正弦定理和余弦定理的综合应用习题课课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

第九章　解三角形 习题课　正弦定理和余弦定理的综合应用 人教B版 数学 必修第四册 重难探究·能力素养全提升 探究点一　三角形解的个数的判断 【例1】 根据下列条件,判断解三角形时是否有解,若有解,有几个解? (2)a=60,b=48,B=60°; (3)a=7,b=5,A=80°; (4)a=14,b=16,A=45°. ∵b>a,∴B>A, ∴B可能为锐角,也可能为钝角,即有两解. 方法二(从几何角度) (1)∵A>90°,且a>b, ∴有一解,即这样的三角形是唯一的. (3)∵a=7,b=5,A=80°,a>b,∴有一解,即这样的三角形是唯一的. 规律方法　已知两边和一边的对角判断三角形解的个数的两种基本方法 (1)代数法:已知a,b,A求B,则 ,求出角B的正弦值,再结合大边对大角等判断解的个数. (2)几何法:如下表. 变式训练1(1)[2023浙江海曙校级期中]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=45°,a=2,c=x,若△ABC有两个解,则x的取值范围为(　　) C 解析 若△ABC有两个解,则x>a,且a>xsin A.因为a=2,A=45°,所以2<x< .故选C. (2)已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答. ①a=10,b=20,A=80°; ②a= ,b=6,A=30°. 解①因为bsin A=20sin 80°>20sin 60°= , 所以a<bsin A,所以此三角形无解. ②因为bsin A=6sin 30°=3, 所以bsin A<a<b,所以此三角形有两解. 探究点二　边角互化 【例2】 (1)[2023重庆模拟]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为 A (2)在△ABC中,(a-c·cos B)sin B=(b-c·cos A)sin A,判断△ABC的形状. 解(方法一)因为(a-c·cos B)sin B=(b-c·cos A)·sin A,所以由正弦定理、余弦 整理得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2, 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 所以a2=b2或a2+b2-c2=0, 所以a=b或a2+b2=c2. 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. (方法二)由题意及正弦定理, 得(sin A-sin Ccos B)·sin B=(sin B-sin Ccos A)sin A, 即sin Ccos Bsin B=sin Ccos Asin A. 因为sin C≠0,所以sin Bcos B=sin Acos A, 即sin 2B=sin 2A. 因为A,B为△ABC的内角,所以2B=2A或2B+2A=π,即A=B或A+B= .故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 规律方法　边角互化的策略 (1)设△ABC的外接圆的半径为R. 正弦定理的变形:①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ABD 探究点三　三角形中的取值范围(最值)问题 【例3】 (1)[北师大版教材例题]在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知A是锐角,且cos 2A= . ①若mbc=b2+c2-a2,求实数m的值; ②若a= ,求△ABC面积的最大值. 变式训练3(1)在锐角三角形ABC中,(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=3,则b2+c2的取值范围是(　　) A.(9,18] B.(15,18) C.[9,18] D.(15,18] D (2)[2023江苏新沂校级月考]在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sin22A+cos 2A=1. ①求角A; ②若a= ,求△ABC周长的最大值. 解①由2sin22A+cos 2A=1,得2(1-cos22A)+cos 2A=1, 即2cos22A-cos 2A-1=0. (1)a=,b=,A=120°; 解方法一(从代数角度) (1)由得sin B=, ∵A=120°,∴B=45°,有一解. (2)由得sin A=>1,无解. (3)由得sin B=<1, ∵b<a,∴B<80°,有一解. (4)由得sin B=<1, (2)∵asin B=60=30,b=48, ∴b<asin B,无解. (4)∵bsin A=16=8,a=14, ∴bsin A<a<b,有两解,即符合条件的三角形有两个. sin B=sin A 内容 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系 式 a=bsin A, 或a≥b bsin A< a<b a<bsin A a>b a≤b 解的 个数 一解 两解 无解 一解 无解 A.(0,) B.(,2) C.(2,2) D.(,2) 2 2 10 由正弦定理,得sin B=. 又因为B∈(0,π),所以B=60°或B=120°. 当B=60°时,C=90°,c==4. 当B=120°时,C=30°,c==2.所以B=60°,C=90°,c=4或B=120°,C=30°,c=2. a,b,c,a2+b2=3c2,则=(　　) A.0 B.1 C.2 D. 解析 由a2+b2=3c2,得a2+b2-c2=2c2.由余弦定理,得2abcos C=2c2, 即abcos C=c2.由正弦定理,得sin Asin Bcos C=sin2C,即. 在△ABC中,sin(A+B)=sin C.所以=0.故选A. 定理,得(a-c·)·b=(b-c·)·a, ②sin A=,sin B=,sin C=. (2)余弦定理的变形:cos A=,cos B=,cos C=. 变式训练2(多选题)[2023江苏盐城期末]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,a2+b2-c2=absin C,acos B+bsin A=c,则下列结论正确的是 (　　) A.tan C=2 B.A= C.b=或b=3 D.△ABC的面积为6 解析 由a2+b2-c2=absin C及余弦定理,得2abcos C=absin C,∴tan C=2,故A正确.∴sin C=,cos C=.由acos B+bsin A=c及正弦定理,得sin Acos B +sin Bsin A=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,∴sin Bsin A=cos Asin B.∵sin B≠0,∴sin A=cos A,∴A=,故B正确. ∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.∵a=, ∴由正弦定理,得b==3,故C错误. ∴S△ABC=absin C=3=6,故D正确.故选ABD. - 解由A是锐角,且cos 2A=-,得2A=,A=. ①mbc=b2+c2-a2可变形为. 依据余弦定理,可知cos A=,即. 所以m=1. ②因为sin A=sin, bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即bc≤a2, 所以S△ABC=sin A≤. 即所求△ABC面积的最大值是. (2)[2023广东潮阳三模]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=,边AB上的高为. ①若S△ABC=2,求△ABC的周长; ②求的最大值. 解 ①∵S△ABC=ab·sin C=c·=2,C=, ∴c=4,ab=8. 由余弦定理,得c2=a2+b2-2ab·cos C=(a+b)2-3ab, ∴16=(a+b)2-3×8,∴a+b=2, ∴△ABC的周长为a+b+c=2+4. ②∵S△ABC=ab·sin C=c·,C=, ∴ab=2c, ∴. 由正弦定理,得(其中θ为锐角,且tan θ=). ∵0<A<,∴当A+θ=时,取得最大值. 解析 ∵(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,∴由正弦定理,得(a-b)(a+b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=,∴A=.∵a=3,∴由正弦定理,得=2,∴b2+c2=(2sin B)2+[2sin(-B)]2 =3sin 2B-3cos 2B+12=6sin(2B-)+12.∵B∈(),∴2B-∈(), ∴sin(2B-)∈(,1],∴b2+c2=6sin(2B-)+12∈(15,18].故选D. 2 因为△ABC是锐角三角形,所以A∈(0,), 所以2A∈(0,π),所以cos 2A=-, 所以2A=,即A=. ②由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos A. 因为a=2,A=, 所以12=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3×()2=, 当且仅当b=c时取等号,所以(b+c)2≤48,即b+c≤4, 所以a+b+c≤6,当b=c=a=2时取等号. 所以△ABC周长的最大值为6. $$