广东省八校2025届高三上学期8月联合检测数学试题

2024年8月广东八校高三联合检测 数 学 注意事项: 1.本试卷满分150分,考试时间120分钟 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效。 4.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 5.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 A.-1,0.1 B.-2,-1,0,1) C.-2,-1,0,1,2 D.-2,-1,0,1.②,③ 2.若22-i.则= A.1十i B.1-i C.-1十i D.一1-1 3.已知向量a-(1,2),b=(3,m),若(a-b)/a,则m= A.1 B.2 C.3 D.6 1.tanx-2,则sin(x十y)一 4.已知sin(x-y)- 4'tany 1 D.1 5.已知一个圆柱的轴截面是正方形,一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等,则圆柱与 圆锥的体积之比为 A.9:15 B.6:15 C.4:15 D.3:15 ax-sinx,x<0 6.已知函数/(x)一 在R上单调递增,则a的取值范围是 lx2十2ax-a+3,x>0 A.[1,3) C.[1,3] B.(1,3] D.(1,3) 【高三联合检测 I数学卷 第1页(共4页)】 7.已知函数f(x)=sin(t+)与g(x)=sin(2x十),则下列说法错误的是 A.f(x)与g(x)存在相同的对称轴 B. f(x)与g(x)存在相同的对称中心 C. f(x)与g(x)的值域相同 D.f(x)与g(x)在[o,]上有相同的单调性 A.()--2 B./(2)-0 C./(4)-1 D./(8)-2 二、选择题;本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.随机变量X服从正态分布N(.g*),若P(X1)=P(X<3),则 A.-2 D.P(X。)P(X。o*) 10.设函数f(x)-1-x*十ax-1,则 A.当a一一1时,f(x)有三个零点 C.3aR,使/(x)在R上是减函数 D. VaR,f(x)图象对称中心的横坐标不变 11.到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F(一c,0)和 F.(c,0)且c0,动点M满足MF ·MF。=a^{②}(a>0),动点M的轨迹显然是卡西尼 形线,记该卡西尼卵形线为曲线C,则下列描述正确的是 A.曲线C的方程是(x2}+v})?-2c(r^*-v)一a-C B.曲线C关于坐标轴对称 C.曲线C与x轴没有交点 D.△MF.F:的面积不大于2} 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 线C于A,B两点,若△ABF。是正三角形,则C的离心率为 13.若曲线y-lnx一x②十2x在x=1处的切线恰好与曲线y=e十a也相切,则a= 14.盒中有3个红球、个黄球、”个绿球,所有球除颜色不同外其他没有任何区别,从盒中任抽 两球,抽到两球均为红球的概率为.从盒中任抽3个球,记其中红球的个数为X,则 E(X)一 【高三联合检测 {数学卷 第2页(共4页) 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 3b-asinB-sinC sinA (D求角C; (2)若ABC外接圆的面积是4a,求ABC面积的最大值 16.(本小题满分15分) 原点的对称点为B,四边形AF,BF。的面积为/③ (1)求圆C的方程; 为定值. 17.(本小题满分15分) 如图,在三 柱ABC一ABC中,平面ABBA 平面ABC,平面CBB.C|平面ABC (1)证明:BB平面ABC; (2)若AB |BC,AB=1,BC=CC.-2,求直线AB与平面A.BC 所成角的余弦值 【高三联合检测 数学卷 第3页(共4页)】 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x{②}+alnx-(a+2)x,g(x)=xlnx-x-a+1,a-R (1)讨论f(x)的单调性; (2)若g(x)有两个零点,求a的取值范围 (3)若f(x)十1二g(x)十alnx对任意x1恒成立,求a的取值范围 19.(本小题满分17分) 马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名,其过程具备“无记忆”的性质,即第”十1 次状态的概率分布只跟第n次的状态有关,与第”一1,”一2,”一3,...次状态无关.马尔科夫 链是概率统计中的一个重要模型,也是初器学习和人工智能的基石,在强化学习、自然语言 处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用,现有A、B两个盒子,各装有2个 黑球和1个红球,现从A、B两个盒子中各任取一个球交换放人另一个盒子,重复进行 n(nN)次这样的操作后,记A盒子中红球的个数为X,恰有1个红球的概率为力 (1)求,的值; (2求)的值(用n表示) (③)求证:X.的数学期望E(X)为定值 【高三联合检测 数学卷 第4页(共4页)) 2024年8月广东八校高三联合检测·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 题号 。 答案 B D C C D) A 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求。全部选对的 得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 题号 10 0 AB 答案 BD ABD 1.D M-x|-3<x<3,故MN--2.-1.0.1②.③ 由=2-2-i,得1+2-2-1.所以2-1-i.故:=1+i. 2.A 3.D a-b-(-2,2-m),若(a-b)/a,则-2x2-(2-m)×1-0,所以n-6 4.C 因为sin(x-y)-sin xcosy-cos xsiny-4'tany cos xsiny 1. tanxsin.xcos y-2,所以 sin xeos y-2cos xsiny= 5.B 设圆柱的底面半径为7,因为圆柱轴截面是正方形,所以圆柱的高为2r,依题意圆锥的底面半径为r,设圆 锥的母线长为/,因为圆锥与该圆柱的侧面积相等,所以2x·2r一xr/,所以/一4r,所以圆锥的高为 *一# -15r,圆柱的体积V-xr·2r,圆锥的体积V-1·15r,所以V:V:-一6:v15. 6.C 当x0时,要使f(x)=a一cosx0恒成立,则al,此时f(x)在(0,+o)上递增,要使f(x)在R上 递增,则一a+30,即a3,故a的取值范围是[1,3. 7.B 对于A令x+-k1+,ki乙.得/(x)的对称轴为x=k+吾,h乙令2x十吾=k+,k #n.n.nez.得/(c)的对称中心为(nx-,0)nz.令2x+吾nz,得g(x)的对称中心为( -,0)nZ.由x--2-得4n=2n+1,显然不存在整数n、n使4n=2n:+1成立,故() 与g(x)没有相同的对称中心;对于C.f(x)与g(x)的值域显然均为[一1,1];对于D,f(x)与g(x)均在[o ##]门上递增,在[,]上递减. 8.A 令y-1得/(1)-0;令x=1,y-2得f()-f(1)-f(2)--1,所以f(2)-1;令x-2,-4得/() =f(2)-f(4)=-1,所以f(4)=2;令x-4,y=8得f()-f(4)-/(8)=-1,所以f(8)=3;令x=1,y 4得/(士)-/(1)一/(4)--2.综上只有A正确. 9.AB 根据P(X1)一P(X<3)知u是1和3的中间值,故-2,所以A正确:在正态分布X~N(2.)中 【高三联合检测·数学卷参考答案 第1页(共5页)】 $0.B D 对于A,当a=-1时,/(x)=--x-1,/(x)=3x-2x-1,令/(x)-0得x-- 或x-1. 1-1<0.所以/(x)只有一个零点; 对于B,/(x)-3c*-2x十a,若/(x)无极值点,则△-4-12a<0,解得a- 对于C,要使f(x)在R上是减函数,则/(x)-3x*-2x十a 0恒成立,显然不等式3x-2x十a 0的解集 不是R; 图象对称中心坐标为(#).# 11.ABD设M(x,y),由|MF I·MF。|=a^(a0)得 (x+c){}+·(x-c)+y=a*,化简得$$ (*+y{}){-2^(r一y)-a-,故A正确;该方程中把x改为一x或把y改为一y方程均不变,故B正 确;在方程(+y^)-2^(x-y{)-a'-(中,令y-0得r^}-c*士a^②,当c-a时,-0或x=士2c;当$$ 1MF|MF:-2,故D正确. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.3 设正三角形ABF的边长为2,则lAF |-1,lAF -2.FF-3,所以2a=AF|- AFl-1,2 13.-1 曲线y-lnx-x*+2x在x-1处的切线是y=x,令y-e-1得x=0,由切点(0,0)在曲线y-e+ 上得一一1. 1 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 3b-asinB-sinC a 15.解:(1)由 /。 bC sinA= 'sin/A sin B sinC .....................................................分 b士 ................................................................................................3分 化简得.........................................................分. cosC72- .........................................................分. 2b 2 因为C(0,n),所以C-” ..................................................................................6分 6 (2)设ABC外接圆的半径为R,则xR-4a,所以R-2 ..................... 所以a2+/-4-/③ab. 又}+2ab,所以a4(+),当且仅当b-v+v2时三”成立,....................... 11分 【高三联合检测·数学卷参考答案 第2页(共5页)】 即△ABC面积的最大值为2+/③. 16.(1)解:设圆C的焦距为2c(c>0),四边形AF.BF。为平行四边形,其面积设为S,则 s=2c一.所以c一3. 所以 ................................................................分.. 解得........................分.. (2)证明:F(/③,0),当直线/与:轴重合时,/的方程为y=0 当直线/与x轴不重合时,/的方程可设为x二ny十③. ..................................... 由{ {-n③ ,得n..................................................8分 十4y-4 A-(2/3m)+4(n+4)-16(n+1)0. 设M(xi)、N(x.)则y+y--2m FM-. .....-..- ............................ 1.分 (y十y2)-4yy-4. 2 /1士n{ 11 /1士7{ 3 ......................................................................................................... 14分 17.(1)证明:取O为△ABC内一点: 作OE垂直AB,交AB于点E.作OF垂直BC,交BC于点F..................2分 因为平面ABBA 平面ABC且平面ABBA O平面ABC=AB,OEC平面 所以OE平面ABBA,因为BBC平面ABBA,所以OEB.......5分 同理OF[BB,因为OEOOF=O.目OE,OFC平面ABC,所以BB 1平面ABC. (2)解;因为BC,BA,BB 两两垂直,以B为原点,建立空间直角坐标系,如图所示 ............. 依题意A(0.1,0).B(0,0.0).A(0,1.2).C(2,0.2). ............................ 则AB=(0,-1.0).BC=(2.0.2),AC=(2,-1.0). ........................................ (n.BC-2+2-0 设平面ABC的法向量为n一(x,y,),则 ................................ n.AC-2x--0' 令-1..则y2..-1.所以n(..2.-.)............................................................... 12分 设直线AB与平面ABC:所成的角为,则sin-lcos(AB.n)-AB·n AB n ................4分 所以cos0-1-si7. 2 【高三联合检测·数学卷参考答案 第3页(共5页)】 18.解:(1)f(x)的定义域为(0,十o). /'(s)-2x+-(a+2)-2*-(a+2)x+a(r-1)(2x-a) ............................ 当a.时.x..时/'..)..x.,.)时)... ...............................2分 当a-2时.x(0.十)时/(x)0;................................ 当<.时,..1)时()....,. ..)....... 4分 当a>2时,xe(1.)时/(x)<0;ce(0.1)(,+o)时f(c)>0; ;........................ 综上,a 0时,f(x)的递减区间是(0,1),递增区间是(1,十); a一2时,/(x)的递增区间是(0,十。),无递减区间; 0<a<2时,f(x)的递增区间是(0,)和(1,十oo),递减区间是(,1); a2时,(.).的递增区.是..1)和...),递减区.是是.人.)................6分 (2)令............................................................7分 设(x)-xlnx-x,则(x)-lnx. 当xE(0,1)时,h'(x)0,h(x)递减;当x(1,+)时,h(x)0,(x)递增; h(r)m........................分..... 因为......三.......I............................................分 要使直线y-a-1与函数h(x)的图象有两个交点,则-1<a-1<0,即0 a 1 故a的取值范围是(0,1). (3)由f(x)+1>g(x)+alnx得x-x-xlnxa(x-1). 当x一1时上式显然恒成立, -1 ............................ ..分 )-1 (一1)2 设n()=2-3x+2+ln,x>1,则n(c)-2x-3+122-3x+1(r-1)(2-1 .......14分 2 , 因为x1所以n'(x)0,所以m(x)在(1.+)上递增,所以n(x)m(1)=0,....................15分 所以(x)0.所以(x)在(1,十c)上递增,所以 -1 要使c(x)a恒成立,则0. 综上,...值.范......................................................1.分. 19.(1)解;设第n(nN)次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为,则没有红球的概率为1-p。一。 ......... .CC+CC5 由题意知一 CC ...............................................................................................分 #CCCC. ## P一. CC CC ................................. CC CC+CC CC (2)解:因为一-· CC CC 【高三联合检测·数学卷参考答案 第4页(共5页)】 义因为P-3--0,所以( .-3)是以-为首项,-寸为公比的等比数列。 .............分. #以###一) ...............................................分 ##一## .......................... ..分 1-q-b- CC 又因为2q+p-1=0,所以2q +p.-1-0,所以q。-1-. 2. 2................................ .4分 X.的可能取值是0,1,2. 2 P(X一1)一/。. P(X.-2)-= 1-P .................................................................................... 15分 2 所以X.的概率分布列为 x 0 1 2 1一 1B .................................................................... 1分 所以E(X)-ox1+1×p.+2×1--1. 2 2 所以X.的数学期望E(X)为定值1. .................................... .分. 【高三联合检测·数学卷参考答案 第5页(共5页)】