8.1.3 向量数量积的坐标运算课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.1.3　向量数量积的坐标运算 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.掌握向量数量积的坐标表示,会进行向量数量积的坐标运算. 2.能利用向量数量积的坐标运算解决有关长度、角度、垂直等相关问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点 向量数量积的坐标表示 1.由向量坐标的定义可知,存在单位正交基底{e1,e2},使得a=x1e1+y1e2, b=x2e1+y2e2,因此a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)= x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2=x1x2+y1y2,从而a·b=　　　　　　　.  x1x2+y1y2 4.a⊥b的充要条件是a·b=0,因此a⊥b⇔　　　　　　　. x1x2+y1y2=0 名师点睛 1.公式a·b=|a||b|cos<a,b>与a·b=x1x2+y1y2都是求两向量的数量积,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解. 过关自诊 A 2.(多选题)已知向量a=(1,3),b=(1,-2),c=(-2,4),则下列结论正确的是(　　) A.b∥c B.|a+c|=50 C.(a+b)⊥b AC　 重难探究·能力素养全提升 探究点一　向量数量积的坐标运算 【例1】 已知向量a=(3,-1),b=(1,-2). (1)求(a+b)2; (2)求(a+b)·(a-b). 分析利用u·v=x1x2+y1y2(其中u=(x1,y1),v=(x2,y2))等基本公式计算. 解 (1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), ∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25. (2)(方法一)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5, ∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5. (方法二)∵a=(3,-1),b=(1,-2),∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),a-b=(3,-1)-(1,-2) =(2,1),∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5. 变式探究本例中,若存在向量c满足a·c=-1,b·c=3,试求c. 规律方法　向量数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征建立平面直角坐标系,并写出相应点的坐标即可求解. 变式训练1[人教A版教材习题]已知a=(2,3),b=(-2,4),c=(-1,-2).求a·b,(a+b)·(a-b),a·(b+c),(a+b)2. 解 因为a+b=(0,7),a-b=(4,-1),b+c=(-3,2),所以a·b=-4+12=8,(a+b)·(a-b) =0×4+7×(-1)=-7,a·(b+c)=-3×2+3×2=0,(a+b)2=02+72=49. 探究点二　利用向量数量积解决长度和垂直、夹角问题 【例2】 (1)[2023四川资阳模拟]已知向量a=(1,2),b=(-2,3),若a⊥(ka+b),则k=(　　) B 解析 因为向量a=(1,2),b=(-2,3),所以ka+b=k(1,2)+(-2,3)=(k-2,2k+3),因为a⊥(ka+b),所以a·(ka+b)=k-2+2(2k+3)=5k+4=0,解得k= .故选B. (2)[北师大版教材习题]已知a=(3,0),b=(k,5),且a与b的夹角是135°,求k的值. 当k=5时,不合题意,舍去.所以k=-5. (3)[人教A版教材例题]若点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC是什么形状?证明你的猜想. 解如图,在平面直角坐标系中画出点A,B,C,我们发现△ABC是直角三角形.证明如下. 规律方法　利用向量数量积的坐标表示求向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积. (2)求模.利用|a|= 计算两向量的模. (3)求夹角θ的余弦值cos θ. (4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值. 【例3】 (1)[2023江西南昌三模]平面向量a=(-2,k),b=(2,4),若a⊥b,则 |a-b|=(　　) D 解析 已知平面向量a=(-2,k),b=(2,4), ∵a⊥b,∴-2×2+4k=0,∴k=1,∴a-b=(-4,-3), (2)[北师大版教材例题]已知向量a=(2cos θ,sin θ),求|a|的最大值和最小值. 又0≤cos2θ≤1,故|a|的最大值为2,最小值为1. 变式训练2已知a=(x,1),b=(4,-2). (1)当a⊥b时,求|2a-b|; (2)若a和b的夹角为钝角,求x的取值范围. 探究点三　利用向量数量积的坐标运算求解几何问题 【例4】 已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:BE⊥CF. 证明以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设AB=2,则B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1). 规律方法　向量法证明平面几何中BE⊥CF的方法 方便建立平面直角坐标系时,建立坐标系,把向量计算证明问题转化为向量的坐标运算,可以起到事半功倍的效果,本题先求 的坐标,再计算 的值为0,从而得到几何结论BE⊥CF. 变式训练3 在△ABC中,BC边上的中线AD的长为2,P是△ABC所在平面上的任意一点,则 的最小值为(　　) A.1 B.2 C.-2 D.-1 C 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1.[探究点一·2023辽宁丹东模拟]已知向量a=(2,1),b=(3,2),则a·(a-b)=(　　) A.-5 B.-3 C.3 D.5 B 解析 ∵a=(2,1),b=(3,2),∴a-b=(-1,-1), 则a·(a-b)=2×(-1)+1×(-1)=-3.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3.[探究点二]已知向量a=(1,2),b=(-1,1),若(λa+b)⊥b,则λ的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 A 解析 ∵a=(1,2),b=(-1,1),(λa+b)⊥b, ∴(λa+b)·b=0,即[λ(1,2)+(-1,1)]·(-1,1)=0, 得(λ-1,2λ+1)·(-1,1)=0,整理得1-λ+2λ+1=0,λ=-2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4.[探究点三]在等腰直角三角形ABC的斜边AC上有一点D.已知 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5.[探究点二]已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x=　　　　　;|a+b|=　　　　　.  2 解析 ∵a·b=2,∴x=2. ∵a+b=(3,1),∴|a+b|= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6.[探究点二]已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为　　　　　.  解析 由题得λa+b=λ(-3,2)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),则(λa+b)·(a-2b) =3λ+1+4λ=7λ+1=0,∴λ= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7.[探究点二·2023四川模拟]已知向量a=(x+1, ),b=(1,0),a·b=-2,则向量a+b与b的夹角为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8.[探究点一]已知向量a,b同向,b=(1,2),a·b=20. (1)求向量a的坐标; (2)若c=(2,1),求(b·c)a. 解 (1)因为向量a,b同向,又b=(1,2), 所以设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),λ>0. 由a·b=20,得1×λ+2×2λ=20, 所以λ=4,所以a=(4,8). (2)因为b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4, 所以(b·c)a=4(4,8)=(16,32). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9.[探究点二·2023河南期中]已知向量a=(-1,2),b=(3,-1). (1)求a+2b的坐标与|a-b|; (2)求向量a与a-b的夹角的余弦值. 解 (1)a=(-1,2),b=(3,-1), 则a+2b=(5,0),a-b=(-4,3), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 B 级 关键能力提升练 10.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 P的坐标是(　　) A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12.[2023黑龙江龙凤校级模拟]已知非零向量a,b满足|a+2b|=|2a+b|= |a|,则a,b的夹角θ的值为(　　) A.45° B.60° C.90° D.120° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13.[2023上海奉贤校级期中]已知平面向量a,b,c,对任意实数x,y都有 |a-xb|≥|a-b|,|a-yc|≥|a-c|成立.若|a|=2,则b·(c-a)的最大值是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14.[2023陕西鄠邑期中]已知向量a=(-4,2),b=(2,t),则下列说法正确的是 (　 　) A.当a⊥b时,t=4 B.当a∥b时,t=-1 C.当a与b的夹角为锐角时,t的取值范围为(4,+∞) D.当a+2b=0时,t=1 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15.(多选题)[2023广东梅州二模]已知向量a=(2,1),b=(cos θ,sin θ),c=(0,1),则下列说法正确的是(　 　) A.当且仅当tan θ= 时,a∥b B.a在c上的投影的数量为1 C.存在θ,使得b=a-c D.存在θ,使得|a+b|=|a-b| ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16.[2023北京西城校级期中]已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为原点,则 的最小值为　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17.[2023河南月考]已知向量a=(-4,2),b=(1,-4). (1)若(a-3b)⊥(λa+b),求λ的值; (2)若c=(3μ-2,-μ),向量a+b与c的夹角为锐角,求μ的取值范围. 解 (1)若(a-3b)⊥(λa+b),则(a-3b)·(λa+b)=0, ∴λa2+(1-3λ)a·b-3b2=0, ∵a=(-4,2),b=(1,-4), ∴a2=20,b2=17,a·b=-4-8=-12, ∴20λ-12(1-3λ)-3×17=0,解得λ= . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2)向量a+b与c的夹角为锐角,则(a+b)·c>0, ∵a=(-4,2),b=(1,-4),∴a+b=(-3,-2), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 C 级 学科素养创新练 19.已知向量a=(1,-1),b=(3,2),则sin<a,b>=(　　) C 解析 ∵向量a=(1,-1),b=(3,2), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20.(多选题)已知向量a=(2,-1),b=(-4,-2),则下列说法正确的是(　 　) ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21.已知向量a=(-1,x)(x∈R),b=(2,4),且a∥b,则|a|=　　　　　.  解析 由a∥b有(-1)×4-2x=0,解得x=-2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22.已知a=(1,2),b=( ,1),若a与b的夹角为锐角,则x的取值范围为　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23.已知向量a=(1, ),b=(t,t+5)(t∈R),a⊥b,则t=　　　　　.  -2 解析 ∵a⊥b,∴a·b=1×t+ ×(t+5)=0, 即5t+10=0,解得t=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24.已知向量a=(1, ),b=(-2,0). (1)求a-b的坐标以及a-b与a的夹角; (2)当t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2.当a=(x1,y1),b=(x2,y2)都不是零向量时,因为|a|2=a·a=, |b|2=b·b=,所以cos<a,b>=　　　 　　.  3.在平面直角坐标系中,如果A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),从而=(x2-x1)2+(y2-y1)2,因此||=　　　　　　 　　.  2.当x1x2+y1y2<0时,θ∈;当x1x2+y1y2>0时,θ∈;当x1x2+y1y2=0时,θ=.因此可以用向量数量积的坐标形式判断夹角的范围、三角形的形状等. 1.[2023山东德州期中]已知=(2,3),=(3,t),,则t=(　　)　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D.-3 解析 由题意得=(3,t)-(2,3)=(1,t-3), 因为,所以=(2,3)·(1,t-3)=2+3(t-3)=3t-7=0,解得t=.故选A. D.<a,b>= 解析 A正确;对于B,因为a=(1,3),c=(-2,4),所以a+c=(-1,7),所以|a+c|==5,故B错误;C正确;对于D,因为a=(1,3),b=(1,-2),所以cos<a,b>==-,因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=,故D错误.故选AC. 解 设向量c=(x,y), 则解得故c=(-1,-2). A. B.- C. D.- - 解 a·b=3k,a·b=|a||b|cos 135°=-,即3k=-,解得k=±5. 因为=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3), 所以=1×(-3)+1×3=0.于是.因此,△ABC是直角三角形. A.2 B.6 C.2 D.5 则|a-b|==5.故选D. 解 依题意有|a|=. 解 (1)因为a⊥b,所以a·b=4x-2=0, 解得x=,所以a=(,1),2a-b=(-3,4),|2a-b|==5. (2)因为a和b的夹角为钝角,所以解得x<且x≠-2.故x的取值范围为(-∞,-2)∪(-2,). 分析建立平面直角坐标系,求的坐标,证明=0. 所以=(-1,2),=(-2,-1),所以=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, 所以, 即BE⊥CF. 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,使得点D在原点处,点A在y轴上,则A(0,2).设点P的坐标为(x,y),则=(-x,2-y),=(-x,-y),故·()=2=2(x2+y2-2y)=2[x2+(y-1)2]-2≥-2,当且仅当x=0,y=1时等号成立. 所以的最小值为-2.故选C. 2.[探究点二]已知向量a=(2,0),b=(-,1),则=(　　) A. B. C.2 D.5 解析 因为a=(2,0),b=(-,1), 所以a+2b=(2,0)+2(-,1)=(1,2), 所以|a+2b|=. 故选A. ||=1,=-,若=m+n,则m+n=(　　) A.- B.- C.0 D. 解析 由题意可建立平面直角坐标系,令A(0,1),B(0,0),C(1,0),则=(0,-1),=(1,-1),=m(0,-1)+n(1,-1)=(n,-m-n), 所以有=m+2n=-. 而=(n,-m-n-1), 又D在AC上,,所以有-m-1=0.因此m=-1,n=,则m+n=-.故选A. - - 解析 a=(x+1,),b=(1,0),a·b=-2,则x+1=-2,解得x=-3,故a+b=(-1,), 则cos<a+b,b>==-. 又<a+b,b>∈[0,π],则<a+b,b>=. 所以|a-b|==5. (2)a=(-1,2),a-b=(-4,3), 则a·(a-b)=10,|a|=, 故cos<a,a-b>=. 解析 ∵=(1,1),=(-3,3), ∴=1×(-3)+1×3=0. ∴,∴A=90°,故选A. 11.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点 解析 设点P的坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).=(x-2)(x-4)+ (-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,有最小值1,此时点P的坐标为(3,0).故选C. 解析 ∵|a+2b|=|2a+b|=|a|,∴a2+4a·b+4b2=4a2+4a·b+b2=7a2, ∴a2=b2,a·b=a2, ∴cos θ=, ∵θ∈[0,π],∴θ=60°,故选B. 解析 如图,设a=,b=,c=,若对任意实数x,y都有|a-xb|≥|a-b|, |a-yc|≥|a-c|成立,则B,C在以MA为直径的圆上,过点O作OD∥AC,交MC于点E,交圆于点D, 上的投影最长为||,b·(c-a)=b·=||||. 设∠AMC=θ,则||=2sin θ,||=sin θ, ||=1-||=1-sin θ, ∴b·(c-a)=2sin θ(1-sin θ)=-2sin2θ+2sin θ, 则当sin θ=时,b·(c-a)有最大值为. 解析 已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为原点,则·()=4+2cos θ,又cos θ∈[-1,1],则∈[2,6],即的最小值为2. 又c=(3μ-2,-μ),∴-3(3μ-2)+2μ>0,∴μ<. 又当a+b与c的夹角为0°时不符合题意, ∴3μ≠2(3μ-2),μ≠, 则μ的取值范围为(-∞,). 18.在△ABC中,已知=(1,2),=(4,m),m>0. (1)若∠ABC=90°,求m的值; (2)若||=3,且=2,求cos∠ADC的值. 解 (1)若∠ABC=90°,则=0, 因为=(3,m-2), 所以=3+2m-4=0,所以m=. (2)因为||=3,所以=3, 因为m>0,所以m=5,所以=(3,3), 因为=2, 所以=(1,1),=(2,2), 而=(3,4),所以=(-3,-4), 所以cos∠ADC==-. A.- B.- C. D. ∴cos<a,b>=,又∵<a,b>∈[0,π], ∴sin<a,b>=.故选C. A.cos<a,b>=- B.(2a+b)∥(a+b) C.若(a+λb)⊥a,则λ= D.a在b上的投影为-b 故|a|=. (-∞,-)∪(0,2)∪(2,+∞) 解析 因为a与b的夹角为锐角,所以a·b=+2>0,解得x>0或x<-. 若a与b共线,则b=λa,即 综上,x的取值范围为(-∞,-)∪(0,2)∪(2,+∞). 解 (1)因为a-b=(1,)-(-2,0)=(3,), 所以a-b的坐标为(3,). 设a-b与a之间的夹角为θ,则cos θ=,而θ∈[0,π],故θ=. (2)因为a-tb=(1,)-t(-2,0)=(1+2t,), 所以|a-tb|=, 所以t=-时,|a-tb|的最小值为,t=1时,|a-tb|的最大值为2,故|a-tb|的取值范围为[,2]. $$