8.1.1 向量数量积的概念课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.1.1　向量数量积的概念 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.理解向量数量积的含义及其物理意义. 2.知道向量的投影与向量数量积的几何意义. 3.掌握数量积的定义及运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 两个向量的夹角 给定两个非零向量a,b,在平面内任选一点O,作 ,则称_______　　　　内的∠AOB为向量a与向量b的夹角,记作　　　　. 向量夹角始点要重合,不重合时需进行平移 当<a,b>=　　　　时,称向量a与向量b垂直,记作a⊥b.由于零向量方向是不确定的,在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直. [0,π] <a,b> 名师点睛 两向量的方向与夹角关系 除了两非零向量夹角的一般情况,特殊地,当<a,b>=0时,a与b同向;当<a,b>=π时,a与b反向;当<a,b>= 或a与b中至少有一个是零向量时,a⊥b. 过关自诊 120°　 90° 2.作出向量a与b的夹角: 解 解 知识点2 向量数量积的定义 1.一般地,当a与b都是非零向量时,称　　　　　　为向量a与b的数量积(也称为内积),记作　　　　　　,即a·b=　　　　　　　.由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个　　　　　,这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同.  2.数量积的性质 如果a,b都是非零向量,向量的数量积有如下性质. (1)|a·b|≤|a||b|(共线时取等号); (2)a·a=|a|2,即|a|= ; a·a可以简写成a2,故a2=|a|2 (3)a⊥b⇔a·b=0; |a||b|cos<a,b> 　a·b |a||b|cos<a,b> 实数 名师点睛 1.向量a,b的数量积只能表示为a·b,不能表示为a×b或ab. 2.由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,a·b的符号由cos<a,b>决定,即由<a,b>的大小决定.也就是说,两个非零向量的数量积可以是正数,可以是零,还可以是负数.这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同. 3.在运用数量积公式解题时,一定要注意两向量夹角的范围是[0,π]. 过关自诊 [人教A版教材习题]已知|p|=8,|q|=6,p和q的夹角是60°,求p·q. 解 p·q=|p||q|cos 60°=8×6× =24. 知识点3 向量的投影与向量数量积的几何意义 1.如图所示, 投影向量 投影 2.给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图所示. 3.一般地,如果a,b都是非零向量,则称　　 　　为向量a在向量b上的　　　　 　.  (1)两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义. (2)当e为单位向量时,因为|e|=1,所以a·e=|a|cos<a,e>,即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量. |a|cos<a,b> 投影的数量 名师点睛 1.如果a,b都是非零向量,则b在a方向上的投影的数量可以记为|b|cos<a,b>,也可记为 . a在b方向上的投影的数量与b在a方向上的投影的数量是不一样的. 2.投影的数量是数量而不是长度,它的正负与两向量的夹角有关. 过关自诊 1.已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于(　　)　 A 2.一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共线,它们的方向相同还是相反? 提示 一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求两向量的数量积 【例1】 [北师大版教材习题]已知|a|=4,|b|=2,求分别在下列条件下a·b的值. (1)<a,b>=120°; (2)a⊥b; (3)a∥b. 解 (1)a·b=|a||b|cos<a,b>=4×2×( )=-4. (2)a·b=|a||b|cos 90°=0. (3)当a,b方向相同时,a·b=|a||b|cos 0°=4×2=8. 当a,b方向相反时,a·b=|a||b|cos 180°=-4×2=-8. 规律方法　两向量夹角的关注点 两向量方向相同时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为 (或90°),因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,则两向量共线. 变式训练1[人教A版教材例题]已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ= ,求a·b. 探究点二　利用数量积求向量的夹角 【例2】 [人教A版教材例题]设|a|=12,|b|=9,a·b=- ,求a与b的夹角θ. 规律方法　求非零向量的夹角,主要是利用公式cos θ= 求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b 三者之间的关系,然后代入求解. 变式训练2[人教A版教材习题]已知在△ABC中, ,当a·b<0或a·b=0时,试判断△ABC的形状. 探究点三　求向量的投影的数量或数量积 规律方法　1.求向量数量积的步骤 (1)求向量a与b的夹角θ,θ∈[0,π]. (2)分别求|a|和|b|. (3)求数量积,即a·b=|a||b|cos θ. 2.求投影的数量的两种方法 (1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos<a,b>,向量a在b方向上的投影的数量为|a|cos<a,b>. 变式训练3[人教A版教材习题]已知|a|=6,e为单位向量,当向量a,e的夹角θ分别等于45°,90°,135°时,求向量a在向量e上的投影向量. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.[探究点二]已知|a|=2,|b|= ,a·b=3,则a与b的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点一]已知△ABC是边长为4的等边三角形,D为BC的中点,点E在边 A.4 B.6 C.8 D.9 C 又△ABC是边长为4的等边三角形,D为BC的中点, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.[探究点三]向量a,b在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,则a·b=(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[探究点三]已知|a|=5,|b|=3,且a,b的夹角为θ,cos θ= ,则向量a在向量b上的投影的数量等于　　　　　.  -4 解析 因为|a|=5,a,b的夹角θ的余弦cos θ= , 所以向量a在向量b上的投影的数量等于|a|cos θ=5×( )=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.[探究点三]已知|a|=4,|b|=5,当分别满足以下条件时,求b在a方向上的投影的数量. (1)a∥b; (2)a⊥b; (3)a与b的夹角为60°. 解 (1)因为a∥b,当b与a的方向相同时,b在a方向上的投影的数量为5; 当b与a的方向相反时,b在a方向上的投影的数量为-5. (2)因为a⊥b,所以b在a方向上的投影的数量为0. (3)因为|a|=4,|b|=5,a与b的夹角为60°,所以b在a方向上的投影的数量为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 9.有4个式子:①0a=0;②0a=0;③0- ;④|a·b|=|a||b|. 其中正确式子的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 C 解析 ①正确;②错误;③正确;由|a·b|=|a||b||cos θ|,得|a·b|=|a||b|不一定成立,式子④错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.(多选题)对于非零向量a,b,c,下列说法正确的是(　　) A.若<a,b>∈[0, ],则a·b>0 B.若a⊥b,则a·b=(a·b)2 C.若a∥b,则a在b上的投影的数量为|a| D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1λ2≠0),则a∥b BD 解析 对于选项A,当<a,b>= 时,a·b=0,故A错误;B正确;对于选项C,若a∥b,则a在b上的投影的数量为±|a|,故C错误;对于选项D,若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1λ2≠0),推出a= ,可知a∥b,故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,则 =(　　) A.-16 B.-8 C.8 D.16 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a·b= ,则a与b的夹角为　　　　　.若向量c,d满足c为单位向量,c·d=4,<c,d>= ,则|d|=　　　　　.  8 因为c为单位向量,所以|c|=1,由向量数量积公式得c·d=|c||d|cos<c,d>,得4=1×|d|×cos,所以|d|=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. [人教A版教材习题]如图,在☉C中,是不是只需知道☉C的半径或弦AB的长度,就可以求出 的值? C 级 学科素养创新练 解 只与弦AB的长度有关,与半径无关,理由如下: 设☉C的半径为r,AB的长度为2a,取AB的中点D,连接CD(图略),则CD⊥AB. =a,=b 1.[北师大版教材习题]在等边三角形ABC中,的夹角为　　　　　;点E为BC的中点,则的夹角为　　　　　. (1) (2) (4)cos<a,b>=. 设非零向量=a,过A,B分别作直线l的垂线,垂足分别为A',B',则称向量为向量a在直线l上的　　　　　　或　　　　.  ||=-|a|cos<a,b> 向量a在向量b上的投影为, (1)当<a,b><时,的方向与b的方向相同,而且　　　　　　　　　　;  (2)当<a,b>=时,为零向量,即　　　　　;  (3)当<a,b>>时,的方向与b的方向相反,且　　　　 　.  ||=|a|cos<a,b> ||=0 A.-4 B.4 C.- D. - 解 a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos=5×4×(-)=-10. 54 解 由a·b=|a||b|cos θ,得cos θ==-.因为θ∈[0,π],所以θ=. =a,=b 解 当a·b<0时,有=||||·cos∠BAC<0,即cos∠BAC<0,所以 ∠BAC为钝角,△ABC为钝角三角形;当a·b=0时,有=0,即, 所以△ABC为直角三角形. 【例3】 如图所示,在▱ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求: (1); (2); (3); (4)方向上的投影的数量. 解 (1)因为,且方向相同,所以的夹角是0°,所以=||||cos 0°=3×3×1=9. (2)因为,且方向相反,所以的夹角是180°,所以 =||||cos 180°=4×4×(-1)=-16. (3)因为的夹角为60°,所以的夹角为120°,所以 =||||cos 120°=4×3×=-6. (4)因为的夹角为60°,而方向相反,所以的夹角为120°,所以方向上的投影的数量为||cos 120°=4×=-2. 变式探究本例(4)改为求方向上的投影的数量. 解 方向上的投影的数量为||·cos 120°=3×=-. (2)向量b在a方向上的投影的数量为,向量a在b方向上的投影的数量为. 解 当θ=45°时,a在e上的投影向量为|a|cos 45°e=6×e=3e. 当θ=90°时,a在e上的投影向量为|a|cos 90°e=0. 当θ=135°时,a在e上的投影向量为|a|cos 135°e=6×(-)e=-3e. 解析 因为|a|=2,|b|=,a·b=3,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=2××cos<a,b>=3,所以cos<a,b>=.故<a,b>=30°.故选A. AC上,且=3,设AD与BE交于点P,则=(　　) 解析 由题意,如图所示: ∵=||||cos∠PBC, 而||=||cos∠PBC, ∴=||||. ∴=||||=2×4=8.故选C. 3.[探究点一]已知|b|=3,a在b方向上的投影的数量是,则a·b为(　　) A.3 B. C.2 D. 解析 设a与b的夹角为θ. ∵a在b方向上的投影数量为|a|cos θ=, ∴a·b=|a||b|cos θ=3×. A.3 B.-3 C.3 D.-3 解析 由题图可知,|a|=3,|b|=,<a,b>=45°, 所以a·b=|a||b|cos<a,b>=3×=3.故选C. 5.[探究点三]已知△ABC外接圆圆心为O,半径为1,2,且|=||,则向量在向量上的投影向量为(　　) A. B. C. D.- 6.[探究点二]在△ABC中,已知||=||=4,且=8,则△ABC的形状为　　　 　　　.  解析 =||||cos A=16cos A=8,∴cos A=,即A=. 又||=||,∴△ABC为等边三角形. - - - |b|cos 60°=5×. 10.[2023北京海淀校级期末]已知|a|=4,e为单位向量,<a,e>=,则a在e方向上的投影的数量为(　　) A.2 B.2 C.-2 D.-2 解析 空间向量a在e方向上的投影的数量为|a|cos=4×(-)=-2.故选C. 11.[2023山东聊城期中]如图所示的正八边形ABCDEFGH,||=1,下列结论正确的是(　　) A.的夹角为 B. C.||=| D.上的投影向量为e(其中e为与同向的单位向量) -b 解析 设∠CAB=θ,则在Rt△ABC中,AB= =||||cos θ=×4cos θ=16. 4 解析 设向量a与b的夹角为θ,则cos θ=.又因为θ∈[0,π],所以θ=. 在Rt△ACD中,AD=a,AC=r,cos∠CAD=, 所以=2a·r·cos∠CAD=2ar·=2a2. $$