精品解析：青海省百所名校2024届高三下学期二模考试理科数学试卷

高三数学试卷（理科） 考生注意： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上 3.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 复数的虚部为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法计算即得. 【详解】依题意，复数，所以所求虚部为8. 故选：C 3. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角公式、二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由为锐角，，得，而，且为锐角， 所以. 故选：B 4. 若圆M：与双曲线C：的渐近线相切，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线的公式写出直线方程，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列出方程求解. 【详解】双曲线C的渐近线方程为，不妨取， 点M到直线的距离为， 因为圆M与双曲线C的渐近线相切，所以． 故选：A 5. 2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 2017年至2022年该省年生产总量逐年增加 B. 2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元 C. 2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低 D. 2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6% 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的条形图和折线图，逐项分析判断即得. 【详解】对于A，观察条形图知，2017年至2022年该省年生产总量逐年增加，A正确； 对于B，2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3（亿元），B正确； 对于C，2017年至2020年该省年生产总量的增长速度逐年降低， 而2021年该省年生产总量的增长速度比2020年该省年生产总量的增长速度高，C错误； 对于D，2017年至2020年该省年生产总量的增长速度由小到大排列为：， 因此增长速度的中位数为，D正确. 故选：C 6. 已知数列的通项公式为，若为递增数列，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意有，解得，求出即可得k的取值范围. 【详解】，若为递增数列，则， 有，解得，则， 时，所以,则k的取值范围为. 故选：D 7. 如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正方体的展开图重新组合成正方体，对选项逐个分析，判断易得只有A选项正确. 【详解】如图所示，将展开图重新组合成正方体. 显然. 因此A选项正确. 由图易得，显然与所成角非直角，因此异面直线与所成角也非直角，所以不成立. 因此B、C选项不正确. 由图易得，显然与相交，因此不成立. 因此D选项不正确. 故选：A 8. 在等差数列中，，．设，记为数列的前n项和，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到，，从而求得，，，再由求解. 【详解】设的公差为d． 因为， 所以，， 则，，． 因为，所以，解得． 故选：B 9. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】，易知在单调递减， 在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减， 由，则，解得, 故不等式的解集为. 故选：A 10. 已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数性质，可知区间长度不小于且不大于，由此即可得解. 【详解】当时，. 由题意可得，解得. 故选：D. 11. 如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点为，即可说明点为梯形外接圆的圆心，再证明平面，过的中点作交于点，则平面，即可得到为四棱锥外接球球心，外接球半径为，从而求出表面积. 【详解】取的中点为，因为，等腰梯形的面积为， 所以梯形的高为，所以，则，所以，连接、， 所以、为等边三角形，点为梯形外接圆的圆心， 连接，在中，根据余弦定理得，即，解得. 因为，，所以，所以. 因为，，平面，所以平面， 过的中点作交于点，则平面，且为的中点， 所以点为外接圆圆心，所以为四棱锥外接球球心， 所以外接球半径为，故表面积. 故选：D 12. 已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】令求出.令可判断①；令，得，再求出、可判断③；利用累加法求出可判断②；利用导数可判断④. 【详解】对于①，令，得，所以. 令，得，所以为奇函数，故①正确； 对于③，令，得， 所以，，故③错误. 对于②，因为， 所以， ， ， ， ，以上各式相加得 ， 所以，故②正确. 对于④，当时，，所以在上单调递减，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：②中的解题的关键点是利用累加法求出的解析式. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 若满足约束条件，则的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值. 【详解】约束条件表示的平面区域如图中阴影，其中， 目标函数，即表示斜率为1，纵截距为的平行直线系， 作直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最大， 所以. 故答案为：2 14. 青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，如图所示．若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】列举出所有情况以及满足题意的情况，再利用古典概型求解. 【详解】分别假设豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅为， 则有，共6种情况， 其中相邻的有，共4种情况， 故豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为. 故答案为： 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】设，，得到直线的方程为，解得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】设，，，则直线的斜率为，直线的斜率为， 直线的方程为， 令，得，即， 因为，所以， 即， 解得． 故答案为： 16. 已知是正六边形边上任意一点，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，得到的坐标表示，再利用正六边形的对称性，分类讨论四种情形，从而分析得满足要求的点的坐标，由此得解. 【详解】依题意，以正六边形的中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设分别交轴于点， 则， 设，则， 则， 根据正六边形的对称性，不妨只研究点位于轴的左半部分的情况，分以下四种情形： ①当点在上时，则，则，不满足； ②当点在上时，则，则，不满足； ③当点在上时，易得直线的方程为， 则，， 因为，所以，解得或（舍去），； ④当点在上时，易得直线的方程为， 则， 因为，所以，不满足. 综上，当时，， 则，， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用正六边形的对称性，建立平面直角坐标系与减少分类讨论的情况，再利用向量数量积的坐标表示将问题转化为关于的表达式，从而得解. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 某企业近年来的广告费用x（百万元）与所获得的利润y（千万元）的数据如下表所示，已知y与x之间具有线性相关关系. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 广告费用x/百万元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 利润y/千万元 1.6 2 2.4 2.5 3 （1）求y关于x的线性回归方程： （2）若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回归方程，预测2025年该企业可获得的利润. 参考公式：，. 【答案】（1） （2）3.95（千万元）. 【解析】 【分析】（1）首先算出，，，的值，然后可以依次算出，的值即可求解； （2）先预测广告费用，然后代入预测模型可预测利润. 【小问1详解】 ，， ， ， ， . 故所求的线性回归方程为. 【小问2详解】 由题可知，到2025年时广告费用为2.2百万元， 故可预测该公司所获得的利润约为（千万元）. 18. 在中，已知，为上一点，，且. （1）求的值； （2）求的面积. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）中，由正弦定理得，在中，，可求的值； （2）中，由余弦定理解得，勾股定理求出，由求的面积. 【小问1详解】 ，，则， 在中，，所以. 在中，，，所以. 故. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 解得，， 则. 故的面积为. 19. 如图，在三棱柱中，所有棱长均相等，，，. （1）证明；平面. （2）若二面角的正弦值. 【答案】（1） 设D为的中点，连接，，. 因为在三角形中，，所以三角形是等边三角形， 而是的中点，故由三线合一可知，， 因为，是三角形的中位线，即，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. 在中，，O为的中点，所以. 因为，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设D为的中点，先证明平面，以此得到，再证明，结合线面垂直的判定定理即可得解； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，结合向量夹角的坐标公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设三棱柱的棱长为，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. ，，. 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面的法向量为， 则，可取. 因为平面平面，所以平面的一个法向量为. ，， 故二面角的正弦值为. 20. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，且到直线的距离之和等于. （1）求的方程； （2）若的斜率大于，在第一象限，过与垂直的直线和过与轴垂直的直线交于点，且，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由因为到直线的距离之和等于，根据抛物的定义和焦点弦长，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设，联立方程组，得到，结合跑线的焦点弦长得到，再设，求得，根据，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 则到准线的距离之和等于， 因为到直线的距离之和等于，可得， 解得，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 解：由焦点，可得设且， 联立方程组，整理得， 则且， 所以， 设，由，可得， 即， 所以， 由，可得， 代入，可得，解得， 所以直线的方程为. 21. 已知函数，曲线在处的切线的斜率为. （1）求a的值： （2）证明：当时，. 【答案】（1）. （2）结合（1）可得，即证. 设函数，. 当时，，在上单调递增， 所以； 设函数，. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， . 所以，即得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义直接计算即可； （2）将问题转化为，分别利用导数研究不等式左右两侧函数的最值即可证明. 【小问1详解】 由已知得：， 则，解得； 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：注意到原不等式结构较复杂，直接证明不易完成，故可转化为证明，利用导数分别研究不等号两侧的函数最值即可证明. （二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. ［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分） 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数）． （1）写出及的普通方程； （2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标． 【答案】（1），； （2）或或. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式消去参数即可； （2）联立普通方程求出交点坐标，然后转化为极坐标可得. 【小问1详解】 由消去得， 即的普通方程为. 由消去得， 即的普通方程为. 【小问2详解】 联立方程消元得， 解得或或， 转化为极坐标得或或. 即与交点的极坐标为或或. ［选修4-5；不等式选讲］（10分） 23. 已知均为正实数，且．证明： （1）； （2）若，则． 【答案】（1） 由均为正实数，得，又， 则 ，当且仅当时取等号， 所以. （2） 当时，由（1）得：， 因此，当且仅当时取等号， 则，由，即得取等号， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用柯西不等式推理即得. （2）利用（1）的结论，再作差比较推理即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷（理科） 考生注意： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上 3.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 3. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若圆M：与双曲线C：的渐近线相切，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 2017年至2022年该省年生产总量逐年增加 B. 2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元 C. 2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低 D. 2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6% 6. 已知数列的通项公式为，若为递增数列，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在等差数列中，，．设，记为数列的前n项和，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，，，底面积为，且，则四棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①②④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 若满足约束条件，则的最大值为______． 14. 青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，如图所示．若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为______． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，过作的垂线，与轴交于点，若，则椭圆的离心率为______． 16. 已知是正六边形边上任意一点，且，则__________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 某企业近年来的广告费用x（百万元）与所获得的利润y（千万元）的数据如下表所示，已知y与x之间具有线性相关关系. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 广告费用x/百万元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 利润y/千万元 1.6 2 2.4 2.5 3 （1）求y关于x的线性回归方程： （2）若该企业从2018年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加10万元，根据（1）中所得的线性回归方程，预测2025年该企业可获得的利润. 参考公式：，. 18. 在中，已知，为上一点，，且. （1）求的值； （2）求的面积. 19. 如图，在三棱柱中，所有棱长均相等，，，. （1）证明；平面. （2）若二面角的正弦值. 20. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，且到直线的距离之和等于. （1）求的方程； （2）若的斜率大于，在第一象限，过与垂直的直线和过与轴垂直的直线交于点，且，求的方程. 21. 已知函数，曲线在处的切线的斜率为. （1）求a的值： （2）证明：当时，. （二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. ［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分） 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（t为参数）． （1）写出及的普通方程； （2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求与交点的极坐标． ［选修4-5；不等式选讲］（10分） 23. 已知均为正实数，且．证明： （1）； （2）若，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $