精品解析：2024年河南中考数学压轴模拟试题

2024年中考压轴模拟卷（河南卷） 注意事项： 1．本试卷共三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可． 【详解】解：∵-2＜-＜0＜1， ∴最小的数是-2， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能根据实数的大小比较法则比较数的大小是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2. 下图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图的意义和画法可得答案． 【详解】解：从左面看，是一个长方形， 因此选项A中的图形比较符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提，掌握三视图的画法是解决问题的关键． 3. 2023年嵊州市政府报告指出，去年全市地区生产总值约为71100000000元，同比增长4.1%.数字71100000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】∵， 故选C． 【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 4. 如图，直线a，b相交于点O，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，再由邻补角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角相等，解题的关键是正确掌握对顶角的性质和邻补角的定义． 5. 计算等于（ ） A B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同分母分式的加减，利用分式的基本性质先把分式化为同分母的分式，再按同分母分式的加减法法则计算． 【详解】解： ． 故选：C． 6. 如图，是的直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，，由圆周角定理可得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 7. 我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列表法表示出所有等可能得结果，然后利用概率公式求解即可． 【详解】 甲 乙 丙 甲 （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） 有表格可得，一共有6种等可能得结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式得到，解得即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握：①，一元二次方程有两个不相等的实数根；②，一元二次方程有两个相等的实数根；③，一元二次方程无实数根；是解决问题的关键． 9. 如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形，，直角边在x轴正半轴上，且，将绕原点O顺时针旋转，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形（即），同理，将顺时针旋转，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形，依此规律得到等腰直角三角形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，找规律，由题可得，旋转后可得到，，，，且每四次循环一周，即可得到结果，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律，每4次循环一周， 即，，，， ∵， ∴点与同在一个象限内， ∵， ∴， 故选：A． 10. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】从图2看，当时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点P运动的速度，当时，，即是等边三角形，进而求解． 【详解】解：从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线， 则圆的半径为， 当时，， ∴是直角三角形，且， 则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示， 此时，走过的角度为，则走过的弧长为， ∴点P的运动速度是 ， 当时，，即是等边三角形， ∴， ∴， 此时点P走过的弧长为：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 请写出一个在第二象限内随的增大而减小的函数表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，写出一个的一次函数即可求解． 【详解】解：根据在第二象限内随的增大而减小，以及一次函数的性质， 这个函数的解析式可以是：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 12. 用扇形统计图表示某次班长选举的支持率的情况，表明刘刚同学支持率的扇形圆心角为，参加本次投票的共有48人，每人仅投一票，且没有废票，则刘刚得到的票数是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，先求出表示刘刚支持率的扇形的圆心角所占整个扇形图的百分数，再由参加本次投票的总人数乘以这个百分数即可． 【详解】解：表示刘刚支持率的扇形的圆心角为， 占整个扇形图的百分比为， 又参加本次投票的共有48人， 刘刚得到的票数是票． 故答案为：16． 13. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是能正确的求解一元一次不等式，并能判断出其解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．分别求出不等式组中各一元一次不等式的解集，再找出公共部分即可． 【详解】解： 由①解得：, 由②解得：， ∴一元一次不等式组的解集为， 故答案为：． 14. 如图，是半圆的直径，点，分别是的中点和三等分点，连接，，若半径，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，扇形的面积公式．连接OC，设OD与BC交于点E，过点E作于点F，由题意易得，是等腰直角三角形；设，则．由建立方程求出x的值，即可求得的值，由即可求解． 详解】连接OC，设OD与BC交于点E，过点E作于点F，如图所示． ∵点C，D分别是的中点和三等分点， ∴，． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：． 设，则． ∵， ∴，解得． ∴． ∴． 15. 如图，在中，已知，，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点Q，则线段的最小值为 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关知识，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．过点A作于H，连接，利用解直角三角形得到，，，利用勾股定理算出，利用得到点Q在以A为圆心为半径的上，当C、Q、A三点共线时最小，即可解题． 【详解】解：如图，过点A作于H，连接， ，，， 则， ， ， 在中， ， 点B与点Q关于直线对称， ， 点Q在以A为圆心为半径的上， 当C、Q、A三点共线时最小，的最小值， 故答案为： 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据根号运算法则，负整数指数幂，零指数幂计算各项的值，再相加减即可求解． （2）根据完全平方和公式的逆运算以及倒数原理，将原式展开，再根据运算法则求解即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式， 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，完全平方和公式的逆运算以及倒数原理，掌握运算法则是解题的关键． 17. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生分数，过程如下： 收集数据： 从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中被抽取的20名八年级学生的分数如下： 81 83 84 85 86 87 87 88 89 90 92 92 93 95 95 95 99 99 100 100 整理、描述数据： 按下表分段整理、描述样本数据： 七年级 4 6 2 8 八年级 3 a 4 7 分析数据： 两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 89 97 40.9 八年级 91 b c d 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________，___________； （2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，___________同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”），请说明理由； （3）如果七年级共有400人参赛，求该年级约有多少人的分数不低于95分． 【答案】（1），，95，33．2 （2）甲，理由见解析 （3）160人 【解析】 【分析】（1）根据七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数可得a=6，第10， 11名学生的成绩为90分， 92分，即可求出b的值， 95分出现了3次，次数最多，可得c的值根据方差公式求得d； （2）根据八年级的中位数是91分，七年级的中位数是89分，可得90分大于七年级成绩的中位数，而小于八年级成绩的中位数，进而可得结论； （3）用七年级不低于95分的比例乘以总人数即可． 【小问1详解】 解： ； 中位数为中间两个数之和的平均数，； 95出现次数最多为3次，所以c＝95； d＝S2 ＝33.2， 故答案为：6，91，95，33.2． 【小问2详解】 解：甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前．理由： ∵八年级成绩中位数91，七年级成绩中位数是89， ∴90分大于七年级成绩的中位数，小于八年级成绩的中位数， ∴七年级甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前； 【小问3详解】 解：（人） ∴该年级有160人的分数不低于95分． 【点睛】本题考查频数分布表、用样本估计总体、中位数、众数意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于两点． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标． （2）结合图象，直接写出的解集． （3）过点A作直线轴，过点B作直线m于点C，点D是直线m上一点，若为等腰三角形，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2）的解集为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点B的坐标代入求出k的值，即可得出反比例函数的表达式，再求出点A的坐标即可； （2）根据图象，找出一次函数图象高于反比例函数图象的部分即可； （3）根据题意可得，，则，即可进行解答． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入得：， ∴反比例函数的表达式为：， 把点代入得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由图可知：当或时，； 【小问3详解】 解：∵直线轴，直线m，，， ∴， ∴， ∵直线m， ∴在中，， ∴， ∵点D是直线m上一点， ∴设点， ∴，解得：或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解反比例函数表达式以及反比例函数图象上点的坐标特征． 19. 如图，某数学兴趣小组为了测量塔的高度，他们先在水平地面上的点E处用高的测角仪DE测得塔尖的仰角为．然后沿方向前进到达点G处，在点G处用同样的测角仪测得塔尖的仰角为（C，F，D三点共线，且，）．求塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】设，在中，根据正切三角函数关系得到，在中，根据正切三角函数关系列方程，然后解方程求出，最后利用关系即可得解． 【详解】解：连接并延长，交于点C，由题意得： ，，，， 设，则， 中，， ， 在中，， ， 解得，经检验：是原方程的根， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 20. 如图，在中，直径AB与弦CD相交于点E，点F在BA的延长线上，连接FC，AD，BC，． （1）求证：CF是的切线； （2）若，，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】(1) 连接CO，根据圆周角定理求出∠COA =60°，进而证∠FCO=90°即可； (2) 连接AC，过点E作EH垂直BC于点H，解直角三角形求出、、、，再证，利用比例式求AD． 【详解】（1）证明：连接CO， ∵∠D=30°， ∴∠COA=2∠D=60°， ∵∠F=30°， ∴∠FCO=90°， ∴CO⊥CF， ∴CF为⊙O的切线； （2）连接AC，过点E作EH垂直BC于点H， ∵AE=2，OE=1， ∴AO=OB=OC=3，BE=4， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=30°， ∴， 在中，，， ∴， ∴在中，， ∵∠D=∠B，∠AED=∠CEB， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角的性质、切线的判定和解直角三角形，解题关键是恰当的作辅助线，构建直角三角形． 21. 某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． （1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元． 请根据以上要求，完成如下问题： ①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式； ②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？ 【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨． （2）①；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元． 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解； （2）①由题意可得购买B型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； 答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨． 【小问2详解】 解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为台， ∴； ②由题意得：， 解得：， ∵-0.8＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m=17时，w有最小值，即为， 答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键． 22. 图①是一个倾斜角为的斜坡的横截面，斜坡顶端与斜坡底端的水平距离为6米，为了对这个斜坡的绿地进行喷灌，在斜坡底端处安装了一个喷头，喷头喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与喷头所在水平面的距离），水珠与喷头的水平距离为（单位：米），与的之间近似满足二次函数关系，图②记录了与的相关数据，为抛物线的顶点． （1）求与的函数关系式； （2）求斜坡的坡度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质等知识点； （1）用待定系数法即可求解； （2）算出，在中即可求解； 【小问1详解】 设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 与的函数关系式为：， 即：； 【小问2详解】 当时，， ， 在中，． 23. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，顶点为原点，顶点，分别在轴和轴上，点坐标为，动点在边上（不与端点重合），将沿翻折，点的对称点为点． （1）如图①，当平分时，的度数为______； （2）如图②，过点作轴交于点，交于点．当为等腰直角三角形时，求点的坐标； （3）如图③，延长交于点，当点在边上移动时，的周长是否发生变化？如果是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变，见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质，平分，可得，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）由轴，为等腰直角三角形，可得，，如图②，连接，则三点共线，是等腰直角三角形，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解然后作答即可； （3）如图③，连接，由折叠、正方形的性质可知，，，证明，则，即，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可知，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵轴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图②，连接， ∵正方形，点坐标为， ∴，， ∴三点共线， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， 由勾股定理得，，即，解得， ∴； 【小问3详解】 解：不变，理由如下： 如图③，连接， 由折叠、正方形的性质可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长不变． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考压轴模拟卷（河南卷） 注意事项： 1．本试卷共三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A B. C. 0 D. 1 2. 下图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年嵊州市政府报告指出，去年全市地区生产总值约为71100000000元，同比增长4.1%.数字71100000000用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线a，b相交于点O，若，则等于（　　） A. B. C. D. 5 计算等于（ ） A. B. 1 C. D. 6. 如图，是直径，点，在上，连接，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 我市“神十五”航天员张陆和他的两位战友已于2023年6月4日回到地球家园，“神十六”的三位航天员已在中国空间站开始值守，空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设“神十六”甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为( ) A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形，，直角边在x轴正半轴上，且，将绕原点O顺时针旋转，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形（即），同理，将顺时针旋转，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形，依此规律得到等腰直角三角形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，点A，B是上两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　） A. B. C. D. 5 Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 请写出一个在第二象限内随增大而减小的函数表达式：________． 12. 用扇形统计图表示某次班长选举的支持率的情况，表明刘刚同学支持率的扇形圆心角为，参加本次投票的共有48人，每人仅投一票，且没有废票，则刘刚得到的票数是______． 13. 不等式组的解集是__________． 14. 如图，是半圆的直径，点，分别是的中点和三等分点，连接，，若半径，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，已知，，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点Q，则线段的最小值为 ___________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛，为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下： 收集数据： 从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中被抽取的20名八年级学生的分数如下： 81 83 84 85 86 87 87 88 89 90 92 92 93 95 95 95 99 99 100 100 整理、描述数据： 按下表分段整理、描述样本数据： 七年级 4 6 2 8 八年级 3 a 4 7 分析数据： 两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91 89 97 40.9 八年级 91 b c d 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________，___________； （2）样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，___________同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前（填“甲”或“乙”），请说明理由； （3）如果七年级共有400人参赛，求该年级约有多少人的分数不低于95分． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于两点． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标． （2）结合图象，直接写出的解集． （3）过点A作直线轴，过点B作直线m于点C，点D是直线m上一点，若为等腰三角形，求点D的坐标． 19. 如图，某数学兴趣小组为了测量塔的高度，他们先在水平地面上的点E处用高的测角仪DE测得塔尖的仰角为．然后沿方向前进到达点G处，在点G处用同样的测角仪测得塔尖的仰角为（C，F，D三点共线，且，）．求塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 20. 如图，在中，直径AB与弦CD相交于点E，点F在BA的延长线上，连接FC，AD，BC，． （1）求证：CF是的切线； （2）若，，求AD的长． 21. 某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． （1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元． 请根据以上要求，完成如下问题： ①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式； ②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？ 22. 图①是一个倾斜角为的斜坡的横截面，斜坡顶端与斜坡底端的水平距离为6米，为了对这个斜坡的绿地进行喷灌，在斜坡底端处安装了一个喷头，喷头喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与喷头所在水平面的距离），水珠与喷头的水平距离为（单位：米），与的之间近似满足二次函数关系，图②记录了与的相关数据，为抛物线的顶点． （1）求与的函数关系式； （2）求斜坡的坡度． 23. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，顶点为原点，顶点，分别在轴和轴上，点坐标为，动点在边上（不与端点重合），将沿翻折，点的对称点为点． （1）如图①，当平分时，的度数为______； （2）如图②，过点作轴交于点，交于点．当为等腰直角三角形时，求点的坐标； （3）如图③，延长交于点，当点在边上移动时，周长是否发生变化？如果是，请求出变化范围，如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$