9.1.1 正弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

第九章　解三角形 9.1.1　正弦定理 人教B版 数学 必修第四册 课标要求 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.掌握三角形的面积公式. 3.能够运用正弦定理处理一定条件下的解三角形问题. 4.掌握正弦定理的变形式,并能进行边角互化. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 三角形的面积 三角形的面积公式 S=　　　　　　=　　　　　　= bcsin A. 角A可以是锐角、直角、钝角  名师点睛 常用的三角形的面积公式 过关自诊 60°或120° 又因为0°<A<180°,所以A=60°或A=120°. 知识点2 正弦定理 1.正弦定理的表示 文字语言 在一个三角形中,各边的长和它所对角的　　　　的比相等  符号语言 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 =________　　　　=　　　　  正弦 2.正弦定理的变形 (5)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B. 名师点睛 1.使用正弦定理的前提是在同一三角形中. 2.正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. 3.由正弦定理可知三角形中每两边及对应角的正弦为知三求一的关系;常结合三角形的内角和为180°、三角形中大边对大角等对所求结果进行取舍. 过关自诊 知识点3 解三角形 1.习惯上,我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的　　　　,已知三角形的若干元素求其他元素一般称为　 .  2.利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形的问题: (1)已知两角和任意一边求其他的两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求其他的边和角. 元素 解三角形 名师点睛 1.应用正弦定理,要明确角化边(或边化角)的方法,对三角形有几个解必须清楚明了,防止出现漏解或增解. 2.求角问题注意三角形中大边对大角性质的应用,以便判断解的个数. 过关自诊 D 2.[北师大版教材习题]在△ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是(　　) A.a=7,b=14,A=30° B.a=30,b=25,A=150° C.a=72,b=50,A=135° D.a=30,b=40,A=26° D 重难探究·能力素养全提升 探究点一　正弦定理的简单应用 【例1】 (1)[人教A版教材例题]在△ABC中,已知A=15°,B=45°,c=3+ ,解这个三角形. 解 由三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(15°+45°)=120°. (2)在△ABC中,已知c= ,A=45°,a=2,解这个三角形. 规律方法　利用正弦定理解三角形的方法 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法: 已知三角形的任意两个角与一边解三角形时,先由三角形内角和定理计算出三角形的第三个角,再由正弦定理计算出三角形的另两边 . (2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法: 首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,若这个角不是直角,则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角,当已知的角为大边所对的角时,能判断另一边所对的角为锐角,当已知的角为小边所对的角时,不能判断,此时就有两组解,分别求解即可;然后由三角形内角和定理求出第三个角;最后根据正弦定理求出第三条边. 变式探究2若将本例(2)中的“a=2”改为“a=3”,其他条件不变,求b. 变式训练1(1)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于(　　) C (2)在△ABC中,若A=30°,BC=4,AC= ,则B等于(　　) A.30° B.45°或135° C.60° D.135° B (3)[人教A版教材习题]①在△ABC中,已知a=2,c= ,A=120°,求b和C; ②在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,求c. 探究点二　求三角形的面积 又因为tan Atan B=6,所以tan A+tan B=tan(A+B)·(1-tan Atan B)=-1×(1-6)=5. 所以tan A>0,tan B>0,即A,B均为锐角. 又因为a>b,所以tan A>tan B, 所以tan A=3,tan B=2. 规律方法　1.三角形面积公式的选取依据 求三角形的面积时通常以角为主,即在题目中已知哪个角或者涉及哪个角就以含有该角的公式进行面积的求解. 2.在解三角形问题时需要根据正弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤: 第一步,定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向; 第二步,定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的转化; 第三步,求结果. 变式训练2在△ABC中,B=30°,AB= ,AC=2,求△ABC的面积. 探究点三　边角互化 【例3】 在任意△ABC中,求证:a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+ c(sin A-sin B)=0. 证明由正弦定理,可知 =2R(R为△ABC外接圆的半径),所以a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 所以左边=2R(sin Asin B-sin Asin C+sin Bsin C-sin Bsin A+sin Csin A- sin Csin B)=0=右边, 所以等式成立. 规律方法　边与角的互化方法 正弦定理的变形公式a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)能够使三角形边与角的关系相互转化. 变式训练3在△ABC中,若b=acos C,试判断该三角形的形状. 解因为b=acos C, =2R(R为△ABC外接圆的半径), 所以sin B=sin Acos C. 因为B=π-(A+C),所以sin(A+C)=sin Acos C, 即sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C, 所以cos Asin C=0. 因为A,C∈(0,π),所以cos A=0,所以A= , 所以△ABC为直角三角形. 探究点四　正弦定理与三角恒等变换知识的综合应用 【例4】 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=1, 变式训练4在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A级 必备知识基础练 18 19 20 21 22 23 24 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2.[探究点一]在△ABC中,A=30°,BC=1,AC= ,则C=(　　) A.90° B.60° C.60°或120° D.90°或30° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7.(多选题)[探究点三·2023江西萍乡期末]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是(　 　) B.若acos B=bcos A,则a=b C.若sin 2A=sin 2B,则△ABC是等腰三角形 D.若△ABC为锐角三角形,则sin B>cos C ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8.[探究点二]在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边.若A=105°, B=45°,b= ,则c=　　　　　,△ABC的面积为　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9.[探究点一]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=45°,a=6,b= ,则B为　　　　.  30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10.[探究点三]在△ABC中,若 ,则△ABC为 　　　　　三角形.  等边 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 11.[探究点四]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若5acos A=bcos C +ccos B,则sin 2A=　　　　　.  解析 因为5acos A=bcos C+ccos B, 所以由正弦定理得5sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 B级 关键能力提升练 13.在△ABC中,a=k,b= (k>0),A=45°,则满足条件的三角形有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若C= ,c=3且该三角形有两解,则a的值可以为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17.已知在△ABC中,BC=15,AC=10,A=60°,则cos B=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18.在△ABC中,a=2,c= ,sin A+cos A=0,则角B的大小为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19.在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20.在△ABC中,B=120°,AB= ,∠BAC的平分线AD= ,则AC=　　　　　.  在△ABD中,已知B=120°,∠ADB=45°,则∠BAD=15°.由于AD是∠BAC的角平分线,故∠BAC=2∠BAD=30°. 在△ABC中,B=120°,∠BAC=30°,则∠ACB=30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (1)求a和sin C的值; (2)求c和△ABC的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 C级 学科素养创新练 24.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,在条件① =2S△ABC,②(2a-c)cos B=bcos C中任选一个作为已知,并解答下列问题. (1)求角B的大小; (2)若c-acos B=(2a-b)cos A,试判断△ABC的形状. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 若选②:(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理,得2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C, 故2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, (2)c-acos B=(2a-b)cos A, 由正弦定理,得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A, 而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以△ABC为直角三角形或等边三角形. absin C acsin B 1.S=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高); 2.S=absin C=bcsin A=acsin B; 3.S=(a+b+c)r(r为三角形内切圆的半径); 4.S=(R为三角形外接圆的半径). 已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则A=　　　　　.  解析 因为b=2,c=,S△ABC=,S△ABC=bcsin A,所以2sin A=,所以sin A=. =2R(R为△ABC外接圆的半径). (1)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c; (2)=2R; (3)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (4)sin A=,sin B=,sin C=; [北师大版教材习题]在△ABC中,a=2,b=,A=,则B=　　　　. 解析 由正弦定理得, 所以sin B=. 所以B=或B=(舍去). 1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=,b=,B=120°,则a=(　　)　　　　　　　　　　　　　 A. B.2 C. D. 解析 由正弦定理,得,所以sin C=.又因为C是锐角,所以C=30°,所以A=30°,所以△ABC为等腰三角形,所以a=c=.故选D. 解析 对于选项A,由,得sin B==1,从而B=90°, C=180°-90°-30°=60°,只有一解.对于选项B,由A=150°,a>b,可知△ABC是钝角三角形,因此只有一解.同理,选项C只有一解.对于选项D,因为sin B=<1,a<b,所以A<B,所以B可能是锐角,也可能是钝角,故有两解. 由正弦定理,得a== ==, b=. 解 因为, 所以sin C=. 因为0°<C<180°,c>a,所以C>A, 所以C=60°或C=120°. 当C=60°时,B=75°,b=+1. 当C=120°时,B=15°,b=-1.所以b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°. 变式探究1若将本例(2)中的“c=”改为“c=”,其他条件不变,结果如何? 解由正弦定理得, 所以sin C=. 因为c<a,所以C<A. 所以C=30°, 所以B=180°-45°-30°=105°. 所以b=+1. 所以b=+1,B=105°,C=30°. 解由正弦定理得sin C=. 因为a>c,A=45°,所以C为锐角, 所以cos C=, 所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以b=. A.4 B.4 C.4 D.4 解 易知A=45°,由,得b==4. 4 解 在△ABC中,由正弦定理,得,即sin B=.因为AC>BC,所以B>A,所以B=45°或B=135°.故选B. 解①由正弦定理,得sin C=, 因为A=120°,所以C=30°. 所以B=180°-120°-30°=30°. 所以b=c=. ②由已知得B=180°-45°-75°=60°. 由正弦定理,得c=. 【例2】 在△ABC中,c=2,a>b,C=,tan Atan B=6,求△ABC的面积. 解因为C=,所以A+B=. 所以sin A=,sin B=. 由正弦定理,得a=, b=. 所以△ABC的面积S△ABC=absin C=. 2 解由正弦定理,得sin C=. 因为AB>AC,所以C=60°或C=120°. 当C=60°时,A=90°, 所以S△ABC=AB·AC·sin A=2. 当C=120°时,A=30°, 所以S△ABC=AB·AC·sin A=. 所以△ABC的面积为2. cos A=,B=2A. (1)求b的值; (2)求sin的值. 解(1)因为cos A=,且A∈(0,π),所以sin A=.又因为B=2A,所以sin B=sin 2A=2sin Acos A=. 由正弦定理,得b=.所以b的值为. (2)由题意可知,cos B=cos 2A=2cos2A-1=-, 所以sin=sin Bcos -cos Bsin . a(2cos2)=bcos C+ccos B. (1)求角A的大小; (2)若c=6,且边AB上的高等于AB,求sin∠ACB 的值. 解(1)依题意,得a(2cos2-1)=bcos C+ccos B, ∴acos A=bcos C+ccos B. 由正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B, ∴sin Acos A=sin(B+C). ∵A=π-(B+C),∴sin Acos A=sin A. ∵A∈(0,π),∴sin A≠0, ∴cos A=1,即cos A=. ∵A∈(0,π),∴A=. (2)设边AB上的高为CD,在Rt△CDA中,易得AD=CD=2,则BD=4. 在Rt△CDB中,根据勾股定理,得BC==2. 在△ABC中,根据正弦定理,得sin∠ACB=. 1.[探究点一]在△ABC中,a=5,b=3,则的值为(　　) A. B. C. D. 解析 在△ABC中,由正弦定理得,因为a=5,b=3,所以. 解析 因为A=30°,BC=1,AC=,所以由正弦定理,得,即,得sin B=.又因为AC>BC,所以B>A,所以B=60°或120°,则C=180°-B-A=90°或30°.故选D. 3.[探究点二]在△ABC中,已知b=3,c=8,A=,则△ABC的面积等于(　　) A.6 B.12 C.6 D.12 解析 △ABC的面积S△ABC=bcsin A=3×8×sin=6.故选C. 4.[探究点三]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则B=(　　) A. B. C. D. 解析 由已知及正弦定理得=1,所以tan B=1.又因为B∈(0,π),所以B=. 5.[探究点三]在△ABC中,若a=2,A=30°,则的值为(　　) A.4 B.2 C.4 D.2 解析 由正弦定理得=4, 所以=4. 6.[探究点四·2023江苏南京二模]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若bsin =csin B,则角C的大小为(　　) A. B. C. D. 解析 因为A+B+C=π,bsin=csin B,所以bsin=csin B,即bcos=csin B,所以由正弦定理得sin Bcos=sin Csin B.因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以cos=2sincos.因为C∈(0,π),所以cos≠0,所以sin,所以,即C=.故选B. A. 解析 对于A,由正弦定理得,则,故A正确.对于B,由acos B=bcos A及正弦定理得sin Acos B=sin Bcos A,所以sin(A-B)=0,因为A-B∈(-π,π),所以A-B=0,即A=B,所以a=b,故B正确.对于C,因为sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故C错误.对于D,因为△ABC为锐角三角形,所以B+C>,所以B>-C,所以sin B>cos C,故D正确.故选ABD. 2 +1 解析 由已知得C=180°-105°-45°=30°. 由正弦定理得, 即,解得c=2. 故△ABC的面积S=bcsin A=22×sin 105°=2+1. 3 解析 由正弦定理得,即,得sin B=. 因为a>b,所以B=30°. 解析 由已知及正弦定理得, 所以sin=sin=sin. 因为A,B,C∈(0,π),所以∈(0,),所以,所以A=B=C. 故△ABC为等边三角形. 因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以cos A=, 所以sin A=, 所以sin 2A=2sin Acos A=2. 12.[探究点一]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=. (1)若C=,求A; (2)若A=,求b. 解(1)由a=1,c=,C=,得sin A=. 因为a<c,所以A=. (2)由a=1,c=,A=,得sin C=. 因为a<c,所以C=或C=. 当C=时,B=,由勾股定理得b=2. 当C=时,B=,所以b=a=1. 所以b的值为1或2. k 解析 因为bsin A=k>a=k,所以△ABC无解.故选A. 14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos B=(c-b)cos A,则角A的大小为(　　) A. B. C. D. 解析 由已知及正弦定理得sin Acos B=(sin C-sin B)cos A,即sin(A+B)=sin Ccos A,即sin C=sin Ccos A,因为C∈(0,π),所以sin C≠0, 所以cos A=,故A=.故选B. 15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=6,c=2, tan A+tan B=,则S△ABC=(　　) A.3 B.9 C.9 D.3 解析 由tan A+tan B=,得,因为cos A≠0,所以=2sin C.因为sin C≠0,所以cos B=,又因为B∈(0,π),所以B=,所以 S△ABC=acsin B=6×2=9. 解析 因为该三角形有两解,且C=,c=3, 所以asin<c<a,即3<a<6.故选AB. 解析 由正弦定理得, 所以sin B=. 因为AC<BC,所以B<A=60°,所以B为锐角, 所以cos B=. 解析 因为角A是三角形的内角,所以A∈(0,π).又因为sin A+cos A=0,所以tan A=-1.所以A=π.由正弦定理可知,则,所以sin C=.因为A=π,所以C∈,因此C=.由三角形内角和定理可知B=π-A-C=. 解析 过点A作BC的垂线,交BC于点E,图略,则AE=,所以sin∠ABC=,则sin∠CBD=sin(π-∠ABC)=,所以S△BCD=BD·BC·sin∠CBD=2×2. 解析 如图,由正弦定理得,即,故sin∠ADB=,即∠ADB=45°. 由正弦定理得, 即,故AC=. 21.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C=b+c,则A=　　　　　　;若a=,且△ABC只有唯一解,则b的取值范围为　　　　　　　　.  (0,]∪{2} 解析 因为acos C+asin C=b+c, 所以由正弦定理得sin Acos C+sin Asin C=sin B+sin C, 则sin Acos C+sin Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C, 所以sin A=cos A+1,则sin(A-)=,所以A=. 当a=bsin或a≥b时,△ABC有唯一解,即b==2或0<b≤,所以b的取值范围为(0,]∪{2}. 22.在△ABC中,求证:. 证明因为在△ABC中,=2R(R为△ABC的外接圆半径), 所以左边== ===右边. 所以等式成立,即. 23.在△ABC中,已知sin A=,cos B=,b=4. 解(1)∵cos B=,B∈(0,π),∴sin B=. 又sin A=,b=4,∴由正弦定理可得a=. 由sin B=>sin A=,可知B>A,则cos A=. ∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=. (2)由正弦定理可得c=. △ABC的面积为S△ABC=bcsin A=4. 解(1)若选①:因为=2S△ABC, 所以accos B=2acsin B, 所以sin B=cos B,tan B=,所以B=. 则cos B=,B=. 化简得cos A(sin A-sin B)=0,即cos A=0或sin A=sin B,得A=或A=B,又 B=, $$