精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星澄学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

2023－2024学年第一学期12月随堂练习——九年级数学 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的直径为10，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 3. 铜罗中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了45场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（　　） A. x （x+1）=45 B. C. x （x﹣1）=45 D. 4. 如图，的半径为5，弦，点M是弦上的动点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 6. 如图，是的直径，点在上，，则的大小为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆，过点作半圆的切线，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：①；②；③当时，；④若，且，则；⑤使为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若斜坡的水平宽度为6米，坡度为，则斜坡的长为___________米． 10. 抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的解析式为_____． 11. 如图，切于点B，交于点A，若，，则的半径_________． 12. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 13. 在⊙O中直径为4，弦AB＝2，点C是圆上不同于A、B的点，那么∠ACB度数为_____． 14. 用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为，则的度数为 ___________． 15. 如图（1），点P是直径为AB的半圆O上一动点（可以与点A，B重合），过点P作PD⊥AB于点D，连接PA．设PA＝x，PD＝y，图（2）是点P运动过程中y与x之间的函数关系的图像，其中M为曲线的最高点，则mn的值为_______． 16. 如图，在中，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着A—B—C的路线运动，则以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点的时间共______秒． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 18. 计算： (1)+|sin60°﹣1|+tan45°；(2)tan260°+4sin30°cos45°. 19. 已知关于的方程． （1）试说明：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求的值． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，sinC=，AC=8，BD平分∠ABC交边AC于点D． 求（1）边AB的长； （2）tan∠ABD的值． 21. 如图，中，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、，．求证：D是的中点． 22. 已知二次函数的图像经过（－1，0），（0，2），（1，0）三点． （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围是______． （3）将该函数的图像沿直线x＝1翻折，直接写出翻折后的图像所对应的函数表达式． 23. （1）若所在圆的圆心为O，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）若弦的长为，的中点到弦的距离为，求弓形的半径R． 24. 如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中长为，长为，，． （1）点D到的距离为_____； （2）求点D到的距离． 25. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件． （1）求y与x的函数表达式； （2）当x为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 26. 如图，将矩形置放在平面直角坐标系中，顶点与坐标原点重合，点和点的坐标分别为，．抛物线经过点和，且． （1）求a，b，c的值． （2）如果点P由点B开始沿边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时点Q由点C开始沿边以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，的面积为S． ①写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围： ②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． 27. 如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，则∠B＝　 　°． （2）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝10，D是BC上的一点，，若，请判断△ABD是否为准直角三角形，并说明理由． （3）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，E是直径AB下方半圆上的一点，AB＝10，，若△ACE为”准直角三角形”，求CE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年第一学期12月随堂练习——九年级数学 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标为（3，1）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 2. 已知的直径为10，若，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【详解】解：∵的直径为10， ∴的半径为， ∵， ∴点P在内． 故选：A． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 3. 铜罗中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了45场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（　　） A. x （x+1）=45 B. C. x （x﹣1）=45 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设有个球队参赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 【详解】解：依题意得， 即． 故选：D． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 4. 如图，的半径为5，弦，点M是弦上的动点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过O作OM '⊥AB于M '，则OM '为OM 变化过程中的最小值，由垂径定理可求得M 'B，再由勾股定理可求得OM '，另可知OM变化过程中的最大值等于圆半径，如此问题可以得解． 【详解】解：如图，过O作OM '⊥AB于M '，则OM '为OM变化过程中的最小值， 由垂径定理可知M 'B=4， ∵OB=5，∴OM '=3， 又有OM变化过程中的最大值等于圆半径5， ∴3≤OM≤5， 故选D． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理、勾股定理及垂线段的性质是解题关键 ． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 6. 如图，是的直径，点在上，，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆周角定理可得，再由平角的定义可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：是的直径，， ， ∵， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，也考查了平角的定义． 7. 如图，在矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆，过点作半圆的切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查切线长定理以及三角形的相似，求角的三角函数值的问题转化为求线段的比例问题．取的中点，则为圆心，连接与的交点是，则易证，，求得的长即可求解． 【详解】解：取的中点，则为圆心， 连接，与的交点是, ∵都为圆的切线， ∴, ∴， ∴, ∴， ∴, 在中，, ∴， ∴, 易证明， ∴, ∴， ∴, ． 故选：C． 8. 如图，二次函数图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：①；②；③当时，；④若，且，则；⑤使为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据对称轴，可得答案；②根据点坐标，可得答案；③根据顶点是函数的最值，可得答案；④根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案；⑤分类讨论：时，当时，根据点坐标，对称轴，可得方程组，根据解方程组，可得答案；，根据勾股定理，可得答案． 【详解】解：①图象与轴的交点，的横坐标分别为，3， ， 对称轴， 即． 故①错误； ②点坐标为， ，而， ，即． 故②正确； ③由，顶点是函数的最小值，时，得 ，两边都减，得 ， 故③正确； ④，得 ， 且，则，故④正确； ⑤要使为等腰三角形，则必须保证或或， 当时， ，为直角三角形， 又的长即为， ， 由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，解得； 同理当时， ，为直角三角形， 又的长即为， ， 由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，解得； 同理当时 在中，， 在中， ， ，此方程无解． 经解方程组可知只有两个值满足条件，故⑤错误， 故正确的有②③④共3个正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了对称轴公式，顶点是函数的最值，函数值相等两点关于对称轴对称，等腰三角形的判定，要分类讨论，以防遗漏． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若斜坡的水平宽度为6米，坡度为，则斜坡的长为___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，由题意得出斜坡的竖直高度为米，再由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：斜坡的水平宽度为6米，坡度为， 斜坡的竖直高度斜坡的水平宽度， 斜坡的竖直高度为米， 斜坡的长为米， 故答案为：． 10. 抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位后的解析式为 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 11. 如图，切于点B，交于点A，若，，则的半径_________． 【答案】1.5 【解析】 【分析】在中用勾股定理列式求解即可， 本题考查了切线的性质，连接半径，构造直接三角形是解题关键． 【详解】解：切于点B， 设半径为 在中， 即： 解得： 故答案为：1.5． 12. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 13. 在⊙O中直径为4，弦AB＝2，点C是圆上不同于A、B的点，那么∠ACB度数为_____． 【答案】60°或120°． 【解析】 【分析】连接OA、OB，过O作AB的垂线，通过解直角三角形，易求得圆心角∠AOB的度数，然后根据C在优弧AB和劣弧AB上两种情况分类求解． 【详解】解：如图：过O作OD⊥AB于D，连接OA、OB． Rt△OAD中，OA=2，AD=， ∴∠AOD=60°，∠AOB=120°， ∴∠AEB=∠AOB=60°． ∵四边形AEBF内接于⊙O， ∴∠AFB=180°-∠AEB=120°． ①当点C在优弧AB上时，∠ACB=∠AEB=60°； ②当点C在劣弧AB上时，∠ACB=∠AFB=120°； 故∠ACB的度数为60°或120°． 故答案为：60°或120°． 14. 用破损量角器按如图方式测量的度数，让的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为，则的度数为 ___________． 【答案】140°##140度 【解析】 【分析】先抽象出几何图形，然后应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答． 【详解】解：连接，设⊙O的直径为，如图： 由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，根据题意抽象出图形是解题关键． 15. 如图（1），点P是直径为AB的半圆O上一动点（可以与点A，B重合），过点P作PD⊥AB于点D，连接PA．设PA＝x，PD＝y，图（2）是点P运动过程中y与x之间的函数关系的图像，其中M为曲线的最高点，则mn的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据函数图像得出AB的长度，然后求出圆的半径，当点P到点O的正上方时，PD最大，求出此时的x和y的值，即可确定点m、n的值，从而得到答案． 【详解】解：由图像得AB＝4， ∴圆O的半径为2， 当点D和点O重合时，PD最大， 此时PD为圆O的半径， ∴y＝2， 当y＝2时，x＝＝＝2， ∴点M的坐标为（2，2），即m＝2，n＝2， ∴mn＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了圆，勾股定理，动点问题的函数图像，解决问题的关键是熟练掌握圆的基本知识，勾股定理解直角三角形，函数图像性质确定圆的半径，确定PD最大时点D的位置． 16. 如图，在中，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着A—B—C的路线运动，则以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点的时间共______秒． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理可求出，设点P的运动时间为t秒，然后分两种情况讨论：当点P在边上时，当点P在边上时，结合相似三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 设点P的运动时间为t秒，则秒，秒， 当点P在边上时，，如图，过点P作，垂足分别为点D，E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 同理， ∵以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点， ∴， 即， 解得：， 此时以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点的时间为秒； 当点P在边上时，，如图，过点P作，垂足为点F，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点， ∴且或 ∴且或， 解得：或， 此时以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点的时间为秒； 综上所述，以P为圆心，2为半径的与三边都有公共点的时间共秒． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）移项，然后提公因式利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或， 解得，． 18. 计算： (1)+|sin60°﹣1|+tan45°；(2)tan260°+4sin30°cos45°. 【答案】(1)4-;(2)3+ 【解析】 【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】（1）原式=2+1﹣+1=4﹣； （2）原式=3+4××=3+． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 已知关于的方程． （1）试说明：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算出即可得出答案； （2）由方程的解的概念得出，代入到计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一个根为， ∴， 整理，得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查根的判别式和方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 20. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，sinC=，AC=8，BD平分∠ABC交边AC于点D． 求（1）边AB的长； （2）tan∠ABD的值． 【答案】（1）AB=6；（2）tan∠ABD= 【解析】 【分析】（1）先解Rt△ABC，得出sinC=，设出AB=3k，则BC=5k，由BC2-AB2=AC2，得出方程（5k）2-（3k）2=82，解方程求出k的值，进而得到AB； （2）过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=8-x．根据角平分线的性质得出DE=AD=x，利用HL证明Rt△BDE≌Rt△BDA，得到BE=BA=6，那么CE=BC-BE=4．然后在Rt△CDE中利用勾股定理得出DE2+CE2=CD2，即x2+42=（8-x）2，解方程求出x的值，即为AD的长，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°， ∴sinC=，BC2-AB2=AC2， ∴可设AB=3k，则BC=5k， ∵AC=8， ∴（5k）2-（3k）2=82， ∴k=2（负值舍去）， ∴AB=3×2=6； （2）过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=8-x． ∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB=90°， ∴DE=AD=x． 在Rt△BDE与Rt△BDA中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL）， ∴BE=BA=6， ∴CE=BC-BE=5×2-6=4． 在Rt△CDE中，∵∠CED=90°， ∴DE2+CE2=CD2， ∴x2+42=（8-x）2， 解得x=3， ∴AD=3， ∴tan∠DBA===． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解决第（2）问的关键． 21. 如图，中，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、，．求证：D是的中点． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵， ， 即D是的中点． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理得到，从而有，得出，根据圆周角定理的推论可得，然后根据等腰三角形的三线合一的性质即可得证， 本题考查圆周角定理，也考查了等腰三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】略 22. 已知二次函数的图像经过（－1，0），（0，2），（1，0）三点． （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围是______． （3）将该函数的图像沿直线x＝1翻折，直接写出翻折后的图像所对应的函数表达式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据（－1，0），（1，0）两点可得顶点坐标为（0，2），设顶点式代入点坐标即可； （2）求出对称轴，判断出对称轴在内，故在对称轴处取最大值，端点处取最小值； （3）图像沿直线x＝1翻折，不变，顶点坐标变为，代入顶点式即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可得图像顶点坐标为（0，2），设二次函数的表达式为． 将（1，0）代入，求得， ∴． 【小问2详解】 解：对称轴为轴，且开口向下 当时，有最大值2（能取到） 当时，有最小值（取不到） y的取值范围是： 【小问3详解】 解：顶点坐标变为 所以表达式为： （或，） 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要知识点有：求最值、待定系数法求表达式、点的轴对称等，熟记二次函数的相关性质是解题关键． 23. （1）若所在圆的圆心为O，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹） （2）若弦的长为，的中点到弦的距离为，求弓形的半径R． 【答案】（1）圆心如图所示，  ； （2）弓形的半径为 【解析】 【分析】本题考查了确定圆心的位置，垂径定理的应用，勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）作的垂直平分线，交于点，即可求解； （2）根据垂径定理得出，，在中，运用勾股定理列式，代入数值计算，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，连接 设为的中点，交于点， ∵， ∴，， 在中，，， ∵， ∴ 解得： ∴弓形的半径为． 24. 如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中长为，长为，，． （1）点D到的距离为_____； （2）求点D到的距离． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作于F，则点D到的距离为DF的长度，根据题意得到，设，在中，，利用勾股定理即可求得答案； （2）过点B作于B，过点D作于H，过点D作于F，过点D作于G，则四边形DFBH是矩形，点D到的距离是DG的长度，先证DF是BC的垂直平分线，又得，可证四边形GHBF是正方形，即可得到，设，则，在中，利用勾股定理得出，在中，再利用锐角三角函数得出长度，即点D到的距离． 【小问1详解】 解：过点D作于F 则点D到的距离为DF的长度 设 在中， 即点D到的距离为6cm 故答案为：6； 【小问2详解】 过点B作于B，过点D作于H，过点D作于F，过点D作于G 则四边形DFBH是矩形，点D到的距离是DG的长度 由（1）得 DF是BC的垂直平分线 四边形GHBF是正方形 设，则 在中， 在中， 所以，点D到的距离为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 25. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件． （1）求y与x的函数表达式； （2）当x为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）x为55时，每天的销售利润最大，最大利润是450元 【解析】 【分析】（1）原销售量20加上增加的件数即可得到函数表达式； （2）由每件利润乘以销售量得到利润的函数关系式，化为顶点式，利用函数性质解答． 【小问1详解】 解： 件； 【小问2详解】 解：设每个月的销售利润为w元． 依题意，得： 整理，得：， 化成顶点式，得 ∴当x为55时．每天的销售利润最大，最大利润是450元． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式，并掌握将二次函数化为顶点式利用函数的性质求最值是解题的关键． 26. 如图，将矩形置放在平面直角坐标系中，顶点与坐标原点重合，点和点的坐标分别为，．抛物线经过点和，且． （1）求a，b，c的值． （2）如果点P由点B开始沿边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时点Q由点C开始沿边以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，的面积为S． ①写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围： ②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），，， （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对边相等求出点A、B的坐标，把两点的坐标代入抛物线解析式，再联立，解关于a，b，c的三元一次方程组，然后即可得到抛物线的关系式； （2）①根据速度的不同，表示出，的长度，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与t的关系式，根据速度分别求出点P与点Q的运动时间即可得到t取值范围；②先根据二次函数的最大值问题求出S取最大值时的t的值，从而求出点P与点Q的坐标，再根据平行四边形的对边平行且相等，分与是对边时，与是对边时，两种情况求出点Q的坐标，然后代入抛物线解析式进行验证，如果点Q在抛物线上，则存在，否则不存在， 本题属于二次函数综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，动点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，灵活运用方程思想和分类讨论思想解决问题． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵抛物线经过点A，B，且， ∴， 解得：， 故答案为：，，， 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ①根据题意，，，， ∴， 点P运动的时间为秒，点Q运动的时间为秒， 所以，t的取值范围是； ∴； ②， ∴当秒时，S取最大值， 此时，，，， ∴，，， 所以，要使P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形， （i）当与是对边时，点R的横坐标是或，纵坐标是4， 所以点R的坐标为或， 当时，， ∴不在抛物线上， 当时，， ∴不在抛物线上， 所以与是对边时，点R不在抛物线上， （ii）当与是对边时，点R的横坐标是，纵坐标是， 所以点R的坐标是， 当时，， 所以与是对边时，点在抛物线上， 综上所述，抛物线上存在点，使P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形． 27. 如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，则∠B＝　 　°． （2）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝10，D是BC上的一点，，若，请判断△ABD是否为准直角三角形，并说明理由． （3）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，E是直径AB下方半圆上的一点，AB＝10，，若△ACE为”准直角三角形”，求CE的长． 【答案】（1）； （2） △ABD是准直角三角形，理由为： ∵AB＝10，tanB＝ 设AC=3x，BC=4x， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BAC=90°， 在Rt△ABC中， 解得x=2或-2（舍去） ∴AC＝6，BC＝8， ∵， ∴tan∠CAD＝， ∴∠CAD＝∠B， ∴∠ADB﹣∠CAD＝∠ADB﹣∠B＝90°， ∴△ABD是准直角三角形； （3）CE的长为或 【解析】 【分析】（1）根据“准直角三角形”的概念和三角形内角和是180°，分情况列方程组求解即可； （2）根据三角函数设AC=3x，BC=4x，利用勾股定理列方程求出AC和BC的值，再根据tan∠CAD＝tanB，得出∠CAD＝∠B，再根据“准直角三角形”的概念得出结论即可； （3）根据“准直角三角形”的概念分两种情况当∠CAE＝90°+∠CEA或∠CAE＝90°+∠ECA时，分别求出CE的值即可． 【小问1详解】 解：∵△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°， ∴①∠C﹣∠A＝90°， 此时∠C＝160°，∠A+∠C＞180°， ∴此情况不存在，舍去， ②∠C﹣∠B＝90°， ∵∠C+∠B=180°-∠A=180°-70°=110 解得∠C＝100°，∠B＝10°， 故答案为：10°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接AE， 由（2）知，AC＝6，BC＝8， ∵△ACE为准直角三角形，E为直径AB下方圆上的一点， ∴∠CAE＞90°，∠CEA＜90°，∠ECA＜90°，且∠CEA＝∠CBA， ①当∠CAE＝90°+∠CEA时， 即∠CAE＝90°+∠CBA＝180°﹣90°+∠CBA＝∠ACB+∠CBA＝180°﹣∠CAB， ∵四边形ACBE的内角和是360°，∠ACB＝90°＝∠AEB， ∴∠CBE＝180°﹣∠CAE＝∠CAB， 又∵∠CAB＝∠CEB， ∴∠CBE＝∠CEB， ∴CE＝BC＝8； ②当∠CAE＝90°+∠ECA时， 即∠CAE＝90°+∠ABE＝∠AEB+∠ABE＝180°﹣∠BAE＝180°﹣∠CBE， ∴∠BAE＝∠CBE， 即∠CBE＝∠ECB， ∴CE＝BE， ∵， ∴tan∠CAB＝， ∴tan∠CEB＝， 作CH⊥BE于H，作EM⊥BC于M， 设EH＝3m，则CH＝4m， ∴EC＝BE＝， ∵， ∴EM＝， ∵EC2＝CM2+EM2，且CM＝BC＝4， ∴（5m）2＝42+（）2， 令（5m）2＝t，即CE2＝t， 则上式可表示为t＝16+（）2， 解得t＝80或t＝20（不合题意舍去）， ∴CE＝， 综上，若△ACE为”准直角三角形”，CE的长为8或． 【点睛】本题考查新定义“准直角三角形”，圆周角定理，等腰三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，解一元二次方程，圆内接四边形性质，利用新定义三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $