8.2.3 倍角公式课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.2.3　倍角公式 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.掌握倍角的正弦、余弦和正切公式,并能推导. 2.会用倍角公式进行三角函数的求值、化简和证明. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点 倍角公式 记法 公式 推导 S2α sin 2α=　　　　　  Sα+β S2α C2α cos 2α=　　　　　  Cα+β C2α cos 2α=　　　　　  cos 2α=　　　　　  利用　　　 　　  消去sin2α或cos2α T2α tan 2α=　　　　　  Tα+β T2α 2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α sin2α+cos2α=1　 名师点睛 3.一般情况下,sin 2α≠2sin α,cos 2α≠2cos α,tan 2α≠2tan α. 4.倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如 sin 3αcos 3α= sin 6α. 5.二倍角公式的变换 (1)因式分解变换. cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)·(cos α-sin α). (2)配方变换. 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2. (3)升幂缩角变换. 1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α. (4)降幂扩角变换. 过关自诊 [北师大版教材习题]求下列各式的值: (1)2sin 15°cos 15°; (2)cos222.5°-sin222.5°; (3)1-2sin215°; (4)2cos230°-1; 重难探究·能力素养全提升 探究点一　化简、求值问题 【例1】 求下列各式的值: 规律方法　化简、求值问题的求解策略 解决此类题目时,要善于观察三角函数式的特点,常变形后正用或逆用公式来解决. (2)由(1)可知f(θ)=tan2θ-1=3,即tan2θ=4, 探究点二　利用二倍角公式解决条件求值问题 【例2】 (1)已知sin α=3cos α,那么tan 2α的值为(　　) A.2 B.-2 分析 可先求tan α,再求tan 2α. D C ①求sin 2α的值;②求cos(2α+β)的值. 分析 可先求sin 2α,cos 2α,cos β,再利用两角和的余弦公式求cos(2α+β). 变式探究在例2(1)中求sin 2α,cos 2α. 探究点三　利用二倍角公式证明 分析可先化简等式左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边. 规律方法　证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明的一般步骤:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的. 变式训练3求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B. 探究点四　倍角公式与三角函数性质的综合问题 (2)求函数f(x)的单调递增区间. 规律方法　倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略 运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质. 变式训练4[人教A版教材习题]已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x, (1)求f(x)的最小正周期; (2)当x∈[0, ]时,求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点二·2023山东潍坊二模]若角α的终边过点P(3,-4),则sin 2α的值为 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.(多选题)[探究点四·2023辽宁大连期中]已知函数 f(x)=sin2x+ sin xcos x-cos2x,x∈R,则(　　) A.-2≤f(x)≤2 B.f(x)在区间(0,π)内只有1个零点 C.f(x)的最小正周期为π AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.[探究点二·2023湖南临澧校级期末]若sin(75°+α)= ,则cos(30°-2α) =　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11.[探究点三·北师大版教材习题]求证: (2)sin θ(1+cos 2θ)=sin 2θcos θ; (2)sin θ(1+cos 2θ)=2sin θcos2θ=2sin θcos θcos θ=sin 2θcos θ.故原等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x+2sin2x-1在[0,m]上单调递增,则m可取 (　　) AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (1)cos 2β的值; (2)tan(α+β)的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1.二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是的二倍等.“倍”是描述两个数量之间的关系的,这里蕴含着换元思想. 2.对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0,且tan α有意义,即α≠kπ+(k∈Z),且α≠kπ-(k∈Z),且α≠kπ+(k∈Z).当α=kπ+(k∈Z)及α=kπ-(k∈Z)时,tan 2α的值不存在;当α=kπ+(k∈Z)时,tan α的值不存在,故不能用二倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求tan 2α. cos2α=(1+cos 2α),sin2α=(1-cos 2α). (3)1-2sin215°=cos 30°=. (4)2cos230°-1=cos 60°=. (5)2sincos=sin. (6)=tan 150°=-. (5)2sincos; (6). 解 (1)2sin 15°cos 15°=sin 30°=. (2)cos222.5°-sin222.5°=cos 45°=. (1)sin215°; (2)coscos; 解 sin215°=(1-2sin215°)=cos 30°=. 解 原式=. (3)sin 50°(1+tan 10°). 解 原式=sin 50°=sin 50°· =sin 50°·=sin 50°· =sin 50°·=1. 变式探究根据例1(2)求sinsin·coscos的值. 解 原式=coscoscoscos =coscos =. 变式训练1已知f(θ)=. (1)化简f(θ); (2)若f(θ)=3,且θ∈(0,),求tan(2θ+)的值. 解 (1)f(θ)== ====tan2θ-1, 显然sin θ+cos θ≠0,且cos θ≠0,则有θ≠kπ-且θ≠kπ-,k∈Z,所以f(θ)=tan2θ-1(θ≠kπ-且θ≠kπ-,k∈Z). 而θ∈(0,),解得tan θ=2, 于是得tan 2θ==-,所以tan(2θ+)==-. C. D.- 解析 因为sin α=3cos α,所以tan α=3,所以tan 2α==-.故选D. (2)已知sin(+α)=,则cos(-2α)的值等于(　　) A. B. C.- D.- 分析 可利用-2α=2(-α)求值. 解析 因为cos(-α)=sin[-(-α)]=sin(+α)=,所以cos(-2α)=2cos2(-α)-1=2×()2-1=-. (3)已知cos α=-,sin β=,α是第三象限角,β∈(,π). 解 ①因为α是第三象限角,cos α=-, 所以sin α=-=-,所以sin 2α=2sin αcos α=2×(-)×(-)=. ②因为β∈(,π),sin β=,所以cos β=-=-, cos 2α=2cos2α-1=2×-1=, 所以cos(2α+β)=cos 2αcos β-sin 2αsin β=×(-)-=-. 解 ∵tan α=3,∴sin 2α=2sin αcos α=. cos 2α=cos2α-sin2α==-. 规律方法　直接应用二倍角公式求值的三种类型 (1)sin α(或cos α)cos α(或sin α)sin 2α(或cos 2α). (2)sin α(或cos α)cos 2α=1-2sin2α(或2cos2α-1). (3)sin α(或cos α) 变式训练2(1)[人教A版教材例题]已知sin 2α=<α<,求sin 4α, cos 4α,tan 4α的值. 解 由<α<,得<2α<π. 又sin 2α=,所以cos 2α=-=-. 于是sin 4α=sin[2×(2α)]=2sin 2αcos 2α=2××(-)=-; cos 4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2×()2=; tan 4α==-=-. (2)已知sin(+α)sin(-α)=,且α∈(,π),求tan 4α的值. 解 因为sin(-α)=sin=cos(+α), 则已知条件可化为sin(+α)cos(+α)=, 即sin,所以sin(+2α)=, 所以cos 2α=.因为α∈(,π),所以2α∈(π,2π), 从而sin 2α=-=-, 所以tan 2α==-2, 故tan 4α==-. 【例3】 求证:sin 2α. 证明 (方法一)左边= =sincoscos α=sin αcos α=sin 2α=右边. ∴原式成立. (方法二)左边=cos2α·cos2αtan α=cos αsin α =sin 2α=右边. 证明 左边= (cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B =右边,∴等式成立. 【例4】 [2023广东南海校级月考]已知函数f(x)=cos x(sin x+cos x)-. (1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值; 解 (1)f(x)=cos xsin x+cos2x-sin 2x+(sin 2x+cos 2x) =sin(2x+). ∵0<α<,且sin α=,∴α=,∴f(α)=f()=sin()=cos. (2)由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z. 解 f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-2sin xcos x=cos 2x-sin 2x=cos(2x+). (1)T==π,故f(x)的最小正周期是π. (2)由x∈[0,]得2x+∈[],所以当2x+=π,即x=时,f(x)取得最小值,为-. f(x)取得最小值时x的集合为. 1.[探究点一]计算:=(　　) A. B. C. D.2 解析 .故选A. A. B.- C. D.- 解析 角α的终边过点P(3,-4),所以sin α=-,cos α=. 所以sin 2α=2sin αcos α=2×(-)×=-. 故选D. 3.[探究点二]已知sin α=,则sin(-2α)=(　　) A.- B.- C. D. 解析 sin(-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=-[1-2×()2]=-,故选B. 4.[探究点二]已知tan α=2,则的值为(　　) A. B. C. D. 解析 因为tan α=2,所以. 故选A. 5.[探究点四]化简sinsin可得(　　) A.-cos(2α+) B.-sin(2α-) C.cos(2α-) D.sin(2α+) 解析 原式=sin(α+)sin(α+)=sin(α+)·cos(α+)=sin(2α+),故选D. 6.(多选题)[探究点一·2023重庆九龙坡校级月考]下列各式中,值为的是 (　　) A.2sin 15°cos 15° B.2cos2-1 C. D. 解析 2sin 15°cos 15°=sin 30°=,A正确; 2cos2-1=cos,B错误;=cos 15°≠,C错误; tan 45°=,D正确.故选AD. 2 D.x=为f(x)图象的一条对称轴 8.[探究点二]若tan α=,则cos=　　　　　.  - 解析 cos=-sin 2α=-=-=-=-. - 解析 ∵sin(75°+α)==cos(15°-α), 则cos(30°-2α)=2cos2(15°-α)-1=2×-1=-. 10.[探究点二]已知sin(x+)=,x∈(0,). (1)求tan 2x的值; (2)求2cos2(x+π)+cos(-2x)的值. 解 (1)sin(x+)=cos x=,由于x∈(0,), 所以sin x=,故tan x==2, 故tan 2x==-. (2)由2cos2(x+π)+cos(-2x)=. (1); (3)sin4α+cos4α=1-sin22α; (4)tan+α)-tan(-α)=2tan 2α. 证明 (1)=tan β,=tan β.故原等式成立. (3)sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-sin22α.故原等式成立. (4)tan(+α)-tan(-α)==2tan 2α.故原等式成立. 12.[2023广东惠州一模]若tan α=,则sin(2α+)=(　　) A. B. C. D. 解析 因为tan α=,所以, 即3sin α-sin2α=cos2α, 所以3sin α=sin2α+cos2α=1,即sin α=, 所以sin(2α+)=cos 2α=1-2sin2α=. 故选D. A. B. C. D.π 解析 ∵函数f(x)=sin 2x+2sin2x-1=sin 2x-cos 2x=sin(2x-), ∵0≤x≤m,∴2x-∈[-,2m-],函数f(x)单调递增, ∴2m-,m>0,解得0<m≤,故选AC. 14.计算:()·=　　　　.  解析 ()·=()· =[4×]× =4×=8×=8×=8. 15.若sin,则cos=　　　　　.  - 解析 由题得cos=sin,所以cos(+2α)=2cos2-1 =2sin2(-α)-1=-. 16.已知向量m=(sin x,-1),向量n=(cos x,-),函数f(x)=(m+n)·m. (1)求f(x)的周期T; (2)已知f(A)恰是f(x)在上的最大值,求锐角A. 解 (1)f(x)=(m+n)·m=sin2x+sin xcos x+sin 2x+ sin 2x-cos 2x+2=sin+2, 所以函数f(x)的周期T==π. (2)由(1)知f(x)=sin+2. 当x∈时,-≤2x-. 由正弦函数的图象可知,当2x-,即x=时,f(x)取得最大值3,即f(A)=3,所以A=. 17.[2023四川武侯校级期中]已知α∈(0,),β∈(0,),且cos(α-β)-cos(α+β)=,tan.求: 解 (1)cos(α-β)-cos(α+β)=2sin αsin β=,所以sin αsin β=. tan,所以sin α=,则sin β=, 所以cos 2β=1-2sin2β=-. (2)因为α∈(0,),β∈(0,),所以cos α=,tan α=, cos β=,tan β=.所以tan(α+β)=. 18.已知函数f(x)=2cos xsinsin2x+sin xcos x,求函数f(x)的周期及单调递增区间. 解 因为f(x)=2cos x(sin x+cos x)-sin 2x,所以f(x)=sin 2x +,所以f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,因此该函数的周期为π. 令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 则-π+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[-π+kπ,+kπ], k∈Z. 19.已知函数f(x)=cos 2x+sin xcos x+1. (1)求f(x)的周期和单调递增区间; (2)当x∈[-]时,求f(x)的最大值和最小值. 解 (1)依题意,f(x)=sin 2x+cos 2x+1=sin(2x+)+1,则f(x)的周期T==π, 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z). (2)由(1)知,f(x)=sin(2x+)+1,由x∈[-],得2x+∈[-],当2x+,即x=时,f(x)有最大值f()=1+1=2,当2x+=-,即x=-时,f(x)有最小值f(-)=-+1=. 20.已知f(x)=sincos+cos2. (1)求函数f(x)图象的对称中心和单调递增区间; (2)将函数y=f(x)的图象上的各点　　　　　得到函数y=g(x)的图象,当x∈ [-]时,方程g(x)=a有解,求实数a的取值范围.  在以下①②中选择一个,补在(2)的横线上,并加以解答. ①向左平移个单位,再保持纵坐标不变,横坐标缩小为原来的一半;②纵坐标保持不变,横坐标缩小为原来的一半,再向右平移个单位. 解 (1)因为f(x)=sincos+cos2=sin(x+),令x+=kπ,k∈Z,则x=kπ-,k∈Z, 故函数f(x)的对称中心是(kπ-,0),k∈Z; 令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z, 则2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z, 所以单调递增区间为[2kπ-,2kπ+],k∈Z. (2)选①,则可得y=g(x)=sin(2x+)=-cos(2x+),当x∈[-]时,2x+∈[-], 则cos(2x+)∈[-,1],所以g(x)∈[-1,], 若方程g(x)=a有解,则a∈[-1,]. 选②,则可得y=g(x)=sin(2x-)=sin(2x-), 当x∈[-]时,2x-∈[-], 则sin(2x-)∈[-1,],所以g(x)∈[-1,], 若方程g(x)=a有解,则a∈[-1,]. $$