精品解析：黑龙江省黑河市逊克县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年黑龙江省黑河市逊克县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( ) A. q<16 B. q>16 C. q≤4 D. q≥4 3. 抛物线y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（　　） A. （2，﹣2） B. （2，2） C. （﹣2，2） D. （﹣2，﹣2） 4. 将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，分别与相切于点，为上一点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0)．下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是( ) A. ①②④ B. ③④ C. ①③④ D. ①② 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 11. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则______． 12. 如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为______． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第________象限． 14. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______． 15. 将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的面积为______． 16. 已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________． 17. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x＝_____． 三、解答题：本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解方程： （1） （2）x2+2x=3 19. 如图，在△中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA长为半径的交AB于D点，EF垂直平分BD交BC于E点，交BD于F点，连接DE．求证：直线DE与相切． 20. 如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽． 21. “五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元． （1）该顾客至多可得到________元购物券； （2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率． 22. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系． （1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式． （2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元?如果能，求出此时的销售价格；如果不能，请说明理由． 23. 如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合） （1）判断△ODE的形状，并说明理由； （2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由； （3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE面积(S)的最大值． 24. 已知：如图，抛物线与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年黑龙江省黑河市逊克县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先移项、然后再运用因式分解法求解即可． 【详解】解： 则 ． 故答案为B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键． 2. 关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( ) A. q<16 B. q>16 C. q≤4 D. q≥4 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根， ∴△>0，即82-4q>0， ∴q<16， 故选 A. 3. 抛物线y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（　　） A. （2，﹣2） B. （2，2） C. （﹣2，2） D. （﹣2，﹣2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式方程可以直接写出其顶点坐标． 【详解】∵抛物线为y=（x+2）2﹣2， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k是解题的关键． 4. 将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，利用规律可得答案． 【详解】将抛物线向左平移4个单位，可得：， 再把，向下平移1个单位得到的抛物线为：， 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 5. 下列图形中：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④菱形；既是中心对称图形又是轴对称图形的有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念（如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形）和轴对称图形的概念（如果某个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形），逐一判断即可． 【详解】① 等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； ② 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确； ③ 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误； ④ 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确； 所以既是轴对称又是中心对称的图形有2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 6. 如图，分别与相切于点，为上一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和为，求出的度数，然后根据圆周角定理，即可得解． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴， ∴， ∴； 故选A． 7. 一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图像和性质，可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故A错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，，对称轴应在y轴左侧，故B错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴左侧，故C正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴右侧，故D错误； 故选：C． 8. 如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可． 【详解】黑色区域的面积=3×33×12×23×1=4，所以击中黑色区域的概率． 故选C． 【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 9. 学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得：， 故选：B． 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0)．下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是( ) A. ①②④ B. ③④ C. ①③④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据二次函数的图象开口向下，可得a＜0，由二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，可知c＞0，由对称轴是直线x=，可得，因此可知b=﹣a＞0，即abc＜0．故①正确； 由①中知b=﹣a，可得a+b=0，故②正确； 把（2，0）代入解析式，即4a+2b+c=0．故③错误； 由（-2，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（3，y1），可得y1<y2．故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选A． 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 11. 若关于的一元二次方程有一个根为0，则______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程，解方程即可求得的值，且，从而即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得， ， 解得：，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的解，解题时，注意关于的一元二次方程二次项系数不为零，即． 12. 如图，在中，，，，D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，点C恰在弧上，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点M，作于点N，连接，由题意易证矩形为正方形，即可求出，，从而得出，．再证明，得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点M，作于点N，连接． ∴， ∴四边形为矩形． ∵D为的中点，， ∴平分， ∴， ∴矩形为正方形． ∵， ∴，， ∴，． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）确定m、n的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点P（m，m-n）与点Q（-2，3）关于原点对称， ∴， 解得： 则点M（m，n）坐标为：（2，5）在第一象限． 故答案为：一 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律． 14. 一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为_______． 【答案】160°##160度 【解析】 【详解】解：∵圆锥的底面直径是80cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π， ∵母线长90cm， ∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×80π×90=3600π， ∴=3600π， 解得：n=160． 【点睛】此题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积公式和展开的扇形面积公式． 15. 将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积． 【详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC， ∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°， ∴∠DAD′=60°， ∴∠DAE=30°， ∴∠EAC=∠ACD=30°， ∴AE=CE， 在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有 DE=DC-EC=AB-EC=6-x，AD=， 根据勾股定理得：x2=（6-x）2+（）2， 解得：x=4， ∴EC=4， 则S△AEC=EC•AD=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 16. 已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________． 【答案】2或14 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AE=8cm，CF=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴EO=6cm，OF=8cm， ∴EF=OF-OE=2cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， ∵AB=16cm，CD=12cm， ∴AF=8cm，CE=6cm， ∵OA=OC=10cm， ∴OF=6cm，OE=8cm， ∴EF=OF+OE=14cm． ∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm． 故答案为2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解． 17. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于x的一元二次方程，开方即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可知：＝（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）＝（x+1）2+（x﹣1）2＝2x2+2＝6， 即x2＝2，解得：x＝或x＝﹣． 故答案为±． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的运用以及解一元二次方程，理解并运用新定义是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解方程： （1） （2）x2+2x=3 【答案】（1）， （2）x1＝-3 ，x2＝1 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再合并同类项即可解得答案； （2）利用因式分解将原式分解即可解答． 【小问1详解】 ∴ 即或 【小问2详解】 x2+2x-3=0， ∴（x+3）(x-1)=0， 解得 ：x1＝-3 ，x2＝1 【点睛】本题考查提公因式法与因式分解法解一元二次方程，熟记提公因式法与因式分解法解是关键． 19. 如图，在△中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA长为半径的交AB于D点，EF垂直平分BD交BC于E点，交BD于F点，连接DE．求证：直线DE与相切． 【答案】 证明：连接OD，如图， ∵EF垂直平分BD， ∴ED=EB， ∴∠EDB=∠B， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ODA， ∵∠A＋∠B=90°， ∴∠ODA＋∠EDB=90°， ∴∠ODE=90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是O的半径， ∴直线DE是O的切线． 【解析】 【分析】连接OD，根据线段垂直平分线的性质得ED=EB，则∠EDB=∠B，再利用等量代换计算出∠ODE=90°，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查切线的判定，中垂线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 20. 如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽． 【答案】1m 【解析】 【分析】根据场地的原长与宽，设小路的宽度为xm，得到草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x），由题意列出方程即可． 【详解】设小路的宽度为xm， 那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）． 根据题意即可得出方程为： （16﹣2x）（9﹣x）＝112， 解得x1＝1，x2＝16． ∵16＞9， ∴x＝16不符合题意，舍去， ∴x＝1． 答：小路的宽为1m． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清草坪的总长与总宽时关键． 21. “五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元． （1）该顾客至多可得到________元购物券； （2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率． 【答案】（1）70； （2）该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率 【解析】 【分析】（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）； （2）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况， ∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：． 22. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系． （1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式． （2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元?如果能，求出此时的销售价格；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由： 由（1）得． 又∵， 可得，当售价定为42元时，获得的利润最大，最大销售利润是432元， ∵， ∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=(销售价-进价) ×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法； （1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=(销售价-进价) ×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围； （2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案； 【小问1详解】 解：由题意，得每件商品的销售利润为元，那么m件的销售利润为， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴所求关系式为． 【小问2详解】 略 23. 如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，O是AB的中点，AC＝6，∠MON＝90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合） （1）判断△ODE的形状，并说明理由； （2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由； （3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE面积(S)的最大值． 【答案】（1） △ODE是等腰直角三角形，理由：连接OC， 在等腰Rt△ABC中， ∵O是AB的中点， ∴OC⊥AB，OC平分∠ACB， ∴∠A =∠OCE＝45°，OC＝OA＝OB，∠COA＝90°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOD＝∠COE， 在△AOD与△COE中， ， ∴△AOD≌△COE，（ASA）， ∴OD＝OE， ∴△ODE是等腰直角三角形； （2）不变，9 （3）9 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到，OC平分，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论． （2）根据全等三角形的性质得到四边形CDOE的面积=的面积，由三角形面积公式得出答案即可． （3）当四边形CDFE是正方形时，面积最大，由面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化， ∵△AOD≌△COE， ∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积， ∵AC＝6， ∴ ， ∴AO＝OCAB＝3， ∴四边形CDOE的面积＝△AOC的面积＝； 【小问3详解】 当四边形CDFE是正方形时，其面积最大 由∠MON＝90°，∠C＝90°， 当四边形CDFE是正方形时，F与O重合时，， 由 OD=AD=CD 四边形CDFE面积的最大值为9 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，连接OC构造全等三角形是关键． 24. 已知：如图，抛物线与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D． （1）求这条抛物线的解析式； （2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由． 【答案】（1） （2），存在，P（1，2） 【解析】 【分析】（1）把A点和B点坐标分别代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可； （2）通过解方程得到E点坐标，再把一般式配成顶点式得到D点坐标，然后根据三角形面积公式计算△ODE的面积；连接BE交直线x=1于点P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，然后求出BE的解析式后易得P点坐标． 【小问1详解】 解：根据题意得 ， 解得 ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 当y=0时，， 解得，则E（3，0）； ∵，则D（1，4）， ∴； 连接BE交直线x=1于点P， 如图，则PA=PE， ∴PA+PB=PE+PB=BE， 此时PA+PB的值最小， 设BE的解析式为 ∴ 解得： 易得直线BE的解析式为．， 当x=1时，， ∴P（1，2）． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了最短路径问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $