8.2.1 两角和与差的余弦课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.2.1　两角和与差的余弦 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,掌握用向量证明问题的方法,进一步体会向量法的作用. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点 两角和与差的余弦公式 名称 公式 简记 两角和的余弦公式 cos(α+β)=　　 　 　　  Cα+β 两角差的余弦公式 cos(α-β)=　　　 　　  Cα-β cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β 名师点睛 两角和与差的余弦公式的常见变形应用 公式记忆口诀:“余余正正,符号相反”. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.(　　) (2)cos(α+β)=cos α+cos β.(　　) (3)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β对任意角α,β都成立.(　　) × × √ √ 2.cos 15°=　　　　　.  3.[人教A版教材例题]利用公式Cα-β证明: (1)cos( -α)=sin α; (2)cos(π-α)=-cos α. (2)cos(π-α)=cos πcos α+sin πsin α=(-1)×cos α+0=-cos α. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　两角和与差的余弦公式的简单应用 【例1】 (1)cos 615°的值为(　　) 分析 先把615°转化为两个特殊角的差,再进一步转化利用两角和的余弦公式求解. D 解析 cos 615°=cos(720°-105°)=cos 105°=cos(45°+60°)= . (2)计算sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°的值为(　　) 分析 先利用诱导公式对角进行转化,再逆用两角差的余弦公式求解. B 解析 sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°=cos 83°cos 23°+sin 83°sin 23° =cos(83°-23°)=cos 60°= . 分析 注意sin2α+cos2α=1的应用. 变式探究1求2cos 15° sin 15°的值. 规律方法　利用两角和与差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路 (1)先把非特殊角转化为特殊角的和或差,再用公式直接求值. (2)充分利用诱导公式,构造两角和与差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值. 变式训练1(1)cos 60°cos 30°-sin 60°·sin 30°=(　　) A 解析 cos 60°cos 30°-sin 60°·sin 30°=cos(60°+30°)=cos 90°=0.故选A. (2)cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=(　　) A.sin(2α-β) B.cos(2α-β) C.cos β D.-cos β C 解析 cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=cos[(α-β)-α]=cos(-β)=cos β.故选C. 探究点二　给值求值问题 规律方法　给值求值问题的两个主要技巧 一个是已知角的某一三角函数值,求该角的另一三角函数值时,应注意角的终边所在的象限,从而确定三角函数值的正负. 二是注意变角,“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到,因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式:α=(α+β)-β=β-(β-α)= [(α+β)+(α-β)]= [(α+β)-(β-α)], 2α=(α+β)+(α-β)=(α+β)-(β-α),α+2β=(α+β)+β等.变换的方式很多,需要自己慢慢地体会和探索. cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 探究点三　给值求角问题 分析利用两角和的余弦公式求α+β的余弦值,并结合角α+β的范围进行求解. 规律方法　解决给值求角问题的策略 求角时,先根据已知条件求出角的余弦值,然后根据已知条件求出角的范围,从而确定角的大小. B 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1.[探究点一]cos 70°cos 335°+sin 110°sin 25°的值为(　　) B 解析 原式=cos 70°cos 25°+sin 70°sin 25°=cos(70°-25°)=cos 45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.[探究点一]已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos A,sin A), b=(cos B,sin B),且a·b=1,则△ABC一定是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 B 解析 因为a·b=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.[探究点一]已知sin(α-45°)= ,0°<α<90°,则cos α=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 cos α+sin α=cos α+sin α)=cos(α-); cos α-sin α=cos α-sin α)=cos(α+); cos α+sin α=cos; cos α-sin α=cos. (4)cos α+sin α=cos(45°-α).(　　) 证明 (1)cos(-α)=coscos α+sinsin α=0+1×sin α=sin α. A. B.- C. D. A.- B. C. D.- (3)[北师大版教材习题]已知sin α=-,α∈(-,0),求cos(-α)的值. 解 因为sin α=-,α∈(-,0),所以cos α=,故cos(-α)=coscos α+sinsin α=×(-)=. -2 解 原式=4=4cos 75°=4cos(45°+30°)=4×. 变式探究2[2023福建南平期末]若α是第二象限角,sin(α+)=-,则cos α =　　　　　.  - 解析 因为α是第二象限角,且sin(α+)=-<0,所以α+为第三象限角, 所以cos(α+)=-, 所以cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)+sin(α+)=×(-)+×(-)=-. A.0 B. C. D.1 (3)[北师大版教材习题]已知cos θ=-,θ为第二象限角,求cos(θ+)的值. 解 因为cos θ=-,θ为第二象限角,所以sin θ=.故cos(θ+)=cos θcos-sin θsin=(-)×=-. 【例2】 (1)[人教A版教材例题]已知sin α=,α∈(,π),cos β=-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 解 由sin α=,α∈(,π), 得cos α=-=-=-. 又由cos β=-,β是第三象限角, 得sin β=-=-=-. 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-)×(-)+×(-)=-. (2)[北师大版教材例题]已知<β<α<π,sin(α-β)=,cos β=-,求cos α的值. 解 因为<β<α<π,所以0<α-β<<β<π. 从而cos(α-β)=, sin β=. 因此cos α=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=×(-)-=-. 变式训练2已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,α+β∈,求cos 2α,cos 2β. 解 ∵<α+β<2π,cos(α+β)=,∴sin(α+β)=-. 又<α-β<π,cos(α-β)=-,∴sin(α-β)=. 故cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β) ==-. 【例3】 已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,求α+β. 解 因为α,β为锐角,且sin α=,cos β=, 所以cos α=,sin β=. 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=. 由0<α<,0<β<,得0<α+β<π, 又cos(α+β)>0,所以α+β为锐角,所以α+β=. 变式训练3若sin(-α)=-,sin(+β)=,其中<α<<β<,则角α+β的值为 (　　) A. B. C. D. 解析 因为<α<,所以--α<0. 因为<β<,所以+β<, 由已知可得cos(-α)=,cos(+β)=-,则cos(α+β)=cos[(+β)-(-α)] =cos(+β)cos(-α)+sin(+β)sin(-α) =(-)××(-)=-. 因为<α+β<π,所以α+β=. A.1 B. C. D. =. 2.[探究点一]已知α为锐角,若sin(α+)=-,则cos(α-)=(　　) A. B. C.- D. 解析 sin(α+)=-=-cos α,故cos α=, 又α为锐角,则sin α=, Cos(α-)=cos αcos+sin αsin.故选A. 3.[探究点三·2023宁夏银川校级期中]已知α,β都是锐角,满足cos α=, sin β=,则α+β的值为(　　) A. B. C. D.+2kπ,k∈Z 5.(多选题)[探究点二·2023广西阳朔校级月考]已知α,β是锐角,cos α=, cos(α-β)=,则cos β的值可能为(　　) A. B. C. D.- 解析 由α是锐角,cos α=,则sin α=, 又β是锐角,则-β∈(-,0),得α-β∈(-), 又cos(α-β)=,则sin(α-β)=±, 则cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=, 所以cos β=或cos β=.故选AC. 6.[探究点三]已知α为三角形的内角且cos α+sin α=,则α=　　　　　.  解析 因为cos α+sin α=coscos α+sinsin α=cos,因为0<α<π, 所以-<α-,所以α-,α=. - 解析 因为0°<α<90°,所以-45°<α-45°<45°, 所以cos(α-45°)=, 所以cos α=cos[(α-45°)+45°]=cos(α-45°)cos 45°-sin(α-45°)sin 45°=. 8.[探究点二·2023湖北宜昌期中]已知α,β为锐角,sin α=,cos(π-β)=-,求cos(α-β)的值. 解 因为sin α=,α为锐角,所以cos α=. 因为cos(π-β)=-cos β=-, 所以cos β=,sin β=, 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 9.已知cos α=,α∈(-π,0),则cos(α-)=(　　) A.- B.- C. D. 解析 ∵cos α=,α∈(-π,0), ∴sin α=-=-,∴cos(α-)=cos αcos+sin αsin +(-)×=-.故选A. 10.若0<α<β<,且sin α=,cos(β-α)=,则cos β=(　　) A. B. C. D. 解析 因为0<α<β<,所以cos α=.又0<β-α<,所以sin(β-α)=, 所以cos β=cos[α+(β-α)]=.故选A. 11.[2023河南模拟]已知tan αtan β=2,cos(α+β)=-,则cos(α-β)=(　　) A. B.- C. D.- 解析 由cos(α+β)=-,知cos αcos β-sin αsin β=-,又因为tan αtan β=2=,所以cos αcos β=,sin αsin β=,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.故选A. 12.已知sin(α+)=,其中α∈(,π),则cos α的值为　　　　　.  - 解析 由题意得sin(α+)=cos[-(α+)]=cos(α-)=,由α∈(,π),得α-∈(), 所以sin(α-)=, 所以cos α=cos[(α-)+]=cos(α-)·cos-sin(α-)sin=-. 13.化简:sin(+α)·cos(α-)+sin(π-α)·sin(α-)=　　　　　.  解析 sin(+α)cos(α-)+sin(π-α)sin(α-) =cos αcos(α-)+sin αsin(α-) =cos[α-(α-)]=cos. 14.[2023湖北黄石模拟]函数f(x)=sin x+cos x,f(α)=,α∈[],则 cos α=　　　　　.  解析 ∵f(x)=sin x+cos x=2cos(x-)=2sin(x+), ∴f(α)=2sin(α+),∴sin(α+)=. 又α∈[],∴α+∈[,π]. ∵sin(α+)=,∴α+∈(,π),∴cos(α+)=-, ∴cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)cos+sin(α+)sin=-. 15.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β的值为　　　　　.  解析 ∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,① cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-,② 由①+②得2cos αcos β=+(-)=0, ∴cos αcos β=0. 16.若cos 2α=-,sin(α-β)=,且α∈(),β∈(-π,-),求α+β的值. 解 ∵α∈(),∴2α∈(,π),∴sin 2α=. 又β∈(-π,-),∴α-β∈(),∴cos(α-β)=-=-, ∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)=-×(-)+. ∵α+β∈(-,0),∴α+β=-. 17.[北师大版教材习题]在sin x+cos x=2a-3中,实数a的取值范围是(　　) A.[] B.(-∞,] C.(,+∞) D.[-,-] 解析 sin x+cos x=2cos(x-)=2sin(x+)=2a-3.因为-2≤2sin(x+)≤2,所以-2≤2a-3≤2, 所以≤a≤. 18.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,-sin β),α,β均为锐角,且|a-b|=. (1)求cos(α+β)的值; (2)若sin α=,求cos β的值. 解 (1)由题意得|a|=1,|b|=1, 则|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2-2(cos αcos β-sin αsin β)=2-2cos(α+β)=, 解得cos(α+β)=. (2)∵α,β∈,∴α+β∈(0,π), 由sin α=,cos(α+β)=可得cos α=,sin(α+β)=, 故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=. $$