精品解析：2023年陕西省安康市汉阴县中考一模数学试题

2023年陕西省安康市汉阴县中考数学一模试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共15小题，共53.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 3 D. -3 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 由四舍五入法得到的近似数，下列说法中正确的是（　　） A. 精确到个位，有2个有效数字 B. 精确到十位，有2个有效数字 C. 精确到百位，有2个有效数字 D. 精确到千位，有4个有效数字 4. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 从，，中任取两个不同的数作为点的横纵坐标，该点在第三象限的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是，该扇形的半径是，则圆锥底面圆的半径是（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小颖画出了一件出土的古代文物碎片示意图，为求其外圆半径，连接外圆上的，两点，并使与文物内圆相切于点，已知为文物外圆和内圆的圆心，连接并延长交外圆于点，测得，，则该文物的外圆半径是（ ） A. B. C. D. 9. 的绝对值是（　　） A. B. C. D. 10. 志愿服务传递爱心，传播文明，下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，，于点，交于点F，交于点M，已知，的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形中，在对角线上取一点E，使得，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 13. 已知直线y＝3x与y＝－x+b的交点坐标为（a，6），则关于x，y的方程组 的解是（ ）． A. B. C. D. 14. 如图，是的两条互相垂直的弦，且，过点O作于点M，于点N．若，则的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 15. 某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（ ） A. 13米 B. 14米 C. 15米 D. 16米 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求） 16. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 17. 由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是（ ） A. B. C. D. 18. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，假设每轮传染中平均每人传染了x个人，下列说法正确的有（　　） A. 第1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患了流感 C. 依题意可列方程 D. 不考虑其他因素经过三轮一共会有512人感染 19. 已知二次函数的图象经过点，，，，．下列说法正确的有（ ） A. B. 方程的根为， C. D. 对于任意实数，总有 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共9小题，共35.0分） 20. 分解因式：_____. 21. 某书店同时卖出了进价不同的和两本课外书，售价均为元，按成本计算，书店工作人员发现书盈利了，而书却亏损了，则这次书店是______ （从“赚了”“赔了”“不赚不赔”“条件不够无法判断”中选填） 22. 在平面直角坐标系中，设点到原点的距离为，与轴正方向的夹角为，用表示点的极坐标显然，点的极坐标与它的直角坐标存在某种对应关系，例如：当点的直角坐标为时，它的极坐标为．如果点的直角坐标为，那么点的极坐标为______ ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、 （k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________. 24. 在实数，，0，中，最小的一个数是__________． 25. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，边相交于点F，若，则的度数为__________． 26. 把这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为__________． 27. 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过、两点，则______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 28. 如图，在矩形中，，Q是矩形左侧一点，连接、，且，连接，E为的中点，连接，则的最大值为_____． 四、解答题（本大题共20小题，共162.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 29. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中是方程的根． 30. 青云山游乐园为引导游客游览景点，在主要路口设置了导游指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图．如图所示，并测得，，四边形为矩形底座，且．请帮助该小组求出指示牌最高点G到地面的距离（结果精确到1cm，参考数据：） 31. 疫情期间，学校开通了在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小亮设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班共100名学生进行了问卷调查，发现使用了A（平板）、B（电脑）、C（手机）三种设备，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题． （1）求扇形统计图中类型B的百分比； （2）求扇形统计图中代表类型C的扇形圆心角，并补全折线图； （3）若该校七年级学生中类型C学生共有50人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生共约有多少人． 32. 某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如表： 售价（元件） 周销售量（件） 周销售利润（元） 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）表格中，当时， ______ ，当时， ______ ； （3）求当售价是多少时，周销售利润最大，最大利润是多少元． 33. 如图，已知中，，用尺规按下列步骤操作： ①作的外接圆，连接； ②在的下方作，使，作线段交于点D（点D与点O不重合）． 问题探究： （1）四边形是平行四边形吗？是的话给出证明，不是的话请说明理由； （2）当是多少度时，与相切？请说明理由． 34. 如图，在中，，，，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点到达点的位置，连接、、、、、． （1）求证：； （2）求的最小值； （3）当取得最小值时求证：； （4）如图，，，分别是、、的中点，连接、，在点运动的过程中，请判断的大小是否为定值，若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 35. 抛物线的对称轴是y轴，与x轴交于A、B两点且A点坐标是，与y轴交于C点，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，若，N是抛物线上的两点，且．求N点坐标； （3）如图3，D是B点右侧抛物线上的一动点，D、E两点关于y轴对称．直线分别交直线于G、Q两点，交x轴于点P，请问是定值吗？若是请直接写出此定值． 36. 计算：． 37. 化简：． 38. 解方程：． 39. 如图，在中，，．请用尺规作图法在上找一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 40. 如图，在四边形中，，交于点E，点F在上，请你再添加一个条件（不再标注或使用其他字母），使，并给出证明． 41. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）写出点A关于x轴对称的点的坐标为__________； （2）在图中作出关于y轴的对称图形，点A、B、C的对应点分别为、、． 42. 诚信是中华民族的传统美德，也是现代文明的重要标志，既是为人之道，又是做人之本，也是当代人民塑造健康人格、实现人生价值的道德基石．某班计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔一名活动主持人，小丽和小华都想当主持人，他们主持水平相当，但只有一个名额．班委会商议后，决定用游戏的方式在他们二人中确定一名．如图是两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A转盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，3，4；B转盘中圆心角为的扇形上面标有数字1，其余部分上面标有数字2．规则如下：小丽自由转动A转盘，小华自由转动B转盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，将转得的数字相加，如果和为偶数，则小丽当主持人；如果和为奇数，则小华当主持人．（若指针落在分隔线上，则无效，需重新转动转盘） （1）“小丽转动A转盘，转盘停止后指针指向数字3”是__________事件；（填“必然”或“随机”或“不可能”）； （2）请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 43. 校训是一个学校的灵魂，体现了一所学校的办学传统，代表着校园文化和教育理念，是人文精神的高度凝练，是学校历史和文化的积淀．小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量学校教学楼上校训牌的高度，如图，她先在教学楼前的处测得校训牌上端处的仰角为，然后她后退到达处，又测得该校训牌下端处的仰角为，发现与恰好互余，已知教学楼的高，，小颖的眼睛离地面的距离，且，，三点共线，，，，校训牌的顶端与教学楼顶端平齐，请你根据以上信息帮助她求出校训牌的高度． 44. 今年是毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词60周年．60年来，雷锋精神历久弥新，是中国共产党人精神谱系的重要组成部分，是中华民族永恒的精神符号．为了更好弘扬雷锋精神，某校开展“传承雷锋精神争做时代新人”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．校团委负责人到书店购买甲、乙两种书籍作为奖品．已知甲种书籍的单价为20元/册，乙种书籍的单价为25元/册．学校准备购买甲、乙两种书籍共100册，此时，甲种书籍因改版售价比原价增加了20%，乙种书籍的售价按原价的八折出售．设学校购买x册甲种书籍，购买这两种书籍所需总费用为y元． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若学校要求本次购买甲种书籍的数量不少于乙种书籍数量的4倍，当购买多少册甲种书籍时，可使所需总费用最低？ 45. 2023年全国两会，是中共二十大闭幕后的又一重大活动，意义非凡．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，某校组织开展了以“聚焦两会，关注祖国发展”为主题的阅读活动，受到老师们的广泛关注和同学们的积极响应．为了解全校学生关注两会的情况，该校学生会随机抽查了部分学生在某一周阅读关于两会文章的篇数，并将统计结果绘制成如下的统计图表（不完整）． 调查学生某一周阅读关于两会文章篇数统计表 人数（人） 3 4 8 m 阅读关于两会文章篇数 12篇 13篇 15篇 18篇 请你根据图表中提供的信息解答下列问题： （1）填空：扇形统计图中的度数为___________°，所调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的中位数是___________篇，众数是___________篇； （2）求本次所调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的平均数量； （3）按照学校规定“学生这一周阅读关于两会文章篇数不少于13篇”为达标，若该学校大约有2000名学生，请你估计该学校学生这一周阅读关于两会文章篇数达标的人数． 46. 如图，的为的直径，M为外一点，连接，分别交于点C、D，且D为的中点，连接，过点B作的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若的半径为6，，求的长． 47. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点D． （1）求抛物线L的函数表达式； （2）若抛物线与抛物线L关于x轴对称，的顶点为P．请问在抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 48. 【了解概念】 定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【理解运用】 （1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点D在格点上； （2）如图2，在等邻边四边形，，，，，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知，，D是的中点．在矩形内或边上，是否存在点E，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年陕西省安康市汉阴县中考数学一模试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共15小题，共53.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 3 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】先求的绝对值，再求其相反数． 【详解】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以的绝对值是； 相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此的相反数是． 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 3. 由四舍五入法得到的近似数，下列说法中正确的是（　　） A. 精确到个位，有2个有效数字 B. 精确到十位，有2个有效数字 C. 精确到百位，有2个有效数字 D. 精确到千位，有4个有效数字 【答案】C 【解析】 【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，它的有效数字的个数只与a有关，而与n的大小无关． 【详解】解：由题意得，近似数精确到了百位，共有2个有效数字， 故选：C． 【点睛】此题考查了近似数数位的确定及有效数字的定义，正确掌握近似数的数位的确定方法及有效数字的定义是解题的关键． 4. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得的度数，然后求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，余角的性质，熟悉掌握平行线的性质是关键． 5. 从，，中任取两个不同的数作为点的横纵坐标，该点在第三象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及构成的点在第三象限的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，分别为：，，，，，， 其中构成的点在第三象限的结果有：，，共种， 该点在第三象限的概率为． 故选：． 6. 若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是，该扇形的半径是，则圆锥底面圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据弧长公式求出圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆的半径是，根据圆的周长公式得出，再求出即可． 本题考查了圆锥的计算，能求出圆锥底面圆的周长是解此题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥底面圆的半径是， 则， 解得：， 即圆锥底面圆的半径是， 故选：B． 7. 已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：为方程的根， ， ， ， 方程的两根分别是和， ， ． 故选：B． 8. 如图，小颖画出了一件出土的古代文物碎片示意图，为求其外圆半径，连接外圆上的，两点，并使与文物内圆相切于点，已知为文物外圆和内圆的圆心，连接并延长交外圆于点，测得，，则该文物的外圆半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据与文物内圆相切于点可知，由垂径定理得，然后根据勾股定理即可求得外圆的半径．本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，切线的性质，根据题意作出辅助线构早出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵与文物内圆相切于点， ∴， ，， ， 设外圆的半径为，则， 根据题意得：， 解得：． 该文物的外圆半径是． 故选：． 9. 的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值的定义求解即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选. 【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义． 10. 志愿服务传递爱心，传播文明，下面的图形是部分志愿者标志图案，其中既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 11. 如图，，于点，交于点F，交于点M，已知，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据垂线的定义，得出，然后再根据两直线平行，同位角相等，得出，最后再根据角的关系，即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定义． 12. 如图，在菱形中，在对角线上取一点E，使得，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，连接交于O，利用菱形的性质得到，，设，则，利用勾股定理得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13. 已知直线y＝3x与y＝－x+b的交点坐标为（a，6），则关于x，y的方程组 的解是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由与坐标得交点坐标为（2，6），根据两条直线的交点坐标与二元一次方程组的解的关系，即可得出结论． 【详解】解：∵直线y＝3x经过（a，6）， ∴a＝2． ∴交点坐标为（2，6）． ∵两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解， ∴方程组的解为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，解题的关键是理解二元一次方程组的解就是相应的一次函数图象的交点坐标． 14. 如图，是的两条互相垂直的弦，且，过点O作于点M，于点N．若，则的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂径定理，弦、弦心距的关系求得，，证明四边形是正方形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， 连接，则． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15. 某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（ ） A. 13米 B. 14米 C. 15米 D. 16米 【答案】C 【解析】 【分析】以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当时y的值即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线表达式为， 由题意可知，B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 答：与距离为5米的景观灯杆的高度为15米， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求） 16. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则，必须规定，原变形错误，故此选项不符合题意； B．若，则，必须规定，，原变形错误，故此选项不符合题意； C．若，，则，原变形正确，故此选项符合题意； D．若，，则，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：CD． 17. 由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查, 由图可得这个几何体共有层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可． 【详解】解：由题中所给出的俯视图知，底层有个小正方体； 由左视图可知，第层有个或个或3个小正方体． 所以组成这个几何体的小正方体的个数可能是或或8． 故选：． 18. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，假设每轮传染中平均每人传染了x个人，下列说法正确的有（　　） A. 第1轮后有个人患了流感 B. 第2轮又增加个人患了流感 C. 依题意可列方程 D. 不考虑其他因素经过三轮一共会有512人感染 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，先分别确定第1，2轮患了流感的人数，判断A，B，再列出方程判断C，然后求出方程的解计算判断D． 【详解】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人， ∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，选项B说法不符合题意； ∴1轮后有个人患了流感，选项A说法符合题意； 根据题意得：， 即，选项C说法符合题意； 解得：，（不符合题意）， ∴不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，选项D说法符合题意． 故选：ACD． 19. 已知二次函数的图象经过点，，，，．下列说法正确的有（ ） A. B. 方程的根为， C. D. 对于任意实数，总有 【答案】ABCD 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得，的关系，用待定系数法将代入，可得与的关系，判定A正确；利用两点到对称轴的距离可判定C正确；令解方程即可判定B正确；利用函数的最小值可判定D正确． 【详解】解：， 抛物线开口向上． 二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴为直线． ． ． 二次函数的图象经过点， ． ． ． ， A的说法正确； 点到直线的距离大于点到直线的距离， ， C的说法正确； 令，则． ，， ． ， 即． 解得：，， 方程的解为，． ∴B的说法正确； ，， 当时，有最小值为， 对于任意实数，总有． D的说法正确． 故选：ABCD． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共9小题，共35.0分） 20. 分解因式：_____. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因数，再利用完全平方公式即可分解因式. 【详解】， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式和公式法分解因式是关键. 21. 某书店同时卖出了进价不同的和两本课外书，售价均为元，按成本计算，书店工作人员发现书盈利了，而书却亏损了，则这次书店是______ （从“赚了”“赔了”“不赚不赔”“条件不够无法判断”中选填） 【答案】赔了 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分别设课外书进价元，课外书进价元，根据题意列出方程，求出、进价，即可得解．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设课外书进价元， 根据题意，得：， 解得：， 设课外书进价元， 根据题意，得：， 解得：， ∵， ∴这次书店是赔了． 故答案为：赔了． 22. 在平面直角坐标系中，设点到原点的距离为，与轴正方向的夹角为，用表示点的极坐标显然，点的极坐标与它的直角坐标存在某种对应关系，例如：当点的直角坐标为时，它的极坐标为．如果点的直角坐标为，那么点的极坐标为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据极坐标的定义即可得到答案．本题考查了极坐标定义，横坐标是点到原点的距离，角是与横轴标形成的角． 【详解】解：点的坐标为， 点的极坐标为长度为，， ， 点的极坐标为， 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、 （k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是________. 【答案】2 【解析】 【详解】【分析】作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB（如图），设A（x1，y1），B（x2 ， y2），根据反比例函数k的几何意义得x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与y=kx，y=联立，解得x1=，x2=，从而得x1x2=2，所以y1=x2， y2=x1， 根据SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和已知条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2. 【详解】如图：作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB， 设A（x1，y1），B（x2 ， y2）， ∵A、B在反比例函数上， ∴x1y1=x2y2=2， ∵， 解得：x1=， 又∵， 解得：x2=， ∴x1x2=×=2， ∴y1=x2， y2=x1， 即OC=OD，AC=BD， ∵BD⊥x轴，AC⊥y轴， ∴∠ACO=∠BDO=90°， ∴△ACO≌△BDO（SAS）， ∴AO=BO，∠AOC=∠BOD， 又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB， ∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°， ∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO， ∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2， 故答案为2. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键. 24. 在实数，，0，中，最小的一个数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小的一个数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，掌握“实数的大小比较的方法”是解本题的关键． 25. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，边相交于点F，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得到，则由三角形外角的性质即可得到． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】．本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 26. 把这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过、两点，则______（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】求出和的值，进行比较即可． 【详解】解：已知双曲线经过、两点， 则，； 所以>； 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，解题关键是求出点的坐标，进行比较． 28. 如图，在矩形中，，Q是矩形左侧一点，连接、，且，连接，E为的中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】延长至F，使，连接，点O为的中点，以点O为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点G，连接；由且点Q在矩形的左侧知，点Q是在上运动，由题意及辅助线作法知，为的中位线，则，当F、O、Q三点共线时，最长，最大值为的长度；利用相似三角形的性质可求得的长，从而求得，最后求出的长，从而可求得的最大值． 【详解】如图，延长至F，使，连接，点O为的中点，以点O为圆心，为直径作圆，连接，延长线交于点，交于点G，连接， ∵， ∴点Q是在以点O为圆心，为直径的圆上运动， ∵Q是矩形左侧一点， ∴点Q是在上运动， ∵， ∴点C为的中点， ∵点E为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴当F、O、Q三点共线时，最长， 此时的最大值为的长度， ∵， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的基本知识，确定出点Q的运动路径、求的最大值转化为求的最大值是解题的关键与难点． 四、解答题（本大题共20小题，共162.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 29. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中是方程的根． 【答案】（1） （2），2或0 【解析】 【分析】（1）根据乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂分别求出每一部分的值，再代入求出即可； （2）先分解因式，约分，把除法变成乘法，根据分式的乘法法则进行计算，求出的根，代入求出即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， ， ， 或， ，， 将代入得，原式， 将代入得，原式． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值，解一元二次方程等知识点，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键 30. 青云山游乐园为引导游客游览景点，在主要路口设置了导游指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图．如图所示，并测得，，四边形为矩形底座，且．请帮助该小组求出指示牌最高点G到地面的距离（结果精确到1cm，参考数据：） 【答案】指示牌最高点G到地面的距离约为 【解析】 【分析】过点G作的垂线，交于点M，交于点N．过点F作于点P，过点E作于点Q，易得出，从而可求出．在中，利用正弦的定义可求出，在中，利用正弦的定义可求出．结合所作辅助线得，，最后由求解即可． 【详解】解：如图，过点G作的垂线，交于点M，交于点N．过点F作于点P，过点E作于点Q， ， ∵四边形为矩形底座，， ∴， ∴， ∴． 在中，， 在中，． 由所作辅助线得，， ∴． 答：最高点到地面的距离为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 31. 疫情期间，学校开通了在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小亮设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班共100名学生进行了问卷调查，发现使用了A（平板）、B（电脑）、C（手机）三种设备，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题． （1）求扇形统计图中类型B的百分比； （2）求扇形统计图中代表类型C的扇形圆心角，并补全折线图； （3）若该校七年级学生中类型C学生共有50人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生共约有多少人． 【答案】（1） （2），图见解析 （3）500人 【解析】 【分析】（1）先由折线统计图得到该校七（1）班和七（2）班使用B（电脑）设备的学生有58人，再除以调查总人数100即可； （2）先用总数分别减去使用A（平板）、B（电脑）两种设备的人数得到类型C的学生数，用类型C所占的百分比乘以即可得到类型C所对应扇形的圆心角的大小；用类型C的学生数减去七（1）班类型C的学生数得到七（2）班类型C的学生数，再补全折线统计图； （3）用50除以样本中类型C所占的百分比即可． 【小问1详解】 由折线图知B类型总人数（人）， 所以扇形统计图中类型B的百分比； 【小问2详解】 由折线图知A类型人数（人）， 故类型C的人数（人）， 所以类型C的扇形的圆心角， 七（2）班C类型人数（人），补全折线图如下： 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校七年级学生共约有500人． 【点睛】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图和用样本估计总体． 32. 某商店销售一种商品，小明经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如表： 售价（元件） 周销售量（件） 周销售利润（元） 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）表格中，当时， ______ ，当时， ______ ； （3）求当售价是多少时，周销售利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1） （2）， （3）当售价是元件时，周销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，用待定系数法求解即可； （2）该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价； （3）根据周销售利润周销售量售价进价，列出关于的二次函数，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为，将，分别代入得： ， 解得． 关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵该商品进价是元件； 当时，，当时，元， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由题意得： 二次项系数，抛物线开口向下， 当售价是元件时，周销售利润最大，最大利润是元． 33. 如图，已知中，，用尺规按下列步骤操作： ①作的外接圆，连接； ②在的下方作，使，作线段交于点D（点D与点O不重合）． 问题探究： （1）四边形是平行四边形吗？是的话给出证明，不是的话请说明理由； （2）当是多少度时，与相切？请说明理由． 【答案】（1） 四边形是平行四边形， 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 当是45度时，与相切， 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴与相切． 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形和切线的判定方法是解题的关键， （1）根据 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行证明； （2）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 34. 如图，在中，，，，为内部的一动点（不在边上），连接，将线段绕点逆时针旋转，使点到达点的位置；将线段绕点顺时针旋转，使点到达点的位置，连接、、、、、． （1）求证：； （2）求的最小值； （3）当取得最小值时求证：； （4）如图，，，分别是、、的中点，连接、，在点运动的过程中，请判断的大小是否为定值，若是，求出其度数；若不是，请说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）最小值为 （3）详见解析 （4）的大小是为定值， 【解析】 【分析】（1）由旋转知，、、，故由证出全等即可； （2）由两点之间，线段最短知、、、共线时最小，且最小值为，再由，，求出和，再由旋转知，，最后根据勾股定理求出即可； （3）先由为等边三角形得，再由、、、共线时最小，，最后，即证； （4）由中位线定理知道，，，，由≌得，即，再设，，则，，得，得． 【小问1详解】 证明：由旋转可知：，，， 则、为等边三角形， ∴，，， ， ， 在与中， ， ； 【小问2详解】 解：两点之间，线段最短， 即、、、共线时最小， 最小值为， ，，， ， ， ， ， ． 的最小值为； 【小问3详解】 证明：，， 为等边三角形， 即， 、、、共线时最小， ， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：结论：的大小是为定值， 理由：如图，连接， ，，分别是，，的中点， ，， ，， ， ， ， 且， 为等边三角形， 设，， 则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形旋转变换综合题，考查了全等的判定与性质，两点之间，线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，中位线定理，两点之间，线段最短求线段和最小值、用好全等三角形性质导角是证明平行及角度不变的关键 35. 抛物线的对称轴是y轴，与x轴交于A、B两点且A点坐标是，与y轴交于C点，且． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，若，N是抛物线上的两点，且．求N点坐标； （3）如图3，D是B点右侧抛物线上的一动点，D、E两点关于y轴对称．直线分别交直线于G、Q两点，交x轴于点P，请问是定值吗？若是请直接写出此定值． 【答案】（1） （2）N点坐标为或 （3）的值为3 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴是y轴得到，由A点坐标是求得B点坐标是，则，由得到，则，求出，把代入，得，解得，即可得到答案； （2）先求出点，过点M作轴于点G，则，，由勾股定理求得，过点O作，使，过点F作轴于点H，过点K作轴于点L，连接交抛物线于点N，连接交抛物线于点，证得，，得，，则，由待定系数法求出直线的解析式为，与抛物线联立得到，同理可得，的解析式为，与抛物线联立求得，即可得到答案； （3）由（1）知：，，设，则，求出直线的解析式为，得到，同理可得直线的解析式为，得，求得，，即可得到的值． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴， ∵A点坐标是， ∴B点坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， ∴， 过点M作轴于点G， 则，， 在中，， 过点O作，使，如图，过点F作轴于点H，过点K作轴于点L，连接交抛物线于点N，连接交抛物线于点， 则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 与抛物线联立，得：， 解得：（舍去），， 当时，， ∴； 同理可得，直线的解析式为， 与抛物线联立，得：， 解得：（舍去），， 当时，， ∴； 综上所述，N点坐标为或； 【小问3详解】 由（1）知：，，如图， ∵D、E两点关于y轴对称， 设，则， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故的值为3． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 36. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数、负整数指数幂和零指数幂的意义即可完成． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数、负整数指数幂和零指数幂的意义，掌握这些知识是完成本题的关键． 37. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式和多项式除以单项式的运算法则进行化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式、整式的除法，掌握多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则和合并同类项法则是解题的关键． 38. 解方程：． 【答案】x=-3 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】解：． 方程的两边同乘3（x-1）得：6+3x-3=2x， 解这个方程得：x=-3， 经检验，x=-3是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意，解分式方程需要验根． 39. 如图，在中，，．请用尺规作图法在上找一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作的垂直平分线交于点D，根据线段垂直平分线的性质得到,推出，利用三角形内角和定理即可得到． 【详解】解：如图，点D为所作． ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 40. 如图，在四边形中，，交于点E，点F在上，请你再添加一个条件（不再标注或使用其他字母），使，并给出证明． 【答案】 【解析】 【分析】在题中，由平行可知一对角相等，要想相似，再找一对角相等即可，因此可添加一组平行，找同位角相等即可． 【详解】解：添加条件． 理由如下：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查相似三角形的判定的理解及运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 41. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）写出点A关于x轴对称的点的坐标为__________； （2）在图中作出关于y轴的对称图形，点A、B、C的对应点分别为、、． 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可； （2）根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数得到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点A关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 42. 诚信是中华民族的传统美德，也是现代文明的重要标志，既是为人之道，又是做人之本，也是当代人民塑造健康人格、实现人生价值的道德基石．某班计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔一名活动主持人，小丽和小华都想当主持人，他们主持水平相当，但只有一个名额．班委会商议后，决定用游戏的方式在他们二人中确定一名．如图是两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A转盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字1，2，3，4；B转盘中圆心角为的扇形上面标有数字1，其余部分上面标有数字2．规则如下：小丽自由转动A转盘，小华自由转动B转盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，将转得的数字相加，如果和为偶数，则小丽当主持人；如果和为奇数，则小华当主持人．（若指针落在分隔线上，则无效，需重新转动转盘） （1）“小丽转动A转盘，转盘停止后指针指向数字3”是__________事件；（填“必然”或“随机”或“不可能”）； （2）请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 【答案】（1）随机 （2）这个游戏规则对双方公平 【解析】 【分析】（1）数字指向几是随机事件； （2）用列表法表示，和为偶数的可能有6种，和为奇数的可能有6种，总可能为12种，求出小丽和小华当主持人的概率，即可判断． 【小问1详解】 “小丽转动A转盘，转盘停止后指针指向数字3”是随机事件； 【小问2详解】 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 5 5 4 5 6 6 总可能有12种，其中和为偶数的可能有6种，和为奇数的可能有6种， 所以小丽当主持人的概率为 小华当主持人的概率为 所以这个游戏规则对双方公平． 【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握画树状图或列表法求概率． 43. 校训是一个学校的灵魂，体现了一所学校的办学传统，代表着校园文化和教育理念，是人文精神的高度凝练，是学校历史和文化的积淀．小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量学校教学楼上校训牌的高度，如图，她先在教学楼前的处测得校训牌上端处的仰角为，然后她后退到达处，又测得该校训牌下端处的仰角为，发现与恰好互余，已知教学楼的高，，小颖的眼睛离地面的距离，且，，三点共线，，，，校训牌的顶端与教学楼顶端平齐，请你根据以上信息帮助她求出校训牌的高度． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，根据矩形的性质，得出，再由与互余推出，根据全等的性质可得，即可求得． 【详解】解：延长交于点， ，，， 四边形、四边形、四边形均为矩形， ，，，， ，，，， ，， ， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了仰俯角问题，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 44. 今年是毛泽东等老一辈革命家为雷锋同志题词60周年．60年来，雷锋精神历久弥新，是中国共产党人精神谱系的重要组成部分，是中华民族永恒的精神符号．为了更好弘扬雷锋精神，某校开展“传承雷锋精神争做时代新人”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．校团委负责人到书店购买甲、乙两种书籍作为奖品．已知甲种书籍的单价为20元/册，乙种书籍的单价为25元/册．学校准备购买甲、乙两种书籍共100册，此时，甲种书籍因改版售价比原价增加了20%，乙种书籍的售价按原价的八折出售．设学校购买x册甲种书籍，购买这两种书籍所需总费用为y元． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若学校要求本次购买甲种书籍的数量不少于乙种书籍数量的4倍，当购买多少册甲种书籍时，可使所需总费用最低？ 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为且为正整数； （2）当购买80册甲种书籍时，可使所需总费用最低． 【解析】 【分析】（1）学校购买x册甲种书籍，则购买册乙种书籍，根据购买甲乙两种书籍的费用之和即为总费用可得函数关系式，然后结合实际确定x的取值范围即可； （2）由题意列得不等式，解不等式结合（1）中所求可得且为正整数，再根据一次函数的性质确定x的值即可． 【小问1详解】 解：学校购买x册甲种书籍，则购买册乙种书籍， 则， 整理得， ∵且为正整数， ∴y与x之间的函数表达式为且为正整数； 【小问2详解】 解：由题意得 解得 则且为正整数， ∵中 ∴y随x的增大而增大， 则当时，y有最小值， 即当购买80册甲种书籍时，可使所需总费用最低． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键是读懂题意，列出不等式及函数关系式． 45. 2023年全国两会，是中共二十大闭幕后的又一重大活动，意义非凡．为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，某校组织开展了以“聚焦两会，关注祖国发展”为主题的阅读活动，受到老师们的广泛关注和同学们的积极响应．为了解全校学生关注两会的情况，该校学生会随机抽查了部分学生在某一周阅读关于两会文章的篇数，并将统计结果绘制成如下的统计图表（不完整）． 调查学生某一周阅读关于两会文章篇数统计表 人数（人） 3 4 8 m 阅读关于两会文章篇数 12篇 13篇 15篇 18篇 请你根据图表中提供的信息解答下列问题： （1）填空：扇形统计图中的度数为___________°，所调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的中位数是___________篇，众数是___________篇； （2）求本次所调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的平均数量； （3）按照学校规定“学生这一周阅读关于两会文章篇数不少于13篇”为达标，若该学校大约有2000名学生，请你估计该学校学生这一周阅读关于两会文章篇数达标的人数． 【答案】（1）72，15，15 （2）本次所调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的平均数量为篇； （3）估计该学校学生这一周阅读关于两会文章篇数达标的人数有1700人． 【解析】 【分析】（1）先根据阅读15篇的学生人数占抽查学生的百分比求得抽取的人数，根据扇形统计图中圆心角以及众数、中位数的意义，分别求出即可； （2）根据平均数的求法计算即可； （3）先计算阅读不少于13篇的学生人数占抽查学生的百分比，利用学生总数该项占比计算即可． 【小问1详解】 解：（人）， ； ， 将学生阅读篇数从小到大排列处在第10、11位都是15篇，因此中位数是15篇； 学生阅读文章篇数出现次数最多的是15篇，出现5次，因此众数是15篇， 故答案为：72，15，15； 【小问2详解】 解：（篇）， 答：本次所调查学生这一周阅读关于两会文章篇数的平均数量为篇； 【小问3详解】 解：抽查学生中阅读12篇的有3人， 所以（人）， 答：估计该学校学生这一周阅读关于两会文章篇数达标的人数有1700人． 【点睛】本题考查了扇形统计图、中位数和众数、用样本估计总体等知识点．理解和应用图表是解决本题的关键． 46. 如图，的为的直径，M为外一点，连接，分别交于点C、D，且D为的中点，连接，过点B作的切线，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接，若的半径为6，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理的推理得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，即可证明，得到，再根据三角形内角和定理和等边对等角证明，由切线的性质得到，由此即可证明结论； （2）先得到，解得到，再利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵D为的中点， ∴， ∵的为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 由（1）得，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理的推理，勾股定理，解直角三角形，平行线的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 47. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点D． （1）求抛物线L的函数表达式； （2）若抛物线与抛物线L关于x轴对称，的顶点为P．请问在抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线L的函数表达式为； （2）存在，点Q的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线L交x轴于，，运用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的解析式，设点，再求得，，根据，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，解得， ∴抛物线L的函数表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线L：， ∵抛物线与抛物线L关于x轴对称， ∴抛物线的函数表达式为， ∴的顶点P的坐标为， 令，则：， ∴； 设点， ∴， ， ∵， ，即， 解即， 得，， ∴点Q的坐标为或； 解即， ∵，此情况不存在， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线的翻折变换，三角形的面积等相关知识，灵活运用方程思想是解题关键． 48. 【了解概念】 定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【理解运用】 （1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点D在格点上； （2）如图2，在等邻边四边形，，，，，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知，，D是的中点．在矩形内或边上，是否存在点E，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）如图所示，四边形即为所求； （2）； （3）存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，四边形的最大面积为 【解析】 【分析】（1）根据“等邻边四边形”的定义画图即可； （2）如图所示，过点D作于E，连接，可证是等边三角形，得到，则，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，，，即可利用勾股定理得到； （3）如图3-1所示，当时，过点E作轴于T，可以得到当点E从点F向点Q运动的过程中，由于逐渐变大，而保持不变，即此运动过程中逐渐变大，逐渐变小，即逐渐变大，即可得到当点E运动到点Q时，最大；如图3-2所示，当时，当点E在过点E且与平行的直线上时，最大；如图3-3所示，当时，则点E在线段的垂直平分线上，可以得到当点E运动到上时，此时最大；据此求出这三种情况下的的最大值即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴四边形是“等邻边四边形”； （2）如图所示，过点D作于E，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3-1所示，当时，过点E作轴于T， ∴点E在以C为圆心，4为半径的圆上运动， 设交于F，交于Q， 当点E从点F向点Q运动的过程中，由于逐渐变大，而保持不变， ∴此运动过程中逐渐变大，逐渐变小，即逐渐变大， ∵是的中点， ， ∴， ∴ ， ∵逐渐变大，逐渐变大， ∴逐渐变大， ∴当点E运动到点Q时，最大， ∴， ∴； 如图3-2所示，当时， ∴点E在以D为圆心，3为半径的圆上运动， ∵，为定值， ∴当最大时，最大， ∴当点E到的距离最大时，最大， ∴此时点E在过点E且与平行的直线上，且该直线与相切， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图3-3所示，当时，则点E在线段的垂直平分线上， ∴当点E运动到上时，此时最大， 过点D作于M，则四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，则， ∴； ∵， ∴存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，四边形的最大面积为． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，切线的性质，等边三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，坐标与图形，矩形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $