9.2 正弦定理与余弦定理的应用课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

第九章　解三角形 9.2　正弦定理与余弦定理的应用 人教B版 数学 必修第四册 课标要求 1.利用正弦定理、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题. 2.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部或顶部不可到达的物体高度的测量问题. 3.能运用正弦定理、余弦定理解决测量角度的实际问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 测量中的基本术语 名称 定义 图示 基线 在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线 — 仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角叫做仰角 俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角叫做俯角 名称 定义 图示 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角叫做方向角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西,方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边,转向目标方向线形成的角) 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角叫做方位角 名称 定义 图示 视角 观察物体的两端视线张开的角度,叫做视角 在点A处观察一物体的视角为50° 名称 定义 图示 坡角 坡面与水平面的夹角.如图中的角α 坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比.如图中的 过关自诊 1.若点P在点Q的北偏东44°50'方向上,则点Q在点P的(　　) A.东偏北45°50'方向上 B.北偏东45°50'方向上 C.南偏西44°50'方向上 D.西偏南45°50'方向上 C 解析 如图所示,点Q在点P的南偏西44°50'的方向上.故选C. 2.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为(　　)　　　　　　　　　　　　 A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° B 解析 根据题意和仰角、俯角的概念,得α=β,故选B. 3.[2023安徽期中]一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距a n mile,随后货轮按北偏西30°的方向,以 n mile/h的速度航行30 min后到达N处,此时测得灯塔S在货轮的东北方向,则a=(　　) A.20 B.40 A 知识点2 解三角形应用题 1.解题思路 2.基本步骤 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下: ①分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图(一个或几个三角形); ②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型; ③求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解; ④检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解. 3.主要类型 名师点睛 1.解三角形应用问题常见的几种情况 解三角形应用题经抽象概括为解三角形问题时,常有以下几种情况:(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可直接用正弦定理或余弦定理求解;(2)已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形时,可先解条件充足的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需要设出未知量,从几个三角形中列方程(组),通过解方程(组)得出所求的解. 2.求解模型的解时应该注意的问题 在求模型的解时,为避免误差的积累,尽可能用原始数据,少用间接求出的量,要根据求解问题对精确度的要求合理地选择近似值,要注意实际问题中是否有一些特殊三角形,如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等,以优化解题过程,如果将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话,那么解三角形应用题的实质,就是把已知量按方程思想进行处理.解题时,应根据已知量和未知量,选择一个比较容易解的方程. 过关自诊 1.如图,某船开始航行时,灯塔在该船北偏东30°方向,后来该船沿北偏东60°的方向航行60海里,此时灯塔在该船正西方向,则此时船与灯塔的距离是(　　) A.30海里 B.60海里 D 2.[北师大版教材习题改编]一角槽的示意图如图所示,已知AB⊥AD, AB⊥BE,并量得AB=85 mm,BC=78 mm,AC=32 mm,则sin α=　　　　.(保留小数点后两位数字)  0.40 重难探究·能力素养全提升 探究点一　测量高度问题 【例1】 [北师大版教材例题]如图,C,D两点相距12 m,与烟囱底部A在同一水平直线上,利用高为1.5 m的测角仪器,测得烟囱在点C1,D1的仰角分别是α=45°和β=60°.计算烟囱的高AB(精确到0.01 m). 解如图,在△BC1D1中,∠BD1C1=180°-60°=120°,∠C1BD1=60°-45°=15°,C1D1=CD=12. AB=A1B+AA1≈28.392+1.5=29.892≈29.89. 因此,烟囱的高AB约为29.89 m. 规律方法　求高度问题应注意的两点 (1)根据题意,如果没有图形,那么先画出示意图,再选定或确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接求解;若有未知量,则先把未知量放在另一确定三角形中再求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,若都有可能,则选择更便于计算的定理.当题目中出现互补(余)的角时,注意补角(余角)之间的关系. 变式训练1在飞机上,某一时刻测得水平地面上两建筑物的俯角分别为45°和30°,这一时刻飞机对两建筑物的视角为45°.若两建筑物之间的距离为 km,则飞机的飞行高度为　　　　　.  2 km 解析 如图,设两建筑物为A,B,这一时刻飞机所在位置为P,其在水平地面上的投影为D,则由题意知∠PAD=30°,∠PBD=45°,∠APB=45°,设飞机的飞行高度为h km,所以 .在△ABP中,由余弦定理得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB, 所以8=4h2+2h2-4h2=2h2,所以h=2. 故飞机的飞行高度为2 km. 探究点二　测量角度问题 【例2】 如图所示,当甲船位于A处时,获悉在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船南偏西30°且与甲船相距10 n mile的C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援?(参考数据:sin 41°≈ ) 解如图所示,连接BC.在△ABC中,∠CAB=90°+30°=120°, 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos 120°. 又AC=10 n mile,AB=20 n mile, 又∠ACB为锐角,所以∠ACB≈41°. 作CM⊥BA,交BA的延长线于点M, 则∠BCM=30°+∠ACB≈71°. 所以乙船应朝北偏东约71°的方向沿直线前往B处救援. 规律方法　测量角度问题的解决策略 解决这类问题一定要搞清方向角,画出符合题意的图形,将所给距离和角度标在图中,然后分析可解的三角形及其与待求角的关系,确定解题步骤. 变式训练2一缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50°的方向,距小岛A 12 n mile的B处,发现隐藏在小岛A边上的一走私船正开始向小岛A北偏西10°方向行驶,测得其速度为10 n mile/h,问该巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在2 h后截获该走私船?(参考数据:sin 38°≈0.62) 解如图所示,AC所在射线即走私船航行路线,假设巡逻艇在C处截获走私船,巡逻艇的速度为x n mile/h,则BC=2x,AC=20. 依题意∠BAC=180°-50°-10°=120°, 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120° 在Rt△ADB中,∠ABD=50°. 所以∠DBC≈50°-38°=12°. 故该巡逻艇需用14 n mile/h的速度向北偏东约12°的方向航行. 探究点三　测量不可到达的两点间的距离 【例3】 要测量河对岸A,B两点之间的距离,在A,B两点的对岸选取相距 km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°, ∠ADB=45°,求A,B两点之间的距离. 解 如图,在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, 在△BCD中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°, 规律方法　三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正弦定理、余弦定理求解;若所求的线段在多个三角形中,则要根据条件选择适当的三角形,利用正弦定理、余弦定理求解. (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活运用正弦定理、余弦定理来解决. 变式训练3如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者与点A在河的同侧,且点B不可到达,要测出A,B两点间的距离,其方法是在点A所在的岸边选定一点C,可以测出AC的距离m,再测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中,运用正弦定理就可以求出AB. 若测出AC=60 m,∠CAB=75°,∠ACB=45°,则A,B两点间的距离为　　　　　.  成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2.[探究点一]如图,为了测量某建筑物的高度CD,在该建筑物的正东方向找到一座楼房AB,高为40 m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、建筑物顶C的仰角分别是45°和60°,在楼顶A处测得建筑物顶C的仰角为15°,则该建筑物的高度CD为(　　) A.70 m B.60 m C.55 m D.50 m B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.[探究点三]某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点,已知△ACD为等边三角形,且DC= km,当目标出现在B点(A,B两点位于CD两侧)时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约为 (　　) A.1.1 km B.2.2 km C.2.9 km D.3.5 km C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 如图所示,∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-45°-75°=60°, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　 　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6,则△ABC的外接圆半径R= ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.[探究点一]如图,某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5 min后,到达B处,此时在山顶P处测得小车在B处的俯角为45°.已知小车的速度为20 km/h,点A, C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 因为在山顶P处测得小车在A处的俯角为30°,在B处的俯角为45°,所以∠OAP=30°,∠OBP=45°.设OP=x km,因为OP⊥OA,OP⊥OB,所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.[探究点二]某船在A处看到灯塔S在北偏西40°方向,它向正北方向航行50海里到达B处,看到灯塔S在北偏西76°方向,则此时船到灯塔S的距离约为　　　　　海里(sin 40°≈0.642 8,sin 76°≈0.970 3,sin 36°=0.587 8,结果精确到0.1).  54.7 解析 由条件可得∠BSA+∠BAS=76°, 所以∠BSA=76°-40°=36°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.[探究点一]如图,在坡角为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B间的距离为 米,则AN= 　　　　　米,旗杆的高度为　　　　　米.  30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析 依题意可知∠NBA=45°,∠BAN=180°-60°-15°=105°, 所以∠BNA=180°-45°-105°=30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.[探究点二]如图所示,我国渔船编队在岛A周围海域作业,在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/时的速度向岛A直线航行以保护我国渔船编队,30分钟后到达D处,此时观测站测得B,D间的距离为21海里. (1)求sin∠BDC的值; (2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛A? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 故海警船再向前航行22.5分钟可到达岛A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.[探究点三]如图,我方炮兵阵地位于A处,两移动观察所分别设在C,D两处.已知△ACD为正三角形.当目标出现在点B(A,B两点位于CD两侧)时,测得BC=1千米,BD=2千米. (1)若测得∠DBC= ,求△ABC的面积; (2)若我方炮火的最远射程为4千米,试问目标B是否在我方炮火射程范围内? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解(1)在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BD·BC·cos∠DBC, ∴CD2=1+4-2=3. (2)设∠CBD=α,∠CDB=β,在△BCD中,由余弦定理得CD2=5-4cos α, 由正弦定理得CDsin β=sin α. 在△ABD中, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ≤9, 当且仅当α= 时,AB取到最大值3, ∵3<4,∴目标B在我方炮火射程范围内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.[探究点二]如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2 km,设∠AMN=θ. (1)用θ表示AM的长; (2)当θ为何值时,工厂P与村庄A的距离最远? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解(1)在△AMN中,因为∠NAM=60°,∠AMN=θ, 所以∠ANM=120°-θ, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)由题意知△PMN为等边三角形,所以∠PMN=60°,所以∠AMP=θ+60°. 在△APM中,由余弦定理得AP2=AM2+PM2-2AM·PMcos∠AMP 又0°<θ<120°,所以150°<2θ+150°<390°, 所以当且仅当2θ+150°=270°, 即θ=60°时,AP2取得最大值12,即AP的最大值为 , 故当θ为60°时,工厂P与村庄A的距离最远. 20() C.40-20 D.40+20 解析 如图,由题意可知MN=20()×0.5=10(), ∠SNM=45°+60°=105°,∠MSN=180°-105°-(30°+15°)=30°.在△MNS中,由正弦定理得 ,即,解得a=20.故选A. C.10海里 D.20海里 解析 如题图,在△ABC中,∠BAC=60°-30°=30°,∠ACB=30°,AC=60海里,则∠ABC=120°,根据正弦定理得, 即BC==20(海里).故选D. 解析 在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=≈0.40, 所以sin α=sin(-∠BAC)=cos∠BAC≈0.40. 由正弦定理,得, BC1==6+18. 所以A1B=BC1=18+6≈28.392, 2 PA==2h,PB=h 所以BC2=202+102-2×20×10=700, 所以BC=10 n mile. 由正弦定理,得sin∠ACB=. =122+202-2×12×20=784,所以BC=28, 又由正弦定理,得sin∠ABC=≈0.62,所以∠ABC≈38°. ∴AC=CD=. ∴BC=. 在△ABC中,由余弦定理,得AB2=()2+()2-2cos 75° =3+2+=5, ∴AB=. 故A,B两点之间的距离为 km. 20 m 解析 由已知得∠ABC=180°-75°-45°=60°. 由正弦定理,得, 所以AB==20(m). 故A,B两点间的距离为20 m. 1.[探究点三]如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点间的距离为(　　) A.100 m B.50 m C.100 m D.200 m 解析 在△ABC中,AC=50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,即∠ABC=30°, 由正弦定理得,所以,解得AB=100 m.故选A. 在△BCD中,由正弦定理,得, 故BD= km.在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 105°, 所以AB=≈2.9(km). 故炮兵阵地与目标的距离约为2.9 km.故选C. B,O在同一水平面上,OP为山高,且cos∠AOB=-,则此山的高OP为(　　) A. km B. km C.1 km D. km OA=x km,OB=x km.因为AB=7.520=(km),所以由余弦定理得 cos∠AOB==-,解得x=1,所以此山的高OP为1 km.故选C. 在△SAB中,由正弦定理,得, 所以BS=≈54.7(海里). 10 20 由正弦定理可知, 所以AN=·sin∠NBA=20(米). 所以在Rt△AMN中,MN=ANsin∠NAM=20=30(米),所以旗杆的高度为30米. 解(1)由已知可得CD=40=20(海里), 在△BDC中,根据余弦定理求得cos∠BDC==-, 所以sin∠BDC=. (2)由已知可得∠BAD=20°+40°=60°, 所以sin∠ABD=sin(∠BDC-60°)=. 在△ABD中,由正弦定理可得AD==15(海里), 所以t=60=22.5(分). ∵BD2=CD2+BC2,∴∠BCD=, ∴S△ABC=AC·BCsin∠ACB=1×sin()=. AB2=BD2+AD2-2BD·Adcos(β+) =9-4cos α-2ADcos β+2ADsin β =9-4cos α-2AD+2sin α =9-4cos α-2+2sin α =9-4cos α-2(2-cos α)+2sin α=5+4sin(α-) 由正弦定理得, 因为MN=2 km, 所以AM=sin(120°-θ)km. =sin2(120°-θ)+4-sin(120°-θ)·cos(60°+θ)=sin2(60°+θ)-sin(60°+θ)cos(60°+θ)+4=[1-cos(2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4 =sin(2θ+150°), 2 $$