精品解析：2024年浙江省初中学业水平考试押题试题

浙江省2024年6月初中学业水平考试押题试卷 数 学 （时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1．本卷共有三个题型，分为选择题、填空题、解答题，请按要求进行各题型的作答. 2．本卷非答题卷，请按要求在答题卡上进行作答，答在本试卷上的答案无效. 3．考试结束，请将答题卡及本卷一起上交. 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ） A. 不可能抽到 B. 可能抽到 C. 很有可能抽到 D. 一定能抽到 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则整式的值是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 11 8. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A 2－ B. C. D. 1 9. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ） A 15m B. C. 20m D. 10. 已知点A（m，y1）、B（m+3，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≤y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣4.5 B. m＞﹣3 C. m＜﹣4.5 D. m＜﹣3 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解x3－9x=__________． 12. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________． 13. 若n为整数，且，则n的值为________________． 14. 解关于的方程有增根，则的值为___________ 15. 如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是______． 16. 如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是______． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 在如图的网格中使用无刻度直尺按要求画图．（画图时保留画图痕迹） （1）在图（1）中，N是边的中点，连接，在边上画一点G，使得． （2）在图（2）中，在上找一点M，使； 19. 荆车中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动.为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图. （1）_____________，_______________； （2）请补全上图中的条形图； （3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱足球； （4）在抽查的名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅）．现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人．求小红、小梅能分在同一组的概率． 20. 海中有一个小岛A，该岛四周18海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西的C处，之后，货轮继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？请说明理由．（，，，，，） 21. 如图，在中，，分别是边，中点，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元： （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 23. 已知二次函数的图像经过点． （1）用含的代数式表示______； （2）若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值； （3）若抛物线与轴交于和两点（），且，直接写出的取值范围． 24. 在综合实践活动中，“特殊到一般”一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省2024年6月初中学业水平考试押题试卷 数 学 （时间120分钟 满分120分） 注意事项： 1．本卷共有三个题型，分为选择题、填空题、解答题，请按要求进行各题型的作答. 2．本卷非答题卷，请按要求在答题卡上进行作答，答在本试卷上的答案无效. 3．考试结束，请将答题卡及本卷一起上交. 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义， 根据绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：的相反数是2024， 故选：A． 2. 第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点的对称点的坐标．根据关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵关于原点的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 故选：D． 4. 从一副扑克牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出8张，其中红桃这种花色（ ） A. 不可能抽到 B. 可能抽到 C. 很有可能抽到 D. 一定能抽到 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、随机事件以及不可能事件的定义即可判断． 【详解】解：5张红桃、4张梅花、3张黑桃共12张牌， 即，梅花、黑桃共7张牌， 从中一次随机抽出8张，红桃这种花色一定能抽到，是必然事件， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知可知∠3=60°，∠1=55°，再根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠3+∠2=180°，即可得出答案． 【详解】解：∵∠3=60°，∠1=55°， ∴∠1+∠3=115°， ∵AD//BC， ∴∠1+∠3+∠2=180°， ∴∠2=180°-(∠1+∠3)=180°-115°=65°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键． 7. 若，则整式的值是（ ） A. B. 3 C. 5 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整体思想求代数式的值．将变形为，再将整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B 8. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D， 由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A， ∴△ABB′为等边三角形， ∴∠ABB′=60°，AB=B′B； 在△ABC′与△B′BC′中， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠DBB′=∠DBA=30°， ∴BD⊥AB′，且AD=B′D， ∵AC＝BC＝， ∴， ∴，，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 9. 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ） A. 15m B. C. 20m D. 【答案】C 【解析】 【详解】解∶∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=， ∴AC===m． ∴AB=m． 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数，特殊角的三角函数值及勾股定理，熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键． 10. 已知点A（m，y1）、B（m+3，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≤y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A. m＞﹣4.5 B. m＞﹣3 C. m＜﹣4.5 D. m＜﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再根据已知判断出开口方向，然后根据y的大小关系列出不等式即可得到m的范围． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵C为抛物线的顶点， ∴x0＝﹣3， ∵y0≤y1＜y2， ∴抛物线开口向上， ∵m＜m+3，y0≤y1＜y2， ∴当点A(m,y1)和B(m+3,y2)都在直线x=−3的右侧时，则m⩾−3； 当点A(m,y1)和B(m+3,y2)在直线x=−3的两侧时，则−3−m<m+3−(−3)， 解得m>−4.5； 综上所述，m的范围为m>−4.5． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式；也考查了二次函数的性质． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 12. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3600亿，用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 13. 若n为整数，且，则n的值为________________． 【答案】4 【解析】 【分析】依据夹逼法确定出的大致范围，从而可得到n的值． 【详解】解：∵16＜21＜25， ∴4＜＜5． ∴n＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 14. 解关于的方程有增根，则的值为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据分式方程增根产生，即使其最简公分母为0，但适合其转化为的整式方程进行求解． 【详解】解：根据题意，得 该分式方程的增根是， 该分式方程转化为整式方程，得， 把代入，得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，即适合分式方程转化为整式方程，但却使分式方程的最简公分母为0． 15. 如图，水暖管横截面是圆，当半径的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度为，则积水的最大深度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是求出的长，由垂径定理得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质证明，得出，进而得到，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到（当且仅当三点共线时取=），得出的最小值即为，再求出即得答案． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为弦、所对圆周角为的一段弧上运动， 设这段弧所在的圆心为O，连接，如图， 则（当且仅当三点共线时取）， ∴的最小值即为， 设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为；． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G取最小值的位置是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质分别计算，再将结果相加即可； （2）先把括号内分式与1通分再计算出来，将除法运算化为乘法运算，再将可以因式分解的分母因式分解，约分即可． 详解】解：原式 ； 原式 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质和分式的化简，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂，特殊三角函数值，零指数幂的性质和分式化简的方法． 18. 在如图的网格中使用无刻度直尺按要求画图．（画图时保留画图痕迹） （1）在图（1）中，N是边的中点，连接，在边上画一点G，使得． （2）在图（2）中，在上找一点M，使； 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）将向左平移1个单位至处，借助网格和，找到的中点，找到点，连接，将向左平移1个单位至，连接、，与的交点即为． （2）如图，可得即，两个三角形同高可得． 【小问1详解】 将向左平移1个单位至处，借助网格和，找到的中点，找到点，连接，将向左平移1个单位至，连接、，与的交点即为，则有， ， ； 【小问2详解】 如图， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了限定工具网格作图，相似三角形的性质，平行线分线段成比例；解题的关键是熟练掌握相关性质正确作图． 19. 荆车中学决定在本校学生中，开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动.为了了解学生对这四种活动的喜爱情况，学校随机调查了该校名学生，看他们喜爱哪一种活动（每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种），现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图. （1）_____________，_______________； （2）请补全上图中的条形图； （3）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人喜爱足球； （4）在抽查的名学生中，喜爱打乒乓球的有10名同学（其中有4名女生，包括小红、小梅）．现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练，且女生每组分两人．求小红、小梅能分在同一组的概率． 【答案】（1）100，15；（2）见解析；（3）720；（4）. 【解析】 【分析】（1）根据喜爱乒乓球的有10人，占10%可以求得m的值，从而可以求得n的值； （2）根据题意和m的值可以求得喜爱篮球的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据可以估算出全校1800名学生中，大约有多少人喜爱踢足球； （4）根据题意可以写出所有的可能性，注意（C，D）和（D，C）在一起都是暗含着（A，B）在一起． 【详解】（1）由题意可得，m=10÷10%=100，n%=15÷100=15%， 故答案为100，15； （2）喜爱篮球的有：100×36%=36（人），补全的条形统计图，如图所示； （3）由题意可得， 全校1800名学生中，喜爱踢足球的有：1800×=720（人）， 答：全校1800名学生中，大约有720人喜爱踢足球； （4）设四名女生分别为：A（小红）、B（小梅）、C、D， 则出现所有可能性是： （A，B）、（A，C）、（A，D）、 （B，A）、（B，C）、（B，D）、 （C，A）、（C，B）、（C，D）、 （D，A）、（D，B）、（D，C）， ∴小红、小梅能分在同一组的概率是：． 【点睛】考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图. 20. 海中有一个小岛A，该岛四周18海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西的C处，之后，货轮继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？请说明理由．（，，，，，） 【答案】货轮继续向东航行途中没有触礁的危险 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，设海里，分别解，求出的长，根据海里，列出方程进行求解即可． 【详解】解：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险，理由如下： 过点作， 由题意，得：海里，设海里， 在中，海里， 在中，海里， ∴， ∴， ∵， ∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险． 21. 如图，在中，，分别是边，的中点，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形是菱形，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，菱形的性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及中点得，，利用平行四边形的判定即可得证； （2）由菱形的性质得，，再证，进而根据三角形的内角和定理即可得解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元： （2）若学校决定购买以上两种书总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】（1）甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元 （2）该校最多可以购买甲种书40本 【解析】 【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，利用2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列方程解答即可； （2）设购买甲种书本，则购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元， 可得方程， 解得， 原方程的解为， 答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元． 【小问2详解】 解：设购买甲种书本，则购买乙种书本， 根据题意可得， 解得， 故该校最多可以购买甲种书40本， 答：该校最多可以购买甲种书40本． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． 23. 已知二次函数的图像经过点． （1）用含的代数式表示______； （2）若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值； （3）若抛物线与轴交于和两点（），且，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数解析式中，变形即可求解； （2）由（1）得二次函数解析式，与一次函数解析式联立组成二元一次方程组，求得两交点的坐标，由题意可得关于a的方程，解方程即可求得a的值； （3）由判别式确定a的范围，根据a的范围、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的图象即可确定a的范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得二次函数解析式为， 由题意得：，解得：，， 即直线与抛物线的两个交点坐标为； 由题意得：， 解得：或； 【小问3详解】 解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 解得：或； 当时， 对于，令，有， 即抛物线与y轴交点为， ∴抛物线必过与， ∴， ∴必有； 当时，对于， 则由根与系数的关系有：， ∴， 即； ∵，抛物线对称轴为直线，且， ∴当时，， 解得：； 综上，或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，灵活运用是解题的关键． 24. 在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【解析】 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$