8.2.2 两角和与差的正弦、正切（第1课时 两角和与差的正弦）课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.2.2　两角和与差的正弦、正切 第1课时　两角和与差的正弦 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.掌握两角和与差的正弦公式. 2.能运用两角和与差的正弦公式化简、求值. 3.能利用辅助角公式研究形如f(x)=asin x+bcos x的函数的性质. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 两角和与差的正弦公式 Sα+β:sin(α+β)=　　　　　　 　　　.  Sα-β:sin(α-β)=　　　　　　 　　　.  sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β 名师点睛 1.Sα±β与Cα±β一样,对任意角α,β都成立,是恒等式. 2.明确Sα±β与Cα±β的区别: sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β,cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β. 对比公式要注意形式与符号的特点. 3.两角和与差的正弦、余弦公式之间的联系: 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(　　) (2)sin α+sin β=sin(α+β).(　　) (3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β.(　　) × × √ 2.[北师大版教材习题]下列等式中,正确的是(　　) A.sin(α+β)=cos αsin β+sin αcos β B.cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β C.sin(α-β)=cos αsin β-sin αcos β D.cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β A 3.sin 105°=　　　　　.  解析 sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45° 4.[人教A版教材习题改编]sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18° =　　　　　.  1 知识点2 旋转变换公式 已知点P(x,y),与原点的距离保持不变,逆时针旋转θ角到点P'(x',y'),则 知识点3 化一公式(辅助角公式) 1.形如asin θ+bcos θ(a,b都不为零)的式子引入辅助角可变形为Asin(θ+φ)的形式,有时也可变形为Acos(θ+φ)的形式. 由以上不难发现,两角和与差的余弦、正弦公式的逆用也可看成是化一公式的运用,只不过在做题过程中用到的大都是一些特殊值、特殊角. 过关自诊 函数f(x)= sin x+cos x的最大值是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 B 重难探究·能力素养全提升 探究点一　给值求值(角) 分析若将cos(α+β)展开,再联立平方关系求sin β的值运算量大,利用角的变换β=(α+β)-α,两边同时取正弦比较简便. 规律方法　给值求值问题的解题策略 在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是: (1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角. 变式训练1(1)sin 50°cos 20°-sin 140°·sin 20°=(　　) A 解析 sin 50°cos 20°-sin 140°sin 20° =sin 50°cos 20°-cos 50°sin 20°=sin(50°-20°)= .故选A. A D 探究点二　利用两角和与差的正弦公式化简 【例2】 化简下列各式: 分析 各式中角的形式无法统一,且没有明显的拼角关系,所以只能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法. 分析 观察三个角之间的关系,知2α+β=α+(α+β),所以首先考虑角的代换,再利用两角和与差公式化复角为单角. 规律方法　化简三角函数式的标准和要求 (1)能求出值的应求出值; (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少; (3)使三角函数式的次数尽可能低; (4)使分母中尽量不含三角函数式和根式. 变式训练2[北师大版教材习题]求 探究点三　辅助角公式的应用 分析利用辅助角公式进行变形. A (2)若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=θ时取得最小值,则cos θ等于(　　) B 规律方法　把形如y=asin x+bcos x的式子化为y= sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1.[探究点一·2023重庆渝中校级期中]sin 80°sin 20°+cos 20°sin 10° =(　　) B 解析 sin 80°sin 20°+cos 20°sin 10° =sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10° =sin(20°+10°)=sin 30°= .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.(多选题)[探究点三·2023山东烟台模拟]已知函数f(x)=sin x-cos x,则(　　) A.f(x)的最小正周期为π BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B 级 关键能力提升练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C.最大值为2 D.为奇函数 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 级 学科素养创新练 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.[2023辽宁期中]若a<0,函数f(x)=a2sin 2x+(a-2)cos 2x的图象关于直线 x= 对称,则f(x)的最大值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)原式=sin(α+β)cos α- [sin(α+β+α)-sin(α+β-α)] =sin(α+β)cos α- [2sin αcos(α+β)] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =sin(α+β-α)=sin β. =. asin θ+bcos θ=sin θ+cos θ). 令cos φ=,sin φ=,则原式=(sin θcos φ+cos θsin φ) =sin(θ+φ). 其中φ的值由tan φ=确定,φ的终边所在的象限由点(a,b)来确定. 2.(1)sin x±cos x=sin; (2)cos x±sin x=cos; (3)sin x±cos x=2sin; (4)cos x±sin x=2cos; (5)sin x±cos x=2sin; (6)cos x±sin x=2cos. 解析 f(x)=sin x+cos x=2sin(x+). 易知2sin(x+)∈[-2,2],故函数f(x)的最大值为2. 【例1】 已知α,β均为锐角,且sin α=,cos(α+β)=-,求sin β. 解 ∵sin α=,α为锐角,∴cos α=. ∵cos(α+β)=-<0,且α,β均为锐角,∴<α+β<π. ∴sin(α+β)=, ∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =. A. B.- C. D.- (2)已知0<α<<β<π,sin α=,cos(α+β)=-,则sin β=(　　) A. B.- C.- D.0或 解析 因为0<α<,sin α=,所以cos α=. 因为0<α<<β<π,所以<α+β<.因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=±=±. 当sin(α+β)=时,sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =, 因为<β<π,所以sin β>0,故sin β=满足题意, 当sin(α+β)=-时,sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =-=0. 因为<β<π,故sin β=0不合题意,舍去.故选A. (3)[2023四川模拟]若α为锐角,且cos(α+)=,则sin(α+)=(　　) A.- B.- C. D. 解析 由α为锐角,且cos(α+)=,可得sin(α+)=,则sin(α+)=sin[(α+)+]=sin(α+)cos+cos(α+)sin.故选D. (1)sin+2sin·cos(-x); 解 原式=sin xcos+cos xsin+2sin xcos-2cos xsincoscos x-sinsin x =sin x+cos x+sin x-cos x+cos x-sin x =sin x+cos x=0. (2)-2cos(α+β). 解 原式= = =. 的值. 解 原式==2-. 【例3】 (1)cos α-sin α化简的结果可以是(　　) A.2sin(-α) B.cos(+α) C.sin(-α) D.2cos(-α) 解析 cos α-sin α=2(cos α-sin α)=2(sincos α-cossin α)=2sin(-α). A. B.- C. D.- 解析 f(x)=5cos x+12sin x=13(cos x+sin x)=13sin(x+α),其中sin α=, cos α=,由题意知θ+α=2kπ-(k∈Z)得θ=2kπ--α(k∈Z), 所以cos θ=cos(2kπ--α)=cos(+α)=-sin α=-. (3)[北师大版教材习题]求函数f(x)=cos()-sin()的单调递增区间. 解 f(x)=cos()-sin()]=cos()=cos(). 令2kπ-π≤≤2kπ,k∈Z, 解得4kπ-≤x≤4kπ-,k∈Z, 故单调递增区间为[4kπ-,4kπ-](k∈Z). 变式训练3已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x. (1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)(A>0,0<φ<)的形式,求A,ω,φ的值; (2)当x∈[-]时,求f(x)的最大值和最小值,并指出取得最值时x的值. 解 (1)f(x)=sin 2x+cos 2x=2(sin 2x+cos 2x)=2(sin 2xcos+cos 2xsin) =2sin(2x+),所以A=2,ω=2,φ=. (2)x∈[-]时,2x+∈[-], 所以2x+=-,即x=-时,f(x)min=-1,2x+,即x=时,f(x)max=2. A. B. C. D.- 2.[探究点一]已知α,β为锐角,且sin β=,cos(α+β)=-,则sin α的值为(　　) A. B. C.- D. 解析 因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π), 因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=. 因为sin β=,所以cos β=, 故sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)·sin β=.故选A. 3.[探究点三·2023江苏宝应校级月考]若sin α+cos α=,则sin(α+)=(　　) A. B. C. D. 解析 因为sin α+cos α=,所以sin(α+)=sin α+cos α =(sin α+cos α)=.故选A. 4.[探究点二·2023福建厦门模拟]已知sin α+sin(α+)=sin(-α),则sin α =(　　) A.0 B.± C.± D.± 解析 因为sin α+sin(α+)=sin α+(-sin α+cos α)=sin α+cos α, sin(-α)=cos α-sin α, 又sin α+sin(α+)=sin(-α),则sin α+cos α=cos α-sin α,则sin α=0.故选A. B.f(x)在[0,]上单调递增 C.直线x=-是f(x)图象的一条对称轴 D.f(x)的图象可由y=sin x的图象向左平移个单位长度得到 解析 函数f(x)=sin x-cos x=sin(x-), 故对于A,函数的最小正周期为T=2π,故A错误; 对于B,当x∈[0,]时,x-∈[-],故函数在该区间上单调递增,故B正确; 对于C,当x=-时,f(-)=-,故C正确; 对于D,由于函数y=sin x的图象向左平移个单位长度得到g(x)=sin(x+)≠f(x),故D错误.故选BC. 6.[探究点一·2023上海黄浦校级月考]已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=,β是第三象限角,则sin(β-)=　　　　　.  解析 ∵sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=, ∴sin(-β)=,即sin β=-. ∵β是第三象限角,则cos β=-, ∴sin(β-)=sin βcos-cos βsin =-. 7.[探究点二]已知cos(α+)=sin(α-),则tan α=　　　　　　　　　　.  解析 cos(α+)=cos αcos-sin αsincos α-sin α, sin(α-)=sin αcos-cos αsinsin α-cos α, 所以()sin α=()cos α,故tan α=1. 8.[2023福建泉州期中]已知α,β∈[,π],若cos(α-π)=,sin(α-β)=,求sin β的值. 解 因为cos(α-π)=-cos α=,所以cos α=-, 又因为α∈[,π],所以sin α=. 因为α,β∈[,π],所以-≤α-β≤,又sin(α-β)=, 所以0<α-β<,所以cos(α-β)=, 所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos α·sin(α-β), 所以sin β==1. 9.[2023山西吕梁三模]已知sin 37°≈,则的近似值为(　　) A. B. C. D. 解析 因为sin 37°≈,所以cos 37°≈,则.故选B. 10.(多选题)[2023四川苍溪校级期中]已知函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则f(x)(　　) A.为偶函数 B.在区间(0,)内单调递减 11.(多选题)[2023海南琼山校级一模]已知函数f(x)=sin x-acos x(a∈R)的图象关于直线x=-对称,则(　 　) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)在[-]上单调递增 C.f(x)的图象关于点(,0)对称 D.若f(x1)+f(x2)=0,且f(x)在(x1,x2)内单调,则|x1+x2|的最小值为 12.[2023西藏南关校级月考]已知sin(x-)=-,x∈(0,π),则sin(x+)=　　　　　.  解析 ∵sin(x-)=-,∴sin(-x)=,sin[-(x+)]=cos(x+)=. ∵x∈(0,π),∴x+∈(),∴x+∈(), ∴sin(x+)=. 13.已知sin α+cos α=,α∈,则sin=　　　　　. 解析 sin=sin αcos-cos αsincos α-sin α=(cos α-sin α). ∵α∈,∴cos α>sin α,∴(sin α+cos α)2=,(sin α-cos α)2=, ∴cos α-sin α=.∴sin. 14.已知sin(α+)=,α∈[-,0],则sin α=　　　　　.  解析 因为α∈[-,0],α+∈[-], Sin(α+)=,所以cos(α+)=, sin α=sin[(α+)-]=sin(α+)cos-cos(α+)sin. 15.[2023广东三水校级期中]已知cos α+sin β=,sin α+cos β=,则sin(α+β)=　　　　　.  - 解析 因为cos α+sin β=,sin α+cos β=,所以(cos α+sin β)2=,(sin α+cos β)2 =,即cos2α+2cos αsin β+sin2β=,sin2α+2sin αcos β+cos2β=,两式相加得2+2sin αcos β+2cos αsin β==1,所以sin(α+β)=-. 16.已知向量a=(sin x,cos x-1),b=(,-1),设f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的周期和图象的对称中心; (2)已知α为锐角,β∈(0,π),f(α+)=,sin(α+β)=-,求sin(2α+β)的值. 解 由题意得f(x)=a·b=sin x-cos x+1=2sin+1. (1)f(x)的周期T=2π,令x-=kπ(k∈Z),则x=kπ+(k∈Z),又f =2sin(kπ)+1=1,因此函数f(x)图象的对称中心为,k∈Z. (2)f=2sin(α+)+1=2sin α+1=,解得sin α=.∵α∈, ∴cos α=. ∵α∈,β∈(0,π),∴α+β∈. 又sin(α+β)=-<0,∴α+β∈, ∴cos(α+β)=-, ∴sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α =-=-. 17.(多选题)[2023浙江西湖校级期中]已知α,β,γ∈(0,),sin β+sin γ=sin α, cos α+cos γ=cos β,则下列说法正确的是(　　) A.cos(β-α)= B.cos(β-α)=- C.β-α= D.β-α=- - 4 解析 因为f(x)=a2sin 2x+(a-2)cos 2x的图象关于直线x=-对称,所以f(-)=-a2+(a-2)=±,整理得(a-1)2(a+2)2=0,解得a=1或a=-2,因为a<0,所以a=-2,f(x)=4sin 2x-4cos 2x=4sin(2x-)的最大值为4. 19.化简下列各式: (1)[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]×; (2)sin(α+β)cos α-[sin(2α+β)-sin β]. 解 (1)原式=(2sin 50°+sin 10°×)×sin 80° =()×cos 10° =2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°) =2sin(50°+10°)=2. $$