8.1.2 向量数量积的运算律课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.1.2　向量数量积的运算律 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.掌握向量数量积的运算律,并要注意运算律的适用范围以及与实数乘法运算律的区别. 2.会应用运算律进行相关的计算或证明等问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点 向量数量积的运算律 已知向量a,b,c与实数λ,则 交换律 a·b=　　　　　  结合律 (λa)·b=　　　　　　=　　　　　　  分配律 (a+b)·c=a·c+b·c b·a λ(a·b) a·(λb) 名师点睛 1.在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.但是在向量数量积的运算中,不能由a·b=0推出a=0或b=0.事实上,当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.实际上,由a·b=0可推出以下四种结论:(1)a=0,b=0;(2)a=0,b≠0;(3)a≠0,b=0; (4)a≠0,b≠0,但a⊥b. 总而言之,a·b=0⇔a⊥b. 2. 已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c a=c,因为a·b=b·c(b≠0)表示向量c,a在向量b方向上的投影的数量相等,并不能说明a=c.如图所示,虽然a·b=b·c,但a≠c. 3.对于实数a,b,c,有(a·b)c=a(b·c).但对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)未必成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)未必成立. 4.重要公式 平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式 (a±b)2=a2±2a·b+b2 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)(a·b)·c=a·(b·c).(　　) (2)若a⊥b,则a·b=0.(　　) (3)若a∥b,则a·b>0.(　　) (4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).(　　) × × × √ 2.[北师大版教材习题]已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,计算下列各式: (1)(a+b)·(a-b); (2)(2a-b)·(a+3b). 解 (1)(a+b)·(a-b)=a·a-b·b=|a|2-|b|2=62-42=20. (2)(2a-b)·(a+3b)=2a·a+5a·b-3b·b=2×62+5×6×4cos 60°-3×42=84. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　向量数量积的计算 【例1】 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求: (1)e1·e2;(2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2. 变式探究对本例变形:已知e1,e2是两个单位向量,且(2e1-e2)·(-3e1+2e2)= ,求<e1,e2>. 规律方法　求向量的数量积时,常用到的结论 (1)a2=|a|2; (2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则; (3)(a+b)2=a2+2a·b+b2; (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c. 同时还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用上已知条件. 变式训练1[2023江西上饶一模]已知平面向量a,b满足|a|=2|b|=2,它们的夹角为 ,则(a-2b)·(a+b)=　　　　　.  1 则(a-2b)·(a+b)=a2-a·b-2b2=4-1-2=1. 探究点二　向量数量积运算律的应用 角度1.求向量的模 【例2】 已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为 ,求|a+b|,|a-b|. 变式探究在本例中条件不变,求|3a-2b|. 规律方法　求向量的模一般先求模的平方,借助|a|2=a2进行转化,最后开方即可. 角度2.向量的夹角和垂直问题 【例3】 (1)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 (　　) B B (3)[人教A版教材习题]已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角θ. 解 因为(2a-3b)·(2a+b)=4a2-4a·b-3b2=61, 变式探究若将本例(1)条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值. 解 设a与b夹角为θ,因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a||b|cos θ=13|b|2+12|b|2cos θ, 即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos θ,故有cos θ= . 分析利用向量垂直的充要条件求参数. B 解析 由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0), 又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m||n|cos θ+|n|2=t×3k×4k× +(4k)2=4tk2+16k2=0. 所以t=-4. 规律方法　1.求向量夹角问题的两种思路 (1)数量积a·b与模积|a||b|好求解,直接用变形公式cos θ= 求值定角. (2)a·b与|a||b|不好求,可采用寻求两者关系,再用变形公式cos θ= 求值定角. 2.两个向量的夹角与其数量积的关系 (1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b>0,且a与b不同向. (2)a,b夹角为钝角的等价条件是a·b<0,且a与b不反向. (3)a与b垂直的等价条件是a·b=0. 变式训练2[人教A版教材例题]已知|a|=3,|b|=4,且a与b不共线.当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直? 解 a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0. 因为a2=32=9,b2=42=16,所以9-16k2=0,解得k= . 也就是说,当k= 时,a+kb与a-kb互相垂直. 探究点三　向量在几何中的应用 【例5】在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是线段CD上一点,满足 (2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE?若存在,确定F点的位置,并求 | |;若不存在,请说明理由. 规律方法　利用向量法证明几何问题的方法技巧 (1)利用向量表示几何关系,如位置关系、长度关系、角度关系. (2)进行向量计算,如向量的线性运算、数量积运算. (3)将向量问题还原成几何问题,如向量共线与三点共线或者直线平行,向量的夹角与直线的夹角等. 变式训练3[人教A版教材例题]如图,CD是△ABC的中线, ,用向量方法证明△ABC是直角三角形. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1.[探究点一]已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则(a+2b)·(a-3b)=(　　) A.-72 B.72 C.84 D.-84 A 解析 因为|a|=6,|b|=4,a与b为夹角为60°, 所以a·b=|a||b|cos 60°=6×4× =12, 则(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-a·b-6|b|2=36-12-6×16=-72,故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A.6 B.3 C.-3 D.-6 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4.[探究点三]已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于(　　) A 解析 由题意知,(m+kn)·(m-3n)=m2-3kn2=4-3k=0,解得k= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 5.[探究点二(角度1)]已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6.[探究点二(角度2)]若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则<a,b>=(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° C 解析 由(2a+b)·b=0,得2a·b+b2=0,所以2|a||b|·cos<a,b>+|b|2=0.所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7.(多选题)[探究点二·2023河南汝州月考]若向量a,b,c满足|a|=2, ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8.[探究点二(角度2)·2023安徽蒙城二模]已知非零向量a,b,c满足|a|=1, (a-b)·(a+b)=-1,a·b=1,c=-2b,则向量a与c的夹角为(　　) A.45° B.60° C.135° D.150° C 又<a,c>∈[0,π],∴向量a与c的夹角为135°.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9.[探究点二(角度2)]已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直? 解 若(μa+b)⊥(a-2b),则(μa+b)·(a-2b)=0,μa2-2b2-2μa·b+a·b=0. ∵a+b+c=0,c=-a-b, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10.[探究点二]已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.求: (1)a与b的夹角θ; (2)|a+b|的值. 解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61, ∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.∴a·b=-6, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2)如果∠A=60°,AB=2AC,CD,EF有什么关系?用向量方法证明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (2)CD⊥EF.证明如下: 设AC=m,则AB=2m,EF=m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B 级 关键能力提升练 12.(多选题)设a,b,c是平面内任意的非零向量,且相互不共线,其中正确的有 (　　) A.(a·b)c-(c·a)b=0 B.|a|-|b|<|a-b| C.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直 D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 BD 解析 由b,c是平面内任意向量知选项A错误; 由三角形的三边关系得选项B正确; 由[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0得选项C错误;选项D显然正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 13.[2023安徽期中]已知向量a是非零向量,b是单位向量,a,b的夹角为120°,且a⊥(a+b),则|a-b|=(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 解析 由|3a-b|≤ 可得|3a-b|2≤12, 即(3a-b)2=9|a|2+|b|2-6a·b≤12, 而-6a·b≤6|a||b|≤9|a|2+|b|2,当且仅当3|a|=|b|,且a,b反向时等号成立,所以-12a·b≤12,即a·b≥-1,等号成立的条件为b=-3a.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的最小值为 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17.已知△ABC中,AB=6,AC=4,O为△ABC所在平面内一点,满足 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 -1 解析 ∵AD∥BC, 且∠DAB=30°, ∴∠ABE=30°. ∵EA=EB,∴∠EAB=30°,∠AEB=120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (1)(a+b)·(a-2b); (2)a与a+b的夹角的余弦值. 所以(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=9-(-6)-2×8=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20. [2023浙江温州期中]如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2,BC=CD=1,已知E,F分别为线段BC,AB上的动点(E,F可与线段的端点重合),且满足 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21.如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a.若长为2a的线段PQ以A为中 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解 (1)e1·e2=|e1||e2|cos 60°=. (2)由(1)可知e1·e2=,|e1|=|e2|=1,所以(2e1-e2)·(-3e1+2e2) =-6+3e2·e1+4e1·e2-2=-6|e1|2+3×+4×-2|e2|2=-6+-2=-. (3)由(1)知e1·e2=,(e1+e2)2=(e1+e2)·(e1+e2)=+e1·e2+e2·e1++2e1·e2+=1+1+1=3. - 解 设<e1,e2>=θ,θ∈[0,π],则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6+7e1·e2-2 =-6+7×cos θ-2=-.因此cos θ=,又θ∈[0,π],则θ=,即<e1,e2>=. 解析 已知平面向量a,b满足|a|=2|b|=2,它们的夹角为,则a·b=2×1×=1, 解 |a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=52+52+2×5×5cos=75,所以|a+b|=5. 同理|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=52+52-2×5×5cos=25,所以|a-b|=5. 解 |3a-2b|2=(3a-2b)2=9|a|2+4|b|2-12a·b=9×52+4×52-12×5×5cos=175,则|3a-2b|=5. A. B. C. D. 解析 设a,b的夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2=|b|2,所以cos θ=. 又θ∈[0,π],所以a与b的夹角为,故选B. (2)若|a|=1,|b|=2,a·b=2,则a,b的夹角为(　　) A.0 B. C. D. 解析 由题意可得,cos<a,b>=,由于向量夹角的范围为[0,π],所以向量a与b的夹角为.故选B. 所以a·b=-6,所以cos θ==-,所以θ=120°. - 【例4】 已知非零向量m,n的夹角为θ,且满足4|m|=3|n|,cos θ=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　) A.4 B.-4 C. D.- ± ± ||=2||,如图所示,设=a,=b. (1)用a,b表示; 解 (1)根据题意得=b,=-=-a,所以=b-a. (2)结论:在线段BC上存在使得4||=||的一点F满足AF⊥BE,此时||=. 理由如下: 设=t=tb,则=(1-t)b(0≤t≤1), 所以=a+tb. 因为在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°, 所以|a|=|b|=1,a·b=|a||b|cos 60°=. 因为AF⊥BE,所以=(a+tb)·(b-a)=(1-t)a·b-a2+tb2 =(1-t)×+t=0, 解得t=,从而=a+b,所以||=. CD=AB 证明 设=a,=b,则=a+b,=-b,于是=a-b. =(a+b)·(a-b)=a2-b2, 因为CD=AB,所以CD=DA. 因为a2=CD2,b2=DA2,所以=0. 因此CA⊥CB,于是△ABC是直角三角形. 2.[探究点二(角度1)]若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=(　　) A.2 B. C. D. 解析 因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,所以a·b=1×2×=1,则|a+b|=.故选D. 3.[探究点三]在△ABC中,M,N分别为AB,BC的中点,AB=AC=4,=8,则的值为(　　) 解析如图,)=(-)= ,又AB=AC=4,=8, ∴=()·()==4-8-2=-6.故选D. A. B. C.- D.- A. B. C. D.4 解析 |a+3b|=. cos<a,b>=-=-=-,所以<a,b>=120°. |b|=,|c|=1,a与b的夹角为,则( 　　) A.a·b=3 B.|a-2b|=4 C.1≤|a+c|≤3 D.(a+b)⊥(a-b) 解析 ∵|a|=1,且(a-b)·(a+b)=-1, ∴|a|2-|b|2=-1,得|b|2=2,即|b|=. 又a·b=1,c=-2b,∴|c|=2|b|=2, a·c=a·(-2b)=-2a·b=-2, 则cos<a,c>==-. ∴|c|2=|a+b|2=9+25+2a·b=49,∴a·b=. ∴9μ-2×25-2μ×=0.∴μ=-. ∴存在μ=-,使得μa+b与a-2b垂直. ∴cos θ==-.∵θ∈[0,π],∴θ=. (2)|a+b|=. 11. [探究点三·人教A版教材习题]如图,在△ABC中,AD=AB,点E,F分别是AC,BC的中点.设=a,=b. (1)用a,b表示. 解 (1)a-b,a. =(a-b)·a=a2-a·b=×(2m)2-×2m×m×cos 60°=m2-m2=0. 所以,所以 CD⊥EF. A. B. C. D. 解析 由b是单位向量,a,b的夹角为120°, 则|b|=1,a·b=|a||b|cos 120°=-|a|, 又a⊥(a+b),则a·(a+b)=0,即a2-|a|=0,又向量a是非零向量,则|a|=,|a-b|=.故选A. 14.[2023湖北模拟]已知菱形ABCD的边长为4,点E,F分别是线段CD,AD上靠近点D,A的三等分点,若=8,则=(　　) A. B.- C. D.- 解析 ·()==8, 故=-8,而=()·() =()·()==-×(-8)=.故选A. 15.[2023江苏武进校级二模]已知平面向量a,b满足|3a-b|≤2,则a·b的最小值为(　　) A.-1 B.0 C. D. 2 A.1 B. C. D. 解析 因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60°. 又|a-c|=,故当|c|=时,|a-c|的最小值为. ||=||=||,则方向上的投影的数量为　　　　　.  解析 ∵||=||=||,∴点O为△ABC的外心. 设∠OAB=θ,可得∠OBA=θ, ∴方向上的投影的数量为||cos θ,方向上的投影的数量为||cos θ. 由题意可知||cos θ+||cos θ=||=6. 又∵||=||=||,∴||cos θ=3, 即方向上的投影的数量为3. 18.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠DAB=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=　　　　.  在△AEB中,由AB=2,EA=EB=2, =()·()=- =-12+2×2×cos 30°+5×2×cos 30°+5×2×cos 180°=-12+6+15-10=-1. 19.[2023江苏宿迁期中]已知向量a与b的夹角θ=,且|a|=3,|b|=2.求: 解 (1)θ=,且|a|=3,|b|=2, 则a·b=|a||b|cos=3×2×(-)=-6, (2)由(1)知a·b=-6, 所以|a+b|=, 所以a与a+b的夹角的余弦值为cos<a,a+b>=. =x=y. (1)求关于x,y的关系式,并确定x,y的取值范围; (2)若,判断是否存在恰当的x和y使得取得最大值?若存在,求出该最大值及对应的x和y;若不存在,请说明理由. 解 (1)由等腰梯形的性质可知∠BAD=60°, 即=||||cos∠BAD=1, 又=x+y+y(-)=(1-+y, 则=(x)·[(1-+y]=-xy+4x--1,由E,F分别为线段AB,BC上的动点,故x∈[0,1],y∈[0,1]. (2)由可得=-xy+4x--1=0, 则x=,因为y∈[0,1],所以x∈[], 故,令y+2=t,则y=t-2, 即=f(t)=-2(t+-8),t∈[2,3], 显然函数f(t)在区间[2,3]上单调递增, 故当t=3,即x=且y=1时,取得最大值,为2. 点,问:的夹角取何值时,最大?并求出这个最大值. 解 设的夹角为θ, 则=()·() = =-a2- =-a2-·() =-a2+=-a2+a2cos θ. 故当cos θ=1,即θ=0°(方向相同)时,最大,其最大值为0. $$