精品解析：广东省广州市第四中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

广东省广州市第四中学教育集团2022-2023学年八年级（下）期中 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上） 1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则a的取值范围是（　　） A. a＞3 B. a≥3 C. a≤3 D. a≠3 3. 在中，如果，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直面坐标系中有两点和，则这两点之间的距离是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 6. 在平面直角坐标系中，直线不经过第（　　）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这个三角形斜边上的中线长是（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 9. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上） 11. 化简的结果为______． 12. 在中，，，，则_____． 13. 直线向下平移1个单位后所得的直线的解析式是 ___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，则点C的坐标为__________． 15. 如图，中，D、E分别是、的中点，、交于点O，F、G分别是、中点，连接，若，，则四边形的周长是 _______． 16. 如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是________． 三、解答题（本题有9个小题，共72分，注意答案写在答卷上） 17. 计算：． 18. 直线经过点和，求这条直线的解析式． 19. 如图，将一个边长分别为，的矩形纸片沿着折痕折叠，使点B与点D重合，求的长． 20. 如图，四边形是菱形，，，于点． （1）求的长． （2）求的长． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知等腰三角形周长为20． （1）写出底边长关于腰长的函数解析式（为自变量）； （2）写出自变量的取值范围； （3）在直角坐标系中，画出函数图象． 23. 如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.设，，若． （1）的面积记作，求的值． （2）求的周长． 24. 在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且． （1）如图1，若四边形是正方形． ①求的度数； ②探究与的数量关系并说明理由． （2）如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由． 25. 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． （1）如图1，当点M在上时，求的度数． （2）将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照以上的方式操作，延长交于点Q，连接，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2和图3所示，请你根据图3证明：平分． （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为8，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市第四中学教育集团2022-2023学年八年级（下）期中 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上） 1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的概念：形如且k为常数的函数；据此概念进行判断即可． 【详解】解：A、函数不满足正比例函数定义，不符合题意； B、符合正比例函数定义，是正比例函数； C、函数中自变量的次数是二次的，不符合题意； D、函数中不是整式，不符合题意； 故选：B． 2. 若二次根式有意义，则a的取值范围是（　　） A. a＞3 B. a≥3 C. a≤3 D. a≠3 【答案】C 【解析】 【详解】∵二次根式有意义, ∴3-a≥0, ∴a≤3. 故选C. 3. 在中，如果，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的基本性质：平行四边形的对角相等．与为对角，所以，再根据已知条件：，即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴（平行四边形对角相等）， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查平行四边形的基本性质：平行四边形的对角相等，理解并加以运用是解题关键． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简得到结果，再根据最简二次根式的定义即可做出判断． 【详解】解：、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的化简是解本题的关键． 5. 在平面直面坐标系中有两点和，则这两点之间的距离是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中，两点之间的距离公式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中，两点之间的距离，熟练掌握两点之间距离公式的运用是解决问题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，直线不经过第（　　）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由解析式得，，由一次函数图象的性质即可求解；掌握一次函数的性质“当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限．”是解题的关键． 【详解】解：直线中，，， ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 7. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3， 即S3=6+10+4+6=26． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 8. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这个三角形斜边上的中线长是（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、直角三角形的性质，利用勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别是6和8， ∴斜边长为， ∴这个三角形斜边上的中线长是． 故选：A． 9. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象斜率的大小判断水面上升速度的快慢，进而推断容器横截面积的变化情况． 【详解】解：向容器内匀速注水，图象的斜率越大，水面上升越快，说明容器的横截面积越小；图象的斜率越小，水面上升越慢，说明容器的横截面积越大， 由图象可知，段最陡峭，段次之，段最平缓， 则水面上升的速度关系为：， 可知容器对应部分的横截面积关系为：， 即容器的形状从下到上依次为：较细、最粗、最细，选项符合． 10. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据截去面积为和的两个小正方形可得到阴影部分的宽和长分别为即可解答． 【详解】解：∵从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形， ∴小正方形的边长分别为， ∴阴影部分的宽和长分别为， ∴阴影部分面积为：（）， 故选． 【点睛】本题考查了二次根式与实际问题，正方形的面积，二次根式的乘法运算法则，算术平方根，掌握二次根式的乘法运算是解题的关键． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上） 11. 化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 12. 在中，，，，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了含直角三角形的性质与勾股定理，解题关键是熟练掌握相关概念与性质． 先求出，利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：1 13. 直线向下平移1个单位后所得的直线的解析式是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的平移规律，掌握平移解析式规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：直线向下平移1个单位后所得的直线的解析式是，即． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，则点C的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，过点C作轴于E，根据正方形的性质和等量代换得，，进而证得，可得，，求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于E， 在正方形中，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，中，D、E分别是、的中点，、交于点O，F、G分别是、中点，连接，若，，则四边形的周长是 _______． 【答案】13 【解析】 【详解】本题考查三角形中位线定理、平行线定理、平行四边形的判定，根据三角形中位线定理和平行线定理可得，，，，证得四边形是平行四边形，即可求解． 解：∵D、E、F、G分别是、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴四边形的周长为， 故答案为：13． 16. 如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可． 【详解】解：， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 三、解答题（本题有9个小题，共72分，注意答案写在答卷上） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，先计算二次根式的乘除法，再把每项化成最简二次根式，最后再计算二次根式的加法即可． 【详解】解：原式 ． 18. 直线经过点和，求这条直线的解析式． 【答案】直线解析式为． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．把和分别代入中得到、的方程组，然后解方程组求出、，从而得到一次函数解析式． 【详解】解：根据题意得， 解得， 所以直线解析式为． 19. 如图，将一个边长分别为，的矩形纸片沿着折痕折叠，使点B与点D重合，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质和勾股定理，矩形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．证明，，再利用勾股定理建立方程可得答案． 【详解】解：根据折叠可知． 在矩形纸片中，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． ∴， 即的长为3． 20. 如图，四边形是菱形，，，于点． （1）求的长． （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质和勾股定理的应用，菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，要求学生能熟练掌握此题的特点并能熟练运用． （）又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得的长； （）根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高． 【小问1详解】 解：（1）∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴菱形的面积， ∴， ∴． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，先将二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式加减运算，代值运算，即可求解；熟练并正确将二次根式化为最简二次根式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 22. 已知等腰三角形周长为20． （1）写出底边长关于腰长的函数解析式（为自变量）； （2）写出自变量的取值范围； （3）在直角坐标系中，画出函数图象． 【答案】（1） （2） （3）用空心表示两点，连接两个空心点，即为所求图象，如图： 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的周长=两腰之和+底边的长，建立等式就可以求出函数解析式． （2）根据三角形的三边关系建立不等式，就可以求出自变量的取值范围． （3）运用描点法，通过列表、描点、连线的步骤，就可以画出函数的图象． 【小问1详解】 解：等腰三角形周长为20，底边长为，腰长为， ， 移项，得：， 底边长关于腰长的函数解析式是：； 【小问2详解】 由题意得：， 解得：， 自变量的取值范围是； 【小问3详解】 （1）（2）中已求出函数解析式为， 取值时，要在之间，若，则；若，则， ，这两点是取不到的； 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的运用．对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义，此时的函数图象可能是线段或射线等． 23. 如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和.设，，若． （1）的面积记作，求的值． （2）求的周长． 【答案】（1）7 （2）14 【解析】 【分析】本题主要考查了考查勾股定理、三角形面积公式等知识点，灵活运用勾股定理以及数形集合思想是解题关键． （1）根据勾股定理和，由图形关系可得，解得，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）由，据此可求出，然后根据三角形的周长公式即可解答． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，． ∵， ∴，整理得：， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴（负值舍去）， ∴的周长． 24. 在四边形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．点Q在的延长线上且． （1）如图1，若四边形是正方形． ①求的度数； ②探究与的数量关系并说明理由． （2）如图2，若四边形是菱形且．探究与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）①； ②，理由如下： 如图2，在上取一点N，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 解：，理由如下： 如图3，过点D作于E，连接， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， 由（1）同理得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握有关基础知识是解题的关键． （1）①先证明，进而推出；可得出，根据等边对等角和三角形内角和定理即可解答；②如图2，如图2，在上取一点N，使，连接，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图3，过点D作于E，连接，先证明是等边三角形，再证明和，进而完成解答． 【小问1详解】 解：①如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②略 【小问2详解】 略 25. 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． （1）如图1，当点M在上时，求的度数． （2）将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照以上的方式操作，延长交于点Q，连接，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2和图3所示，请你根据图3证明：平分． （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为8，当时，求的长． 【答案】（1）30° （2） 证明：由题意得：， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴平分； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，可得，得到，根据折叠的性质即可解答； （2）证明即可证明结论； （3）由（2）得，分点Q在点F上方与下方两种情况即可用勾股定理解答． 【小问1详解】 由题意得：，，，． 连接， 则， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠可得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点Q在点F下方时，如图， ∵四边形为正方形， ∴， 设，则， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴． 由（2）知：， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：． ∴； ②当点Q在点F上方时，如图， ∵四边形为正方形， ∴， 设，则， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴． 由（2）知：， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：． ∴． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角函数等知识，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $