精品解析：四川省自贡市田家炳中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023—2024学年度下期高一期中数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，向量，若，则m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示列式求解. 【详解】根据题意，，，， 所以，解得. 故选：C. 2. 已知为虚数单位，，则复数的虚部为(　 　). A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合复数的运算，化简z，计算虚部，即可． 【详解】,故虚部即为i的系数，为-2，故选D． 【点睛】本道题看考查了复数的化简，关键在于化简z，属于较容易的题． 3. 在中,若，，，则 A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，由正弦定理即可求得得值. 【详解】由正弦定理得，. 故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，属于基础题． 4. 在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为(　　) A. B. C. 3π D. 4π 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积． 【详解】圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为的扇形，其面积，所以圆锥的侧面展开图面积为. 【点睛】本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算． 5. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是 A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以 作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出． 【详解】∵分别是的中点， ∴. 又，∴.故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力． 6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸） A. 3寸 B. 4寸 C. 5寸 D. 6寸 【答案】A 【解析】 【分析】作出圆台的轴截面，根据已知条件，利用圆台体积公式可求得盆中积水体积，再求出盆口面积，根据平均降水量的定义可求得结果. 【详解】作出圆台的轴截面如图所示： 由题意知，寸，寸，寸，寸 即是的中点 为梯形的中位线 寸 即积水的上底面半径为寸 盆中积水的体积为（立方寸） 又盆口的面积为（平方寸） 平均降雨量是寸，即平均降雨量是寸 本题正确选项： 【点睛】本题考查圆台体积的有关计算，关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高，考查基础公式的应用. 7. 在中，内角的对边分别为．若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合面积公式与余弦定理可得，即，再根据正弦定理可得外接圆的半径，从而得到外接圆的面积. 【详解】在中，由余弦定理得，既有，又由面积公式，得，又，故，所以．因为，所以，又由正弦定理，其中为外接圆的半径，由及，得 ，所以外接圆的面积 故选：D 8. （2020·山东滨州.高三三模）已知点O是内一点，且满足，则实数m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，延长交于，求得，再求得面积比，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】由得： 设，则 三点共线 如下图所示： 与反向共线，, . 故选：D. 【点睛】本题考查向量共线定理的应用，属综合中档题. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，若，则的形状不可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意利用正、余弦定理可得角为钝角，结合选项分析判断. 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，由余弦定理可得， 且，可知角为钝角，即必为钝角三角形， 结合选项可知ABC不可能，D一定正确. 故选：ABC. 10. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是 A. 若, 则z是实数 B. 若, 则z是虚数 C. 若z是虚数, 则 D. 若z是纯虚数, 则 【答案】C 【解析】 【详解】设z=a+bi，a，b∈R，z2=a2-b2+2abi，对于A，z2≥0，则b=0，所以z是实数，真命题；对于B，z2＜0，则a＜0，且b≠0，⇒z是虚数；所以B为真命题；对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题．对于D，z是纯虚数，则a=0，b≠0，所以z2＜0是真命题；故选C 11. 定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 若，则与平行 【答案】BD 【解析】 【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解． 【详解】对于选项A，在上的投影向量为， 可知与共线，但与共线，两者方向不一定相同， 所以在上的投影向量不为，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，， 显然时，不成立，故选项C错误， 对于选项D，由，所以， 则，即，故选项D正确， 故选：BD． 【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的运算和向量的平行等进行推理运算即可. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，利用数量积的运算及向量夹角公式，即可求解. 【详解】设与的夹角为， 因为，可得， 将代入上式，可得， 又因为，可得，即与的夹角为. 故答案为：. 13. 在正方形中，为线段的中点，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由即可得解. 【详解】 因为，所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查了向量的加法运算和线性运算，属于基础题. 14. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 由正弦定理得：，即，解得， 在中，由余弦定理得， 所以， 解得. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数的模. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）将复数代入，令其实部为0，虚部不为0，可解得m，进而求出复数z；（2）先根据复数的除法法则计算w，再由公式计算w的模． 【详解】解：（1） 是纯虚数 ，且 （2）. . 【点睛】本题考查复数的概念和模以及复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 16. 已知向量，. （1）求与的夹角： （2）若满足，，求的坐标. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算得出、，进而得到它们的模，根据数量积运算公式即可得出夹角的余弦值； （2）设，表示出.根据向量垂直以及平行的坐标表示可得出，解方程组即可得出结果. 【小问1详解】 解：设与的夹角为. 由已知可得，， 则，，， 所以， 又，所以， 所以与的夹角为. 【小问2详解】 解：设，则. 由（1）知，又， 所以. 又，所以. 联立可得，， 所以. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小 （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)将已知关系式化边为角，可得C的正切，进而可求角C； (2)由三角形面积公式及角C可得，进而由余弦定理整体得的值解决问题. 【小问1详解】 由正弦定理可得：, , , , , . 【小问2详解】 由三角形面积可知：, ， 由余弦定理可知： , 解得：， 所以三角形的周长为：. 18. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设，. （1）用，表示. （2）过点的直线与边，分别交于点，.设，，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）设，利用，，三点共线和，，三点共线可以得出的两个方程，然后解出即可 （2）利用，共线即可推出 【详解】（1）设，则， ∵，，三点共线， ∴，共线，从而.① 又，，三点共线. ∴，共线， 同理可得.② 联立①②，解得， 故. （2）∵， ，且，共线， ∴，整理得. 【点睛】1.平面向量共线定理：若与共线且，则存在唯一实数使得 2.平面向量基本定理：若，是平面内两个不共线的向量，则对于平面中的任一向量，使的实数，存在且唯一. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下期高一期中数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知向量，向量，若，则m等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，，则复数的虚部为(　 　). A. B. C. 2 D. 3. 在中,若，，，则 A. 1 B. C. D. 2 4. 在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为(　　) A. B. C. 3π D. 4π 5. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是 A. B. 1 C. D. 6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸） A. 3寸 B. 4寸 C. 5寸 D. 6寸 7. 在中，内角的对边分别为．若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. （2020·山东滨州.高三三模）已知点O是内一点，且满足，则实数m的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，若，则的形状不可能是（ ） A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 10. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是 A. 若, 则z是实数 B. 若, 则z是虚数 C. 若z是虚数, 则 D. 若z是纯虚数, 则 11. 定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（ ） A. 在上的投影向量为 B. C. D. 若，则与平行 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为________. 13. 在正方形中，为线段的中点，若，则_______． 14. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若，求复数的模. 16. 已知向量，. （1）求与的夹角： （2）若满足，，求的坐标. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角C的大小 （2）若，的面积为，求的周长． 18. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设，. （1）用，表示. （2）过点的直线与边，分别交于点，.设，，求的值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $