8.2.2 两角和与差的正弦、正切（第2课时 两角和与差的正切）课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.2.2　两角和与差的正弦、正切 第2课时　两角和与差的正切 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.理解两角和与差的正切公式的推导过程. 2.掌握两角和与差的正切公式的结构特征,能正用、逆用和变形用公式进行化简、求值和证明. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点 两角和与差的正切公式 Tα+β:tan(α+β)=　　　　　　　　,  Tα-β:tan(α-β)=　　　　　　　　.  名师点睛 1.在两角和与差的正切公式中,α和β的取值应使分母不为零.公式Tα+β 2.当tan α,tan β,tan(α+β)或tan(α-β)中的任一个值不存在时,不能使用公式Tα+β或Tα-β处理某些相关问题,但可改用诱导公式或其他方法.例如,化简 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)tan α+tan β=tan(α+β).(　　) × × √ √ 2.tan 105°=　　　　　.  重难探究·能力素养全提升 探究点一　利用公式化简求值 【例1】 求下列各式的值: (1)tan 15°; 分析把非特殊角转化为特殊角[如(1)]及公式的逆用[如(2)]与活用[如(3)],通过适当的变形变为可以使用公式的形式,从而达到化简或求值的目的. 规律方法　1.公式Tα+β,Tα-β是变形较多的两个公式,公式中有tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β)).三者知二可表示或求出第三个. 2.一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换. 变式训练1[北师大版教材习题]求下列各式的值: 探究点二　条件求值(角)问题 (1)tan(α-β); (2)α+β. 规律方法　1.通过先求角的某个三角函数值来求角. 2.选取函数时,应遵照以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数. 3.给值求角的一般步骤: (1)求角的某一三角函数值. (2)确定角的范围. (3)根据角的范围写出所求的角. 变式训练2(1)[2023山东青岛二模]在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC如图所示,则tan A=(　　) A 探究点三　两角和与差的正切公式的变形应用 +1=tan Atan B,判断△ABC的形状. 分析化简条件→求出tan A,tan C→求出角A,C→判断形状 又0°<C<180°,∴C=30°,∴B=30°. △ABC是顶角为120°的等腰三角形. 又0°<C<180°,所以C=60°,所以B=60°. 所以△ABC是等边三角形. 规律方法　公式Tα+β的逆用及变形应用的解题策略 整体意识:若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体,常考虑tan(α±β)的变形公式. 变式训练3(1)[2023湖北期中]在△ABC中,已知tan B,tan C是关于x的一元二次方程mx2-x+m+ =0的两个实数根,则A=　　　　　.  (2)不查表求值. ②tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°; ③tan 17°tan 43°+tan 17°tan 30°+tan 43°·tan 30°. ②tan 17°+tan 28°+tan 17°tan 28°=tan(17°+28°)·(1-tan 17°tan 28°) +tan 17°tan 28°=1. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6.[探究点三]若tan α,tan β是方程2x2+3x-7=0的两个实数根,则tan(α+β)=(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7.[探究点三]已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是　　　　　三角形.  钝角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8.[探究点一·2023北京西城校级期中](1+tan 7°)(1+tan 38°)的值为　　　　　.  2 所以tan 7°+tan 38°=tan(7°+38°)(1-tan 7°tan 38°), 所以(1+tan 7°)(1+tan 38°) =1+tan 7°+tan 38°+tan 7°tan 38°, =1+tan(7°+38°)(1-tan 7°tan 38°)+tan 7°tan 38°=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 10.[探究点三]在非直角三角形中,求证:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 证明∵A+B+C=π,∴A+B=π-C.∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C, ∴tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C, ∴tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B 级 关键能力提升练 11.在△ABC中,tan A+tan B+tan C= ,tan2B=tan A·tan C,则角B等于(　　) A.30° B.45° C.120° D.60° D 解析 由两角和的正切公式变形得tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B) =tan(180°-C)(1-tan Atan B)=-tan C(1-tan Atan B)=-tan C+tan Atan Btan C, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 12.(多选题)已知函数f(x)=sin x-cos x,则(　　) A.f(x)的最小正周期为π BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14.已知tan α+tan β=3,sin(α+β)=2sin αsin β,则tan(α+β)=(　　) A.4 B.6 C. D.-6 D 解析 已知sin(α+β)=2sin αsin β,则sin αcos β+cos αsin β=2sin αsin β, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16.(1+tan 22°)(1+tan 23°)的值为　　　　　.  2 故tan 22°+tan 23°+tan 22°·tan 23°=1, 所以(1+tan 22°)(1+tan 23°)=1+tan 22°+tan 23°+tan 22°·tan 23°=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18.tan 26°+tan 34°+ tan 26°·tan 34°=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (1)sin β的值; (2)tan(α-β)的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 20.[2023北京石景山期末]已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 和Tα-β中,需α≠kπ+(k∈Z),β≠kπ+(k∈Z),且前者需满足α+β≠kπ+(k∈Z),后者需满足α-β≠kπ+(k∈Z). tan,因为tan不存在,所以不能用公式Tα-β,但可改用诱导公式来化简:tan. (2)tan(α-β)=对于一切α,β均成立.(　　) (3)tan(α+β)(1-tan αtan β)=tan α+tan β(tan α,tan β,tan(α+β)都存在).(　　) (4)=tan.(　　) -2- 解析 tan 105°=tan(45°+60°)==-2-. (2); (3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°. 解 (1)tan 15°=tan(45°-30°)==2-. (2)=tan(30°-75°)=tan(-45°) =-tan 45°=-1. (3)∵tan(23°+37°)=tan 60°=, ∴tan 23°+tan 37°=(1-tan 23°tan 37°). ∴原式=(1-tan 23°tan 37°)+tan 23°tan 37°=. (1); 解 =tan(43°+17°)=tan 60°=. (2). 解 =tan()=tan=-. 【例2】 [北师大版教材例题]已知tan α=2,tan β=-,其中0<α<<β<π.求: 解 (1)tan(α-β)==7. (2)tan(α+β)==1. 因为0<α<<β<π,所以<α+β<. 由于在之间,只有的正切值等于1, 故α+β=. (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好. A. B.1 C. D. 解析 如图所示,tan∠BAE=, tan∠DAC=,所以tan A=tan(∠BAE+∠DAC)=.故选A. (2)[2023江苏海陵校级期中]已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=,则2α-β =　　　　　.  解析 α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=,则tan α=tan(α-β+β)=,tan(2α-β)=tan(α+α-β)==1, ∵α,β∈(0,π),tan α=,tan β=,tan, ∴α,β∈(0,),2α-β∈(-),∴2α-β=. 【例3】 已知△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=,且tan A+tan B 解 由tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)==-, 又0°<A<180°,∴A=120°. 由tan C=tan[π-(A+B)]=, 变式探究例题中把条件改为“tan B+tan C-tan Btan C=-,且 tan A+tan B+1=tan Atan B”,结果如何? 解 由tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=. 又0°<A<180°,所以A=60°.由tan C=tan[π-(A+B)]=. 解析 因为tan B,tan C是关于x的一元二次方程mx2-x+m+=0的两个实数根,所以tan B+tan C=,tan Btan C=,则在△ABC中,tan A=-tan(B+C)=-=-,所以A=. ①; 解 ①=tan(45°+75°)=-. ③原式=tan 17°tan 43°+(tan 17°+tan 43°)=tan 17°tan 43° +tan(17°+43°)(1-tan 17°tan 43°)=1. 1.[探究点一]化简等于(　　) A. B. C.3 D.1 解析 =tan(45°+15°)=tan 60°=. 2.[探究点二·2023四川宜宾模拟]已知tan α=,tan β=,则tan(β-α)=(　　) A.1 B. C. D. 解析 tan α=,tan β=,则tan(β-α)=.故选C. 3.[探究点二·2023宁夏三模]已知sin α=,α是第一象限角,且tan(α+β)=1,则tan β的值为(　　) A.- B. C.- D. 解析 sin α=,∵α是第一象限角,∴cos α=, 则tan α=,又tan(α+β)=1, tan β=tan[(α+β)-α]==-.故选C. 4.[探究点二]若tan(α-β)=,tan β=2,则tan α=(　　) A.- B.- C. D. 解析 tan α=tan(α-β+β)==-.故选A. 5.[探究点二]已知cos(α+)=,0<α<π,则tan α=(　　) A.2 B.-2 C. D.- 解析 ∵0<α<π,∴<α+. 又cos(α+)=>0,故<α+, 则sin(α+)=⇒tan(α+)=3, 所以tan α=tan[(α+)-]=. 故选C. A.- B. C.- D. 解析 由韦达定理得tan α+tan β=-,tan α·tan β=-,所以tan(α+β)==-.故选A. 解析 由根与系数的关系,得 则tan(A+B)=. ∵在△ABC中,tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-<0,∴C是钝角, ∴△ABC是钝角三角形. 解析 因为tan(7°+38°)=, 9.[探究点二]已知tan,求tan α的值. 解 ∵tan,则,∴tan α=-. 即=-tan C. 3 ∴tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C=3.∵tan2B=tan Atan C,∴tan3B=3,∴tan B=,又0°<B<180°,∴B=60°.故选D. B.f(x)在[0,]上单调递增 C.直线x=-是f(x)图象的一条对称轴 D.f(x)的图象可由y=sin x的图象向左平移个单位长度得到 13.[2023山东招远校级期中]在△ABC中,已知cos A=,tan B=,则tan(A-C)=(　　) A. B.- C.- D. 解析 由已知可得sin A>0. 又因为cos A=,所以sin A=,所以tan A=. 所以tan C=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-=-=-2, 所以tan(A-C)==-.故选C. - 即tan α+tan β=2tan αtan β,又tan α+tan β=3,则tan αtan β=,则tan(α+β)==-6. 故选D. 15.[2023上海普陀校级期末]已知tan(α+β)=2,tan(β+)=3,则tan(α-)=　　　　　.  - 解析 tan(α-)=tan[(α+β)-(β+)]==-. 解析 已知tan(22°+23°)==1, 17.[2023湖北武昌校级月考]已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<0,-<β<0,则α+β的值为　　　　　.  - 解析 由条件可知, 所以tan(α+β)=, 因为-<α<0,-<β<0,所以-π<α+β<0,所以α+β=-. 解析 由题得tan 60°=, 可得tan 26°+tan 34°+tan 26°·tan 34°=. 19.已知α,β为锐角,cos α=,cos(α+β)=-.求: 解 (1)∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π. 又cos α=,cos(α+β)=-,∴sin α=,sin(α+β)=, ∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=. (2)∵0<α<,0<β<,cos α=,sin β=, 则sin α=,cos β=, ∴tan α=,tan β=2, ∴tan(α-β)==-. 正半轴重合,终边过点P(-). (1)求sin α,cos(π-α); (2)若角β满足tan(α-β)=,求tan(2α-β)的值. 解 (1)∵P(-), ∴sin α=,cos α=-,∴cos(π-α)=-cos α=. (2)∵tan α=-2,tan(α-β)=,∴tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]==-1. 21.是否存在锐角α和β,使得α+2β=和tantan β=2-同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由. 解 由α+2β=+β=, 则tan=tan,即. 把tantan β=2-代入上式,得tan+tan β=×(1-2+)=3-, 解得 ∵α是锐角, ∴0<. ∴tan≠1. 故tan=2-,tan β=1. ∵0<β<,由tan β=1,得β=,由α+2β=得α=. ∴存在锐角α,β使得两个等式同时成立. $$