精品解析：河南省安阳市内黄县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年升级考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 单项式的意义可以是（ ） A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式意义，把每一项的意义用代数式表达出来，与题干一致的代数式即为正确答案，据此作答． 【详解】解：A、与x的和，即，不符合题意，故该选项是错误的； B、与x的差，即，不符合题意，故该选项是错误的； C、与x的积，即，符合题意，故该选项是正确的； D、与x的商，即，不符合题意，故该选项是错误的； 故选：C 2. 已知函数 ()的图象经过点， 则的值为（ ） A. 4 B. C. 36 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求正比例的解析式．因为正比例函数的图象经过点，代入解析式，解之即可求得k． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：． 故选：A． 3. 一组数据的方差可以用式子 表示，则式子中的数字48表示（ ） A. 这组数据的个数 B. 这组数据的平均数 C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的计算公式，解题的关键是理解、掌握公式中字母所代表的意义．由方差的计算公式即可得到答案． 【详解】解：根据方差的计算公式， 可知式子中48即是， ∴数字48所表示的意义是这组数据的平均数， 故选：B． 4. 如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌． 在金额、数量、单价三个量中，下列说法正确的是（ ） A. 金额、单价是变量，数量是常量 B. 数量、单价是变量，金额是常量 C. 金额、数量是变量，单价是常量 D. 金额、数量、单价都是变量 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了常量与变量的定义，汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着数量的变化而变化，因此金额和数量是变量． 【详解】解：∵在一个变化过程中，数值始终不变量是常量， ∴金额、数量是变量，单价是常量． 故选：C． 5. 学校组织运动会报名，每位学生最多能报3个项目．下表是八年级六班50名学生报名项目个数的统计表： 报名项目个数 0 1 2 3 人数 8 24 m n 其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕． 无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ） A. 中位数，众数 B. 平均数，方差 C. 平均数，众数 D. 众数，方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数，求出，根据中位数和众数定义求出中位数和众数，即可得解． 【详解】解：， ， m和n均小于24， 众数为1，不会发生改变； 由题意知，将报名项目个数按大小顺序排列后，第25、26位均是1， 中位数为1，不会发生改变 故选A． 6. 综合实践课上，魏华画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．以下是其作图过程． 在魏华的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由作图可得，，据此可得求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由作图可得，，， ∴魏华的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：． 7. 学校体育队的4名学生（①，②，③，④）参加训练，近期的8次百米测试平均成绩都是13.4秒，方差如下表所示： 选手 ① ② ③ ④ 方差 0.103 0.089 0.035 0.042 则这4名学生中发挥最稳定的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，方差越小，数据的波动程度越小，数据越稳定；找到最小的方差，即是发挥最稳定的． 【详解】解：由4人测试的平均数相同，而③号学生的方差最小，他发挥最稳定； 故选：C． 8. 五一黄金周期间，程林约上苏晟开车出去游玩，早上6：10程林开车从家出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间到达苏晟家停车，苏晟上车后，程林开车加速行驶，一段时间后又开始匀速行驶． 下列选项能近视的刻画出在这段时间内程林开车速度变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，找到速度变化的规律是解题的关键．根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解． 【详解】解：由题意得： 刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加， 然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加， 过了一段时间到达苏晟家停车，则速度减少到0， 苏晟上车后，程林开车加速行驶，速度从0开始增加， 一段时间后又开始匀速行驶，此段时间速度不再增加， ∴能近视的刻画出在这段时间内程林开车速度变化情况的是A 故选A． 9. 如图，在中，，点D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ） A. B. C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．由正方形面积求得，由直角三角形斜边中线的性质求得直角三角形的斜边，由勾股定理求得，则可求得结果． 【详解】解：∵， ∴； ∵点D是斜边的中点， ∴； 由勾股定理得：， ∴； 故选：B． 10. 如图， 已知菱形的边长为8 ，P是对角线上的一动点，且， 则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作于E点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而得出结论． 【详解】解：如图，作于E点，连接， ∵菱形中，， ∴，为等边三角形，，互相平分， ∴，， ∴， ∴， 根据垂线段最短，此时最短，当A，P，E三点共线时，即最小， ∵菱形的边长为8，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，掌握菱形的性质，垂线段最短是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是整数，则的值可以是_________ （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据是整数，可得是完全平方数，从而可得答案； 【详解】解：∵是整数； ∴是完全平方数； ∴， 解得：．（答案不唯一） 故答案为：1（答案不唯一） 12. 学校旗杆上的绳子垂到地面还多3，将绳子的下端拉开9后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为____________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为，可得，，由勾股定理得，即可求解；能将问题转化为勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设旗杆的高度为， 如图， ， ， ， ， 解得：， ， 旗杆的高度为， 故答案：． 13. 新学期，新团队，八年级五班进行班长竞选，对甲、乙、丙三名学生进行了组织能力、沟通能力和团队合作能力三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 竞选者 组织能力 沟通能力 团队合作能力 甲 80 70 60 乙 60 80 70 丙 70 60 80 如果将每位竞选者的组织能力、沟通能力和团队合作能力的成绩按6：1：3的比计算其总成绩，并且总成绩最高者竞选成功，则本次竞选班长成功的是_____同学（填“甲”或“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．分别计算甲、乙、丙三名应聘者的成绩的加权平均数，比较大小即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴被录用的是甲， 故答案为：甲． 14. 将直线：，先向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到直线 ，则平移后得到直线的解析式为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移变换规律是解题关键．根据一次函数图象的平移变换规律即可得． 【详解】解：将抛物线向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，即， 故答案为：． 15. 如图，直线与轴交于点N ，与轴交于点M ，A为的中点，的顶点B在轴上，顶点C在直线上，则的面积为_____． 【答案】4.5 【解析】 【分析】本题考查了一次函数以及平行四边形的性质，根据题意得出图中各点的坐标是解本题的关键．根据一次函数解析式求出点M的坐标，得出A点坐标，再求出点C的坐标，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可． 【详解】解：当时，， ∴点M的坐标为，． ∵点A为的中点， ∴． ∵四边形为平行四边形，点B在x轴上， ∴轴． 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简及加减，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减混合运算法则，即可求解； （2）先化简二次根式，即可求解； 【详解】解（1） （2） 17. 数形结合思想是初中数学重要的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数．已知一次函数的图象经过点， 与轴交于点A ． （1）求b的值和点A的坐标； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象． 观察图象， 当时，的取值范围为 ； （3）若C是轴上一点，的面积为3，求点C的坐标． 【答案】（1）；A的坐标为 （2）画图见解析， （3）点C坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出的值，从而求出一次函数的解析式，令时，得出的值即可得出点A的坐标； （2）根据点A和点B的坐标确定位置，作直线即可，根据图象，即可确定x的取值范围； （3）先求出的值，根据三角形的面积公式求得的值，即可得出点C的坐标． 【小问1详解】 解：∵的图像经过点， ∴， ∴ 令， 得， 解得， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 解：如图： 当时， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ， ∴， 解得或3, ∴点C的坐标为或； 【点睛】本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质，正确画出图象是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中， 给出如下定义： 若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为．特别地，当图形M与图形N有公共点时，．已知，，，． （1）d(点A，点C)= ， d(点A，线段)= ． （2）半径为r．当时，求与正方形的“近距离”d(，正方形)． 【答案】（1）12；6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，图形M，N的“近距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想求解． （1）根据图形M，N的“近距离”的定义即可解决问题． （2）如图2中，过点O作于H，交于F．求出的长即可． 【小问1详解】 如图，观察图象可知d（点A，点C），d（点A，线段）． 故答案为：12，6． 【小问2详解】 如图，过点O作于H，交于F． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴与正方形的“近距离”d（，正方形）． 19. 便民服务中心为提高服务质量， 对五楼服务窗口开展了群众满意度问卷调查，群众满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2 分，3 分，4分，5分，6分，共6档，便民服务中心规定：若群众所评分数的平均数或中位数低于4 分，则该窗口需要对服务质量进行整改，工作人员从收回的问卷中随机抽取了24 份，如图是根据这24份问卷中的群众所评分数绘制的统计图． （1）求群众所评分数的中位数、平均数，并判断该窗口是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的 24 份合在一起，重新计算后，发现群众所计分数的平均数大于4.04 分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分? 【答案】（1）中位数为4分，平均数为4分；该部门不需要整改 （2）监督人员抽取的问卷所评分数为6分 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，中位数和加权平均数，一元一次不等式的应用等知识，掌握求中位数和加权平均数的方法和根据不等量关系列不等式是解题的关键． （1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可； （2）根据“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于4.04分”列出不等式，继而求出监督人员抽取的问卷所评分数． 【小问1详解】 解：由条形图可知，第12个数据是4分，第13个数据也是4分， ∴中位数为4分， 由统计图可得平均数为分， ∴群众所评分数的平均数或中位数都不低于4分， ∴该部门不需要整改； 【小问2详解】 设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有 解得 ∵满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，6分 ，共6档， ∴监督人员抽取的问卷所评分数为6分． 20. 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，是数形结合的纽带．阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”这句话的意思是：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5． （2）上述记载表明了：在中，如果，，，，那么，，三者之间的数量关系是 ． （3）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路：将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，， ，且 = ，  ∴整理得，，  ∴ ． （4）如图 ，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】（2）；（3） ； ；；  ；（4）； 【解析】 【分析】（2）根据勾股定理解答即可； （3）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （4）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：（2） ； （3）∵，， ，且， ∴整理得，， ∴． （4）∵矩形折叠后点C与点A重合， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 即，解得， ∴； 【点睛】本题考查的是正方形和矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键. 21. 姜瑶帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h（单位：）与摆动时间t（单位：）之间的关系如图所示． （1）根据函数的定义，请判断h是否为t的函数并说明理由． （2）结合图象回答以下问题． ①当时，h的值是多少?请说明它的实际意义． ②秋千从最高点开始向前到最低点，继续向前到最高点，再返回到最低点后继续回到最高点，这个过程称为一个周期．如图：第一周期为．请计算出秋千摆动的第二个周期需要多长时间． 【答案】（1）变量h是变量t的函数，理由见解析 （2）①秋千摆动到时，秋千离地面的高度为；② 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，从函数图象中获取信息，掌握函数的概念是解题的关键． （1）根据函数的定义进行判断即可； （2）①根据函数图象即可求解；②根据函数图象即可求解； 【小问1详解】 解：由图象可知,对于每一个摆动的时间t， h都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h 是变量t的函数； 【小问2详解】 解：①由函数图象可知,当时，； 它的实际意义是：秋千摆动到时，秋千离地面的高度为； ②由图象可知，秋千摆动的第二个周期需要时间为：； 22. 内黄县为迎接“国家卫生县城”复检，某乡镇准备购买A，B两种型号的垃圾箱．已知购买4个A型垃圾箱和3个B型垃圾箱共需590元，购买3个A型垃圾箱比购买4个B型垃圾箱少用120元． （1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元． （2）该乡镇现需要购买A， B两种型号的垃圾箱共240个，其中购买A型垃圾箱不超过150个． ①求购买垃圾箱的总费用（元）与A型垃圾箱数量m（个）之间的函数关系式； ②当购买A型垃圾箱多少个时总费用最少? 最少总费用是多少? 【答案】（1）每个A型垃圾箱80元，每个B型垃圾箱90元 （2）①（且m为整数）；②买150个A型垃圾箱总费用最少，最少费用是20100元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．一次函数的解析式、一次函数的增减性及一次函数最小值问题．抓住自变量取值范围是关键．是中考常考题型．（1）根据题意列二元一次方程组即可解决； （2）①根据题意得出买垃圾箱的总花费w(元)与购买A型垃圾箱的个数x之间是一次函数的关系，写出解析式即可．②根据一次函数图像的增减性和自变量的取值范围，得出函数的最小值即可． 【小问1详解】 解：设每个A型垃圾箱元，每个B型垃圾箱元， ∴ 解得：， 答：每个A型垃圾箱80元，每个B型垃圾箱90元； 【小问2详解】 ①设购买m个A型垃圾箱，则购买个B型垃圾箱， 根据题意得：（且m为整数）． ②∵中， ∴随m值增大而减小， 当时，w取最小值， 最小值， 答：买150个A型垃圾箱总费用最少，最少费用是20100元． 23. 若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”． （1）[概念理解] 如图，在四边形中，，判断四边形是否为“垂美四边形”并说明理由； （2）[性质探究] 如图，试在“垂美四边形”中探究之间的数量关系； （3）[解决问题] 如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接分别交于点M，N，若，求的长． 【答案】（1）四边形是垂美四边形，理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． (1)根据垂直平分线的判定定理证明即可； (2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可； (3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算． 【小问1详解】 解：四边形是垂美四边形，理由如下： 连接，如图： ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是垂美四边形． 【小问2详解】 如图，在垂美四边形中， ∵于点O， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴． 【小问3详解】 连接，如图∶ ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由(2)得∶， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年升级考试试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 单项式的意义可以是（ ） A. 与x的和 B. 与x的差 C. 与x的积 D. 与x的商 2. 已知函数 ()的图象经过点， 则的值为（ ） A 4 B. C. 36 D. 3. 一组数据的方差可以用式子 表示，则式子中的数字48表示（ ） A. 这组数据的个数 B. 这组数据的平均数 C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数 4. 如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌． 在金额、数量、单价三个量中，下列说法正确的是（ ） A. 金额、单价是变量，数量是常量 B. 数量、单价是变量，金额是常量 C. 金额、数量是变量，单价是常量 D. 金额、数量、单价都是变量 5. 学校组织运动会报名，每位学生最多能报3个项目．下表是八年级六班50名学生报名项目个数的统计表： 报名项目个数 0 1 2 3 人数 8 24 m n 其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕． 无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（ ） A. 中位数，众数 B. 平均数，方差 C. 平均数，众数 D. 众数，方差 6. 综合实践课上，魏华画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．以下是其作图过程． 在魏华的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 7. 学校体育队的4名学生（①，②，③，④）参加训练，近期的8次百米测试平均成绩都是13.4秒，方差如下表所示： 选手 ① ② ③ ④ 方差 0.103 0.089 0.035 0.042 则这4名学生中发挥最稳定的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 五一黄金周期间，程林约上苏晟开车出去游玩，早上6：10程林开车从家出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间到达苏晟家停车，苏晟上车后，程林开车加速行驶，一段时间后又开始匀速行驶． 下列选项能近视的刻画出在这段时间内程林开车速度变化情况的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（ ） A. B. C. 18 D. 36 10. 如图， 已知菱形的边长为8 ，P是对角线上的一动点，且， 则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知是整数，则的值可以是_________ （写出一个即可）． 12. 学校旗杆上的绳子垂到地面还多3，将绳子的下端拉开9后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为____________． 13. 新学期，新团队，八年级五班进行班长竞选，对甲、乙、丙三名学生进行了组织能力、沟通能力和团队合作能力三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示： 竞选者 组织能力 沟通能力 团队合作能力 甲 80 70 60 乙 60 80 70 丙 70 60 80 如果将每位竞选者的组织能力、沟通能力和团队合作能力的成绩按6：1：3的比计算其总成绩，并且总成绩最高者竞选成功，则本次竞选班长成功的是_____同学（填“甲”或“乙”或“丙”）． 14. 将直线：，先向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到直线 ，则平移后得到直线的解析式为______． 15. 如图，直线与轴交于点N ，与轴交于点M ，A为的中点，的顶点B在轴上，顶点C在直线上，则的面积为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简： 17. 数形结合思想是初中数学重要的思想方法，通过图象可以数形结合地研究函数．已知一次函数的图象经过点， 与轴交于点A ． （1）求b的值和点A的坐标； （2）在如图所示平面直角坐标系中画出此函数的图象． 观察图象， 当时，的取值范围为 ； （3）若C是轴上一点，的面积为3，求点C的坐标． 18. 在平面直角坐标系中， 给出如下定义： 若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为．特别地，当图形M与图形N有公共点时，．已知，，，． （1）d(点A，点C)= ， d(点A，线段)= ． （2）半径为r．当时，求与正方形的“近距离”d(，正方形)． 19. 便民服务中心为提高服务质量， 对五楼服务窗口开展了群众满意度问卷调查，群众满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2 分，3 分，4分，5分，6分，共6档，便民服务中心规定：若群众所评分数平均数或中位数低于4 分，则该窗口需要对服务质量进行整改，工作人员从收回的问卷中随机抽取了24 份，如图是根据这24份问卷中的群众所评分数绘制的统计图． （1）求群众所评分数的中位数、平均数，并判断该窗口是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的 24 份合在一起，重新计算后，发现群众所计分数的平均数大于4.04 分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分? 20. 勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，是数形结合的纽带．阅读材料，回答问题： （1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五”这句话的意思是：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5． （2）上述记载表明了：在中，如果，，，，那么，，三者之间的数量关系是 ． （3）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路：将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，， ，且 = ，  ∴整理得，，  ∴ ． （4）如图 ，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 21. 姜瑶帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h（单位：）与摆动时间t（单位：）之间的关系如图所示． （1）根据函数的定义，请判断h是否为t的函数并说明理由． （2）结合图象回答以下问题． ①当时，h的值是多少?请说明它的实际意义． ②秋千从最高点开始向前到最低点，继续向前到最高点，再返回到最低点后继续回到最高点，这个过程称为一个周期．如图：第一周期为．请计算出秋千摆动的第二个周期需要多长时间． 22. 内黄县为迎接“国家卫生县城”复检，某乡镇准备购买A，B两种型号的垃圾箱．已知购买4个A型垃圾箱和3个B型垃圾箱共需590元，购买3个A型垃圾箱比购买4个B型垃圾箱少用120元． （1）求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元． （2）该乡镇现需要购买A， B两种型号垃圾箱共240个，其中购买A型垃圾箱不超过150个． ①求购买垃圾箱的总费用（元）与A型垃圾箱数量m（个）之间的函数关系式； ②当购买A型垃圾箱多少个时总费用最少? 最少总费用多少? 23. 若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为“垂美四边形”． （1）[概念理解] 如图，在四边形中，，判断四边形是否为“垂美四边形”并说明理由； （2）[性质探究] 如图，试在“垂美四边形”中探究之间的数量关系； （3）[解决问题] 如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接分别交于点M，N，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$