， ∴当时，取得最小值，即取最小值， 过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴当时，取最小值为， ∴函数图象最低点的坐标为， 故答案为：． 16. 如图，的圆心的坐标是，半径为，在直角坐标系中，为直线上的动点，过作的切线，切点为，则切线长的最小值是 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，如图所示，由切线性质，通过勾股定理将的最小值转化为求最小值，利用两点的距离公式求出即可得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示： 是切线， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 当取得最小值时，有最小值， 为直线上的动点，圆心的坐标是，设点的坐标是 ， 当时，最小， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值，涉及切线性质、勾股定理、点到直线距离公式等知识，读懂题意，由勾股定理将求切线长的最小值转化为求最小值是解决问题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算： （2）解不等式组 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的混合计算，负整数指数幂，解一元一次不等式组： （1）先计算特殊角三角函数值负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 18. 垃圾分类齐参与，美好生活共创建．为巩固创文成果，某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶．已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少元，且元购买甲型垃圾桶的数量与元购买乙型垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价； （2）若需购买甲，乙两种型号的垃圾桶共个，总费用不超过元，至少需购买甲型垃圾桶多少个？ 【答案】（1）甲、乙两种型号的垃圾桶的单价分别为元/个，元/个 （2）至少需购买甲型垃圾桶个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设乙种型号的垃圾桶的单价为元/个，则甲种型号的垃圾桶的单价为元/个，根据题意列出方程，即可求解； （2）设购买甲型垃圾桶个，则购买乙型垃圾桶个，根据“总费用不超过元”，列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设乙种型号的垃圾桶的单价为元/个，则甲种型号的垃圾桶的单价为元/个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：甲、乙两种型号的垃圾桶的单价分别为元/个，元/个． 【小问2详解】 设购买甲型垃圾桶个，则购买乙型垃圾桶个， 根据题意得：， 解得， m为整数， 的最小值为， 至少需购买甲型垃圾桶个． 19. 某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练，每人踢五次，训练结束后，把结果制成了如图，所示不完整的折线统计图和扇形统计图． （1）“进球次”所在扇形的圆心角是 ；请补充完整折线统计图； （2）若有一名新队员加入足球队，经过五次定点射门后，把进球的结果与原进球结果组成一组新数据，发现平均数变小，求此队员进球的最大值； （3）在此次定点射门训练中进球次的队员中有名女生． 学校想从进球次的队员中选人参加比赛，请通过列表或树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率． 【答案】（1），补充完整折线统计图见解析图； （2）此队员进球的最大值为次； （3）一男一女的概率． 【解析】 【分析】（）先求出定点射门进球的总人数，然后可求出“进球次”所在扇形的圆心角的度数和进球次的人数； （）求出原进球结果的平均数即可解答； （）列表或画树状图即可求解； 本题考查了折线统计图和扇形统计图，加权平均数和总位数的计算和列表法与树状图法求概率，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：定点射门进球的总人数为（人）， “进球次”所在扇形的圆心角是， “进球次”的人数为（人）， 补充完整折线统计图如图， 【小问2详解】 原命中结果的平均数为， ∵一名新队员加入足球队，经过五次定点射门后，把进球的结果与原进球结果组成一组新数据，发现平均数变小， ∴此队员进球的最大值为次； 【小问3详解】 ∵“进球次”的人数为（人）， 其中有名女生，则有名男生， 画树状图， 由图知，机会均等的结果共种，其中一男一女的有种， ∴一男一女的概率． 20. 如图，在中，于点，于点，与、分别交于点，． （1）求证： （2）若，求证四边形是菱形 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先利用已知里的两个垂直，可证一对角相等，都等于，再利用平行四边形的性质，对角相等，那么可证； （2）由，可得，那么，可得，即证四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 又是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 又, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形． 【点睛】本题利用了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定知识，掌握平行四边形的性质和菱形的判定是解题的关键． 21. “为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． （1）请求出观测点C到公路的距离； （2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）观测点C到公路的距离为米 （2）此车没有超速，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【小问1详解】 过点C作于H， 在中， ， ． 米 米 米 即观测点C到公路的距离为米． 小问2详解】 米， 米 米 ∴车速为米/秒 千米/小时米秒， ∴此车没有超速． 22. 如图，中，，以为直径的交于点D，过点D分别作于点E，于点F，延长交于点G，延长分别交于点H，交于点M． （1）求证：是的切线； （2）若，求，的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了圆与三角形的综合问题，证明某直线是圆的切线，根据正切值求线段长度： （1）连接，根据题意得到角度之间关系，根据等边对等角可得到，即可得到结果； （2）连接，先根据正切值以及勾股定理得到边长，然后根据三角形全等以及三角形的面积可得到关系式，解得边长，即可求得结果； 熟练运用知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ， ∵于点F， ∴， 则中， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ， ∵为的直径， ∴， ∵， 则在中， 设，则， 则在中， ∴，即，， ∵于点E， ∴，则， ∵在中，，， ∴等腰三角形中三线合一，即， 又∵于点E，于点F， 在中， ， ∴， ∴， 则， 设，， ∵， ∴，即， 又∵中， ∴或（舍去）， 则，， ∴， ∵在和中，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 23. 如图，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点D是线段上的动点，连接、，若点A关于的对称点恰好在该抛物线的对称轴上，求点D的坐标； （3）如图2，动点P在直线下方的抛物线上，过点P作于点E，交线段于点F，过点F作轴于点G，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线解析式，得到称轴为直线，，设对称轴与x轴交于点M，点A关于的对称点为．由轴对称的性质可得垂直平分线段，证明，再利用正弦函数值，得出，从而得到，然后利用特殊角的正切值，求出的长，即可得到点D的坐标； （3）先求出直线的解析式为，设直线交x轴于点H，根据、两点的坐标可得直线与的夹角为，进而可设的解析式为，，求出，令，求出点的横、纵坐标，分别过点F，点P作x轴，y轴的平行线，交于点N，则在中，，进而求出，然后确定的取值范围，根据二次函数的性质确定最值即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ，解得：， 该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：抛物线， 对称轴为直线， 令，则， 解得：，， 与x轴的交点， 设对称轴与x轴交于点M，点A关于的对称点为． 由轴对称的性质可得垂直平分线段， ，， 又， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 则点D的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 则，解得： ， 直线的解析式为， 设直线交x轴于点H， ，， ， ，即直线与的夹角为， 直线经过二、三、四象限， 设的解析式为，， ， ． 的解析式为， 令，则， 解得:， ， ， 分别过点F，点P作x轴，y轴的平行线，交于点N， 则在中，， ， ， 动点P在直线下方的抛物线上， ， 点在线段上， 当直线过点A时，，解得：，（舍）， 当直线PE过点C时，，解得：，（舍）， ， 当时，的最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，二次函数的最值，一次函数与二次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 24. 王老师在组织同学们进行第一轮数学总复习时，对苏科版八年级下册数学教材第94页第19题进行了重新的探究，请你和王老师一起完成如下的问题探究： 问题初探： （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为M．那么与相等吗？ 直接判断： _____（填“=”或“≠”）； 问题迁移： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论； 问题延伸： （3）王老师将图2的四边形沿翻折得四边形，如图3，点P是点C的对应点，点Q是点D的对应点，已知正方形的边长为9，． ①若线段恰好经过点B，如图4，求的长． ②在图3中，连接，求线段的最小值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）①2，② 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点A作，证明，由此可得； （3）①过点作，则四边形，四边形均为矩形，证明，得到，翻折得到，设，勾股定理求出的长，利用求出的长即可； ②连接，过点作于点，易得，证明，得到，勾股定理求出长，进而求出的值，根据点到直线，垂线段最短结合平行线间的距离处处相等，即可得出结果． 【小问1详解】 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ，理由如下： 如图，过点A作，交于点H，交于点N， ， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ①过点作，则四边形，四边形均为矩形， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵四边形沿翻折得四边形，且恰好过点， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②连接，过点作于点，则：， ∵四边形沿翻折得四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，的值最小， ∴最小时，． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段的最值问题等，涉及知识点多，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用等量代换思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$