精品解析：2024年江苏省无锡市中考数学模拟试题

2024年江苏省无锡市中考数学模拟试卷（5月份） 一、选择题：本大题共10题，每题3分，共30分．每小题只有1个选项符合答案，选出最合适的备选答案，并在答题卡上将该项涂黑． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3. 已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（ ） A. 方差为40 B. 中位数为4 C. 平均数为4 D. 标准差为40 4. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 6. 下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（ ） （1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； （2）对顶角相等； （3）在三角形中，相等的角所对的边也相等； （4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个 7. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ） A. 40° B. 30° C. 15° D. 10° 9. 若直线过经过点和，且，则b的值可以是（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，中，是边的中点，过点作分别交于点（不与重合），取中点，连接并延长交于点，连接．随着点位置的变化，下列结论中错误的是（ ） A. 最小值为 B. 的最小值为 C. 的周长有最小值为 D. 四边形的面积有最小值为9 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上． 11. 若与是同一个正数的两个平方根，则的值为_______ 12. 已知，则代数式的值为__________. 13. 我国古代《九章算术》中记载这样一个问题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉．”翻译后的大致意思是：5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷，问上等稻子和下等稻子1捆分别能结多少稻谷（1斗10升）？设上等稻子和下等稻子1捆分别能结稻谷x升和y升，则可列方程组为______． 14. 已知二次函数的图象上有四点，，，，则的大小关系是__________．（从小到大排列） 15. 年春晚中的魔术节目备受瞩目，刘谦老师利用“魔术公式”让观众手中的碎牌合成完整的一张牌．小明受此启发，拿出两张背面完全相同的扑克牌（正面均不同），将这两张扑克牌分别对折撕成两部分，洗匀后将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两个半张，则小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是__________． 16. 如图，中，E是边上中点，点D、F分别在上，且，，若，，则的长为______． 17. 已知抛物线经过点和点，则的最小值是__________． 18. 如图，的直径与弦相交于点E，点P为上一点，，若，则的最大值为________，的最大值为________． 三、解答题：本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明． 19. 计算或化简 （1）计算：． （2）化简： 20. 解方程或不等式 （1）解不等式组： （2）解方程：． 21. 如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，连接与交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长． 22. 2024年3月5日，某社区开展学雷锋志愿者活动．某校4名学生成为该活动志愿者，其中男生2人，女生2人． （1）若从这4人中任选1人担任讲解员工作，恰好选中男生的概率是 ； （2）若从这4人中任选2人担任讲解员工作，请用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果，并求出恰好选中一男一女的概率． 23. 2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养，某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为分钟，将所得数据分为个组别（组：；组：；组：；组：；组：），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的个数据分别是：，，，，，，，，，． ②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表： 分组 频数 ③七、八年级各名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 ④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______； （2）根据以上数据分析，你认七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？ 24. 如图，在中，为钝角． （1）尺规作图：在边上确定一点，使（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）的条件下，若，，，求的面积． 25. 如图，是的直径，弦与交于点E，连接，，过点C作的垂线，交的延长线于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求线段的长． 26. 一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米． （1）求关于的函数表达式； （2）考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大． 27. 已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，，求的最大值； （3）如图2，在y轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E，F，交y轴于点D，点P在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点H，直线与直线所成夹角为，直接写出点H的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年江苏省无锡市中考数学模拟试卷（5月份） 一、选择题：本大题共10题，每题3分，共30分．每小题只有1个选项符合答案，选出最合适的备选答案，并在答题卡上将该项涂黑． 1. 的相反数是（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的意义，根据相反数的定义和绝对值的意义即可求解，解题的关键是正确理解相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数；正确理解表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：∵， ∴的相反数是， 故选：． 2. 若，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含有绝对值的方程．利用绝对值的意义可得，解出的值即可． 【详解】解：， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 故选：C． 3. 已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（ ） A. 方差为40 B. 中位数为4 C. 平均数为4 D. 标准差为40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算公式，解题的关键是掌握一组数据的方程等于各个数据与平均数的差的平方的平均数．据此即可解答． 【详解】解：∵数据的方差计算公式为， ∴这组数据的平均数为4， 故选：C． 4. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：B． 5. 如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形的面积，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 【详解】连接， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 6. 下列命题中，其逆命题是真命题的命题个数有（ ） （1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； （2）对顶角相等； （3）在三角形中，相等的角所对的边也相等； （4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先写出逆命题，再判断真假，熟练掌握逆命题的写法，正确判断是解题的关键． 【详解】（1）线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是：到到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确； （2）对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对等角，错误； （3）在三角形中，相等的角所对的边也相等的逆命题是：在三角形中相等的边所对的角相等，正确； （4）到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题是：角平分线上的点到角的两边距离相等，正确． 故选：C． 7. 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出的长．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M， ∵， ∴， 连接，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故选：C． 8. 如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ） A. 40° B. 30° C. 15° D. 10° 【答案】D 【解析】 【分析】连接AD，根据圆周角、弧的关系得到∠DAC=40°，根据直角三角形的两锐角互余得到∠DAB=50°，再根据角的和差即可得解． 【详解】解：连接AD， ∵D是 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠DBA＝∠DAC， ∵∠DBA＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∵AB是直径， ∴∠D＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∴∠DAB＝50°， ∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝10°， 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 9. 若直线过经过点和，且，则b的值可以是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一元一次不等式组的解法，根据题意列方程组得到，由于，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴只有D符合题意； 故选D． 10. 如图，中，是边的中点，过点作分别交于点（不与重合），取中点，连接并延长交于点，连接．随着点位置的变化，下列结论中错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的周长有最小值为 D. 四边形的面积有最小值为9 【答案】D 【解析】 【分析】A选项：连接，中点，，∴，∴即可求解；B选项：取中点N，连接交于点K，过点B作对称点，连接，，当点三点共线取得最小值，由对称得，可求，在中，，∴；C选项：连接，先证明，则为等腰直角三角形，，而最小值为，则； D选项：连接，，可证四边形是矩形，设，则， 则． 【详解】解：连接，∵等腰，， ∴，， ∵点D为边的中点，∴,， ∵中点，，∴，∴， 即，当点A、P、D共线时等号成立，故A正确； 连接，∵，∴， ∵，∴， ∴，∵， ∴， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴，∵最小值为， ，故C正确，不符合题意； 连接，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，， ， ， ， ， ， ， 同理可证：，又∵， ∴ ， 四边形是矩形， ∵，设，则， ， 的最大值为9，故D错误，符合题意． 取中点N，连接交于点K，过点B作的对称点，连接， 由上知点P为中点，∴为中位线，， ∴， ∵，当点三点共线取得最小值， ∵，，∴， 由对称得，可求， 在中，，∴， 故B正确，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，矩形的判定与性质，线段最值等问题，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上． 11. 若与是同一个正数的两个平方根，则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得到，求出的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 12. 已知，则代数式的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和求代数式的值，代数式变形后，代入字母的值，按照二次根式的运算法则和顺序进行计算即可. 【详解】解：当时， 故答案为： 13. 我国古代《九章算术》中记载这样一个问题：“今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉．”翻译后的大致意思是：5捆上等稻子少结1斗1升稻谷，相当于7捆下等稻子结的稻谷；7捆上等稻子少结2斗5升稻谷，相当于5捆下等稻子结的稻谷，问上等稻子和下等稻子1捆分别能结多少稻谷（1斗10升）？设上等稻子和下等稻子1捆分别能结稻谷x升和y升，则可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“捆上等稻子少结斗升稻谷，相当于捆下等稻子结的稻谷；捆上等稻子少结斗升稻谷，相当于捆下等稻子结的稻谷”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：捆上等稻子少结斗升稻谷，相当于捆下等稻子结的稻谷， ； 捆上等稻子少结斗升稻谷，相当于捆下等稻子结的稻谷， ． 根据题意可列方程组． 故答案：． 14. 已知二次函数的图象上有四点，，，，则的大小关系是__________．（从小到大排列） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，二次函数图象的性质，先根据解析式得到二次函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，再由对称性求出对称轴为直线，据此求出B、C、D三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，都在二次函数图象上， ∴对称轴为直线， ∵，，都在二次函数图象上，且， ∴， 故答案为：． 15. 年春晚中的魔术节目备受瞩目，刘谦老师利用“魔术公式”让观众手中的碎牌合成完整的一张牌．小明受此启发，拿出两张背面完全相同的扑克牌（正面均不同），将这两张扑克牌分别对折撕成两部分，洗匀后将它们背面朝上放在桌面上，从中随机抽取两个半张，则小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，概率所求情况数与总情况数之比，熟练掌握概率公式是解题关键．列表可得总结果数和符合条件的结果数，根据概率公式即可得答案． 【详解】解：分别用、、、表示两张扑克牌分别对折撕成的两部分， 列表如下： 总的情况数为种，抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的情况数为种， 则小明抽到的两个半张扑克牌恰好合成完整的一张牌的概率是， 故答案为：． 16. 如图，中，E是边上的中点，点D、F分别在上，且，，若，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 先证明点是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，然后利用三角形的中位线求出长，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴, ∴点是的中点， ， D，E分别是，边上的中点， ， ， 故答案为：3． 17. 已知抛物线经过点和点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点和点， ∴点和点关于对称轴对称，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴时，t有最小值为：． 故答案为：． 18. 如图，的直径与弦相交于点E，点P为上一点，，若，则的最大值为________，的最大值为________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】由是的直径，，由平角的定义得到，则，则可求出，，进而推出，证明，推出，得到，由，，得到，进而推出，即的最大值为8；设，则，，在中，由勾股定理得，可得，则，由此，则，即的最大值为． 【详解】解：如图所示，延长交于H，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为8， 故答案为：8； 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，完全平方公式的变形求值， 通过作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 三、解答题：本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明． 19. 计算或化简 （1）计算：． （2）化简： 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、完全平方公式和单项式乘多项式法则． （1）根据负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值和绝对值的性质进行计算即可； （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程或不等式 （1）解不等式组： （2）解方程：． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程和一元一次不等式组． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式，得， 解不等式，得． 原不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 21. 如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，连接与交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，进而得出，证明，根据证明，即可得证； （2）证明是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，（平行四边形的对边平行且相等） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴ 即 在和中 ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又∵ ∴是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） ∴（菱形的四条边都相等） ∴菱形的周长. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 2024年3月5日，某社区开展学雷锋志愿者活动．某校4名学生成为该活动志愿者，其中男生2人，女生2人． （1）若从这4人中任选1人担任讲解员工作，恰好选中男生的概率是 ； （2）若从这4人中任选2人担任讲解员工作，请用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果，并求出恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1）； （2），图见解析． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 若从这4人中任选1人担任讲解员工作，恰好选中男生的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： ∵共有12种等可能结果，其中一男一女有8种， ∴P（恰好选到一男一女） 23. 2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养，某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为分钟，将所得数据分为个组别（组：；组：；组：；组：；组：），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的个数据分别是：，，，，，，，，，． ②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表： 分组 频数 ③七、八年级各名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 ④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图． 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可） （3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？ 【答案】（1）10，80 （2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大 （3）718人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体； （1）在扇形统计图中，先求出“B组”所占的百分比，再求出“A组”所占的百分比，确定a的值，再根据中位数的定义求出b的值； （2）从中位数、众数的大小比较得出答案； （3）求出七年级、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为， 所以“A组”所占的百分比为， 即； 八年级的中位数在B组，将100名学生的劳动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为， 即； 故答案为：10， 80； 【小问2详解】 八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大； 【小问3详解】 （人）， 答：七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有718人． 24. 如图，在中，为钝角． （1）尺规作图：在边上确定一点，使（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）； （2）在（1）的条件下，若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作和垂直平分线，交于，即可； （2）过点作于点，利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理先后求得、、的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点为所作； 根据垂直平分平分线的性质，知：， ， ； 【小问2详解】 解：由（）知，， 过点作于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的面积 ． 【点睛】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等，充分发挥基本图形的作用，利用线段垂直平分线的性质求解． 25. 如图，是的直径，弦与交于点E，连接，，过点C作的垂线，交的延长线于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】此题重点考查圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由，，得，则，所以，即可证明是的切线； （2）由是的直径，的半径为，得，，由，得，则，同理可得，再证明，得，求得． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵是的直径，的半径为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长是． 26. 一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米． （1）求关于的函数表达式； （2）考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意求出米，利用矩形面积公式即可得到答案； （2）把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质和每段栅栏不可分割即可求出答案． 【小问1详解】 解：设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米．则米，根据题意可得， ， ∵且 ∴， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 ， ∵，每段栅栏不可分割， ∴当或时，y有最大值，最大值为， 答：当或时，所围矩形土地的面积最大． 27. 已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定； （1）根据，可得得出，结合已知条件可得，即可得证； （2）根据已知可证明得出，，进而证明，得出，即可得出，进而根据平行四边形性质可得，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：如图所示， ∵， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 28. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，，求的最大值； （3）如图2，在y轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E，F，交y轴于点D，点P在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点H，直线与直线所成夹角为，直接写出点H的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）或6或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）当时，，即，待定系数法求直线的解析式为，如图1，过B点作轴交于点E，则 ，证明四边形是平行四边形，则，由 ，即，可求，则，设，则，，由，可知当时，有最大值，然后作答即可； （3）由题意知，，则，由抛物线沿方向平移个单位，可知抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正方向平移2个单位，则平移后的函数解析式为，当时，，可求或，则，当时，，即；待定系数法求直线的解析式为；设，当轴时，直线与直线所成夹角为，如图2，由对称与平行的性质可得，，则，，由，可求或（舍去），则，直线的解析式为，，可求或；当于时，直线与直线所成夹角为，如图3，则，，由勾股定理得，，由，即，可得，由，可得，则，，可求或（舍去），则，直线的解析式为，当，计算求解即可． 【小问1详解】 解：将A，B代入得，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，，即， 设直线的解析式为， 将B代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 如图1，过B点作轴交于点E，则 ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， 解得，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：由题意知，， ∴， ∵抛物线沿方向平移个单位， ∴抛物线沿x轴负半轴平移2个单位，沿y轴正方向平移2个单位， ∵， ∴平移后的函数解析式为， 当时，， 解得，或， ∴， 当时，，即； 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 设， 当轴时，直线与直线所成夹角为，如图2， 由对称与平行的性质可得，， ∴， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴直线的解析式为， 当， 解得，或； 当于时，直线与直线所成夹角为，如图3， ∴，， 由勾股定理得，， ∴，即， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴直线的解析式为， 当， 解得，或； 综上所述，H点坐标为或6或或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，等边对等边，正切，正弦，勾股定理，对称的性质，二次函数图象的平移等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，等边对等边，正切，正弦，勾股定理，对称的性质，二次函数图象的平移是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$