9.1.2 余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

第九章　解三角形 9.1.2　余弦定理 人教B版 数学 必修第四册 课标要求 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 3.能应用余弦定理判断三角形的形状. 4.能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形的有关问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点 余弦定理 余弦定理的表示及其变式 文字语言 三角形任何一边的　　　　,等于其他两边的　　　　　　减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍  符号语言 a2=　　　　　　　,  b2=　　　　　　　,  c2=　　　 　　　  变式 cos A=　　　　　　　, cos B=　　　　　　　,  cos C=　　　　　　  平方 平方和 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C　 名师点睛 1.余弦定理多应用于已知两边及一角的条件下解三角形,其变式多应用于已知三边的条件下求三角形的内角. 2.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. 3.在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,都可以知三求一. 4.由余弦定理的变式知cos A与b2+c2-a2同号,故在三角形中,b2+c2-a2>0 ⇔cos A>0⇔A为锐角;b2+c2-a2=0⇔cos A=0⇔A为直角;b2+c2-a2<0⇔ cos A<0⇔A为钝角. 5.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解,原因是余弦定理涉及的是边长的平方,求得的结果常有两个,因此,解题时需特别注意三角形的三边长所满足的条件. 6.在已知三角形内角的余弦值求角时,由于余弦函数y=cos x在区间(0,π)内单调递减,所以角的余弦值与角一一对应,故不存在多解的情况. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)余弦定理只适用于锐角三角形.(　　) (2)余弦定理不适用于钝角三角形.(　　) (3)已知三角形的两边和这两边的夹角,则这个三角形是确定的.(　　) (4)已知三角形的三边,则这个三角形是确定的.(　　) × × √ √ A 3.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则角A的大小为(　　) A 4.[2023湖南安化校级月考]在△ABC中,a2+bc=b2+c2,则A=　　　　　.  重难探究·能力素养全提升 探究点一　已知两边和一角解三角形 【例1】 (1)[人教A版教材习题]在△ABC中,已知a=5,b=2,C= ,求c. 因为0°<A<180°,所以A=60°, 所以C=180°-(A+B)=180°-(60°+45°)=75°. 因为0°<A<180°,所以A=120°, 所以C=180°-(A+B)=180°-(120°+45°)=15°. 规律方法　已知两边及一角解三角形的方法 (1)当已知两边及它们的夹角时,先用余弦定理求解出第三边,再用正弦定理和三角形的内角和定理求解另外两角,只有一解. (2)当已知两边及其一边的对角时,可用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边,也可用正弦定理求解,但都要注意解的情况的讨论. 变式训练1(1)在△ABC中,a=1,b=1,C=120°,则c=　　　　　.  4或5 探究点二　已知三边解三角形 因为a<c,所以A<C,所以A=30°. 所以B=180°-(A+C)=180°-(30°+45°)=105°. 规律方法　已知三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. (2)利用余弦定理求出三个角的余弦,进而求得三个角. 所以A=45°,B=60°. 所以C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. (方法二)由方法一可得A=45°. 所以B=60°或B=120°. 又因为b<c,所以B=60°. 所以C=180°-45°-60°=75°. 变式训练2[北师大版教材习题]已知△ABC的三边之比为3∶5∶7,求这个三角形的最大角. 解设△ABC的三边分别为a=3k,b=5k,c=7k(k>0),可知角C最大. 探究点三　正弦定理与余弦定理的综合应用 【例3】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin A=(2b+c)sin B +(2c+b)sin C. (1)求角A的大小; (2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状. 解(1)由已知及正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,整理得a2=b2+c2+bc. 规律方法　解决三角形的综合问题,除灵活运用正弦定理、余弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识.掌握这些知识是解题的关键. 变式训练3在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知 (1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A级 必备知识基础练 18 19 1.[探究点一·2023江苏南京模拟]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,b=2,C=60°,则c=(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.[探究点二]在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cos B=(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D 解析 设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos 120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.[探究点三]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,那么这个三角形中最大角的度数是(　　) A.135° B.90° C.120° D.150° C 解析 因为sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,所以a∶b∶c=3∶5∶7,设a=3k(k>0),则b=5k,c=7k.由大边对大角定理,可知角C是最大角,由余弦定理得cos C= .因为0°<C<180°,所以C=120°.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.[探究点一]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.[探究点三·2023内蒙古赤峰模拟]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ccos B+bcos C=2acos A,a=2,△ABC的面积为 ,则△ABC的周长为(　　) A.4 B.6 C.8 D.18 B bc=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即4=(b+c)2-2bc-bc=(b+c)2-3bc,所以(b+c)2=4+3×4=16,所以b+c=4.所以△ABC的周长为a+b+c=2+4=6.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.[探究点一]在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,则a+b=　　　　　;若C=60°,则边c=　　　　　.  5 解析 由题意得a+b=5,ab=2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以c= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a2+b2-c2)tan C =ab,则角C的大小为　　　　　　　.  解析 由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C, 又(a2+b2-c2)tan C=ab, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.[探究点三]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+(c-b)c=a2. (1)求A的大小; (2)若△ABC的面积为 ,b=5,求sin Bsin C的值. 解(1)因为b2+(c-b)c=a2, 所以b2+c2-a2=bc, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B级 关键能力提升练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 解析 由题知,cos C= ,则tan C=2,故A正确. 由已知及正弦定理得sin Acos B+sin Bsin A=sin(A+B)=sin Acos B+ cos Asin B,则sin Bsin A=cos Asin B,又sin B≠0,所以sin A=cos A,且0<A<π,可得A= ,故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a2-2b2+2c2=0,则(　　) A.tan B=-3tan C B.tan B=3tan C C.tan B=-5tan C D.tan B=5tan C C 4ccos B=-a,由正弦定理得4sin Ccos B=-sin A,所以4sin Ccos B=-sin(C+B),即4sin Ccos B=-sin Ccos B-cos Csin B,所以5sin Ccos B=-cos Csin B,所以 tan B=-5tan C.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　 　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6,则△ABC的外接圆半径R= ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.如图,△ABC为等边三角形,点D在边BC的延长线上,且BC=2CD,AD= . (1)求AB的长度; (2)求sin∠BAD的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C级 学科素养创新练 19.在△ABC中,a=5,b2-bc+c2=25. (1)求角A的大小; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在且唯一确定,求△ABC的面积. 条件①:b=7; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解(1)因为a=5,b2-bc+c2=25, 所以b2+c2-bc=a2, 所以b2+c2-a2=bc. (2)若选①,因为b=7, 所以72-7c+c2=25,即c2-7c+24=0. 因为Δ=(-7)2-4×24=-47<0, 所以方程无实数解,即△ABC不存在,不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=4,b=3,C=,则c=(　　)　　　　　　　　　　　　　 A. B.13 C. D.37 解析 由余弦定理,可得c2=a2+b2-2abcos C=16+9-2×4×3=13,则c=.故选A. A. B. C. D. 解析 因为cos A==-,所以A=.故选A. 解析 由a2+bc=b2+c2,得b2+c2-a2=bc, 所以2bccos A=bc,即cos A=. 因为0<A<π,所以A=. 解 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=25+4-2×5×2=19,所以c=. (2)在△ABC中,已知a=,b=,B=45°,解三角形. 解 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,则2=3+c2-2c,即c2-c+1=0,解得c=或c=. 当c=时,由余弦定理得 cos A=. 当c=时,由余弦定理得cos A==-. 故c=,A=60°,C=75°或c=,A=120°,C=15°. 解析 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=1+1-2×1×1=3,所以c=. (2)在△ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC=　　　　　.  解析 由余弦定理,得()2=52+BC2-2×5×BC, 所以BC2-9BC+20=0,所以BC=4或BC=5. 【例2】 在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求角A,B,C. 解在△ABC中,由余弦定理得,cos C=. 所以C=45°,sin C=. 由正弦定理,得sin A=. 变式探究若将条件“a=2,b=6+2,c=4”改为“a∶b∶c=2∶∶(+1)”,结果如何? 解(方法一)由a∶b∶c=2∶∶(+1),令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0).由余弦定理,得cos A=, cos B=, 由,得sin B=, 因为cos C==-,0<C<π, 所以C=,故这个三角形的最大角为. 由余弦定理,得cos A==-.又因为A∈(0,π),所以A=. (2)由(1),得sin B+sin C=sin B+sin(-B)=cos B+sin B=sin(+B)=1. 因为0<B<,所以+B<,所以+B=,即B=. 所以C=π-A-B=π-. 所以△ABC为等腰三角形. =2,cos B=,b=3.求: 解(1)由=2,得cacos B=2,又cos B=,所以ca=6. 由余弦定理得a2+c2=b2+2accos B. 又b=3,所以a2+c2=9+2×6=13. 解 因为a>c,所以a=3,c=2. (2)在△ABC中,B∈(0,π), 所以sin B=. 由正弦定理得sin C=sin B=. 所以a=b>c,所以C为锐角, 所以cos C=. 所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=. A.3 B. C. D. 解析 因为a=1,b=2,C=60°,所以由余弦定理得c=.故选B. A. B. C. D. 解析 因为b2=ac,c=2a,所以b2=2a2,b=a.所以cos B=. 3.[探究点一]在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC=(　　) A.1 B. C. D.3 4.[探究点一]在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,则的值为(　　) A. B. C. D.2 解析 由S△ABC=bcsin A=c=,解得c=4.所以a2=b2+c2-2bccos A=17-4=13,所以a=,所以. =- ,A=60°,b2+c2=3bc,则a=(　　) A.2 B.2 C.4 D.16 解析 因为△ABC的面积为,A=60°,所以S△ABC=bcsin A=bc=,所以bc=4,所以b2+c2=3bc=12,所以a2=b2+c2-2bccos A=12-2×4=8,所以a=2.故选B. 解析 因为ccos B+bcos C=2acos A,所以由正弦定理得sin Ccos B+sin Bcos C =2sin Acos A,所以sin(B+C)=sin A=2sin Acos A.因为A∈(0,π),所以cos A=,所以A=.因为△ABC的面积为,所以S△ABC=bcsin A=bc·,所以 所以2absin C=ab,所以sin C=. 因为C∈(0,π),所以C=或C=. 5 所以由余弦定理得cos A=. 因为0<A<π,所以A=. (2)由已知得S△ABC=bcsin A=bc=5, 所以bc=20. 又b=5,所以c=4. 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=21, 所以a=. 由正弦定理得=2, 所以sin Bsin C=. 11.在△ABC中,已知AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　) A. B. C. D.3 解析 如图,在△ABC中,BD为边AC上的高,且AB=3,BC=,AC=4. 因为cos A=,所以sin A=.故BD=AB·sin A=3. 12.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=120°,a=,△ABC的面积为,则c+b=(　　) A.4.5 B.4 C.5 D.6 解析 由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsin A=bcbc=,所以bc=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即b2+c2-2×4=21,得b2+c2=17.所以(b+c)2=b2+c2+2bc=17+2×4=25,因此,c+b=5.故选C. 13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=,a2+b2-c2=absin C, acos B+bsin A=c,则下列结论不正确的是(　　) A.tan C=2 B.A= C.b= D.△ABC的面积为6 由tan C=2,得sin C=,cos C=, 则sin B=sin Acos C+sin Ccos A=, 由正弦定理,得b==3,故C不正确. S△ABC=absin C=6,故D正确.故选C. 解析 由3a2-2b2+2c2=0,得c2-b2=-a2,所以cos B==-,即 15.(多选题)[2023湖南模拟]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=b=3,B=2C,则下列结论正确的是(　　) A.sin C= B.a= C.a=c D.S△ABC=2 17.在△ABC中,sin ,AB=5,BC=1,则AC=　　　　　.  4 解析 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B, 又cos B=1-2sin2=1-2=-. 故AC2=25+1-2×5×1=32,所以AC=4. 解(1)由已知得∠ABD=60°,AB=BC,设AB=x, 又BC=2CD,所以BD=. 在△ABD中,由余弦定理得AB2+BD2-2AB·BDcos∠ABD=AD2, 所以x2+()2-2x·cos 60°=7, 解得x=2,故AB=2. (2)由(1)知BD=3.在△ABD中,由正弦定理得, 即,所以sin∠BAD=. 条件②:sin B=; 条件③:边AC上的高为. 由余弦定理得cos A=, 因为A∈(0,π),所以A=. 若选②,由正弦定理得, 即,解得b=. 又b2-bc+c2=25,所以()2-c+c2=25, 即9c2-30c-125=0, 解得c=或c=(舍去). 所以△ABC存在且唯一确定. 所以S△ABC=bcsin A=. 若选③,由题意可知c==3. 又b2-bc+c2=25, 所以b2-3b+27=25,即b2-3b+2=0, 解得b=或b=, 所以△ABC存在两解,不符合题意. $$