精品解析：福建省漳州市华安正兴学校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

漳州正兴学校2023-2024学年第二学期6月月考 高二年段数学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，即可得出结论. 【详解】斜二测画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 所以的对应点画对了，的对应点画错了. 2. 空间点，则点到直线的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，利用空间向量夹角余弦公式求出，进而求出，再利用距离公式即可求出结果. 【详解】由题意得， 所以， 所以， 所以点A到直线BC的距离. 故选：D. 3. 将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为，外弧长为，若该圆台的体积为，则圆台的母线长为（    ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得圆台的上底面半径，下底面半径，母线长为.设圆台的高为，根据圆台的体积公式求出，再由勾股定理求出. 【详解】因为一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为，外弧长为， 设外弧半径与内弧半径之差为， 所以圆台的上底面半径，下底面半径，母线长为. 设圆台的高为， 根据题意可知该圆台的体积，解得， 则. 故选：B. 4. 一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解. 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故选：B. 5. 如图，已知圆锥的底面圆心为，半径，表面积为，设母线PB中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用表面积公式求出母线长，然后将侧面展开，利用余弦定理可得. 【详解】设圆锥的母线长为，由题知，解得， 将圆锥侧面展开如图，因为，所以， 所以， 所以. 故选：D 6. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大 C. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D. 从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 【答案】D 【解析】 【分析】由二项分布的概率计算公式代入计算，即可判断AB，由互斥事件对立事件的定义即可判断C，由超几何分布的定义即可判断D 【详解】由二项分布的概率公式可得，故A错误； 在7次射击中，击中目标的次数为且， 当时，对应的概率为， 当时，，由可得， 即当时概率最大，故B错误； 至少有一黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C错误； 设摸出红球的个数为，则， 故满足超几何分布，故D正确； 故选：D 7. 2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程，，已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为（ ） A. 9.6 B. 11.0 C. 11.4 D. 12.0 【答案】B 【解析】 【分析】令，由，得，因为，所以 则，即可求解． 【详解】令，则， 又，由，得， 因为，所以 则， 下午4点时对应的是， 可得， 故选：B 8. 已知函数单调递增，则实数的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的单调性得到恒成立，再令新函数，利用导数求得函数的最值即可. 【详解】，因为当时，函数单调递增，所以， 即恒成立，故． 令，则，令，得， 当时，为减函数；当时，为增函数， 又，则．得． 故选：C． 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，是图象的对称轴， 由及正态分布的对称性得， ，故A错误，B正确； 因为，根据对称性， ，， 所以，故C正确，D错误； 故选：BC. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程的解有个 D. 导函数的极值点为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 且当时，；当时，， 作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，方程的解只有个，C错； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，令，可得；令，可得. 所以，函数的单调递减区间为，递增区间为， 所以，函数的极值点为，D对. 故选：ABD. 11. 古希腊哲学家发现并证明了只存在5种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，其中正八面体是由8个等边三角形构成．正八面体在计算机科学中用于三维模型和场景的构建，以及人工智能领域中用于图象识别和处理，另外在晶体和材料科学中也被广泛应用．现有一个棱长为2的正八面体，如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. 若点在同一个球的球面上，则该球的体积为 B. 若该正八面体的12条棱中点在同一个球的球面上，则该球的表面积为 C. 该正八面体内任意一点到8个侧面的距离之和为定值 D. 已知正方体的中心与该正八面体的中心重合，当该正方体绕中心任意转动时，若该正方体始终未超出该正八面体，则该正方体棱长的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将正八面体放入正方体中，则点在该正方体内切球的球面上，即可判断A；正八面体12条棱的中点在同一球的球面上，则该球与12条棱相切于棱的中点，得出球的直径，即可判断B；由等面积法即可判断C；正方体棱长最大时，其外接球即为正八面体的内切球，求得正八面体的内切球半径进而得出正方体棱长，即可判断D． 【详解】由题可知，依次连接正方体6个面的中心，可得题设正八面体， 如图所示，由正八面体的棱长为得，正方体的棱长为， 对于A，点在图中正方体内切球的球面上， 设该球的半径为，因为，所以，得， 则所求球的体积为，故A正确； 对于B，由上图知，正八面体12条棱的中点在同一球的球面上， 即该球与12条棱相切于棱的中点，该球的直径为，即， 故该球表面积为，故B正确； 对于C，正八面体体积为， 设正八面体内任意一点到8个侧面的距离分别为，，…，，由体积相等，且正八面体每个面面积相等， 得，解得（为定值），故C正确； 对于D，由题意知，该正方体棱长最大时，其外接球即为正八面体的内切球，设该球半径为， 取的中点，中点，则平面截得正八面体及内切球的截面如图所示，所得截面圆的半径即为， 则四边形是边长为的菱形，，， 由等面积法得，，得， 设该球的内接正方体棱长为，则，得，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关．已知被调查的男、女学生的总人数为，则__________． 附：．临界值表： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】5或6##6或5 【解析】 【分析】由题意，写出列联表，根据独立性检验的公式，结合题意列出不等式，可得答案. 【详解】设男、女学生的总人数为，则，并把列联表的数据补充完整： 喜欢 不喜欢 合计 男生 0.8n 0.2n n 女生 0.6n 0.4n n 合计 1.4n 0.6n 2n 所以， 又因为有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关， 所以， 又，所以， 所以或， 故答案为：5或6. 13. 三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥结构，可补成正方体，利用正方体外接球求半径，再由等体积法求出三棱锥内切球半径，利用球的面积公式得解. 【详解】由题意可知，三棱锥可以为棱，补成棱长为的正方体， 所以三棱锥的外接球与所在正方体的外接球相同， 所以外接球直径，其面积， 设三棱锥内切球半径为，则由等体积法可得：, 即， 解得，故， 所以. 故答案为： 14. 若不等式恒成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，然后由指数切线不等式得，再构造函数求出其最小值即可求解． 【详解】因为，所以，则． 令，则．当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，即， 从而，当且仅当时，等号成立． 又，所以，则，所以． 令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增．故， 且当时，． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式常用思路 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，求解不等式． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E是线段的中点，平面过点、C、E． （1）求平面截正方体所得的截面多边形的面积； （2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值．（参考公式： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、、，利用平行线的传递性可证得，可知、、、四点共面，再由于、、三点不共线，可得出面即为平面截正方体所得的截面；经分析可知，四边形为等腰梯形，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式可求得截面面积； （2）利用台体的体积公式可求得三棱台的体积，并求出剩余部分几何体的体积，从而可求解. 【小问1详解】 如下图，取的中点，连接、、. 因为是的中点，所以. 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以、、、四点共面. 因为、、三点不共线，所以、、、四点共面于平面， 所以面即为平面截正方体所得的截面. 且截面为梯形，， ，， 同理可得， 如下图所示： 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 则，，， 所以，则， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，则， 所以， 所以梯形的面积为. 【小问2详解】 多面体为三棱台，， ，该棱台的高为， 所以，该棱台的体积为 ， 故剩余部分的体积为. 故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 17. 如图，在正方体中，，点E，F分别为的中点，点G在上． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 连接交于点，连接，，， 由题意得点是中点，因为点是中点， 所以，又平面平面， 所以平面， 因为点是中点，易得，又平面平面， 所以平面， 因为面， 所以面面，因为面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行及面面平行的判定定理证明面面，进而利用面面平行的性质即得； （2）根据三棱锥体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得面，所以是三棱锥的高， 所以. 18. 淄博烧烤、哈尔滨冬日冰雪、山河四省梦幻联动、鄂了赣饭真湘……，2023年全国各地的文旅部门在网络上掀起了一波花式创意宣传，带火了各地的文旅市场，很好地推动国内旅游业的发展．已知某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项．对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项．已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的． （1）求甲任选一题并答对的概率； （2）若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分．假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为X． （i）求和； （ii）求． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式即可求出题目答对的概率； （2）（i）由事件的相互独立性即可求解；（ii）由题意可求出的每个值对应的概率，即得分布列，进而求得数学期望. 【小问1详解】 记“甲任选一道题并答对”为事件M，“甲知道答题涉及内容”为事件A． 依题意，，，，． 因为事件与互斥，所以 ． 【小问2详解】 （i）； . （ii）依题意，随机变量． ； ； ； ； 故． 19. 在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． （1）用洛必达法则求； （2）函数（，），判断并说明的零点个数； （3）已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 【答案】（1） （2）仅在时存在1个零点，理由如下：，， 所以，． 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，，， 当时，， 所以仅在时存在1个零点． （3） 【解析】 【分析】（1）利用洛必达法则求解即可； （2）构造函数，结合的单调性求解即可； （3）利用累乘法求出的表达式，然后结合，利用洛必达法则求极限即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，所以，，…， 将各式相乘得， 两侧同时运算极限，所以， 即， 令，原式可化为，又， 由（1）得， 故，由题意函数的定义域为， 综上， 【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数，从而利用洛必达法则求极限. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州正兴学校2023-2024学年第二学期6月月考 高二年段数学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形（见图1）的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为（    ） A. B. C. D. 2. 空间点，则点到直线的距离（ ） A. B. C. D. 3. 将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为，外弧长为，若该圆台的体积为，则圆台的母线长为（    ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，已知圆锥的底面圆心为，半径，表面积为，设母线PB中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 某人在7次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大 C. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D. 从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布 7. 2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕．海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据，其中，为第次入口人流量数据（单位：百人），由此得到关于的回归方程，，已知，根据回归方程（参考数据：，），可预测下午4点时入口游客的人流量为（ ） A. 9.6 B. 11.0 C. 11.4 D. 12.0 8. 已知函数单调递增，则实数的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程的解有个 D. 导函数的极值点为 11. 古希腊哲学家发现并证明了只存在5种正多面体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，其中正八面体是由8个等边三角形构成．正八面体在计算机科学中用于三维模型和场景的构建，以及人工智能领域中用于图象识别和处理，另外在晶体和材料科学中也被广泛应用．现有一个棱长为2的正八面体，如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. 若点在同一个球的球面上，则该球的体积为 B. 若该正八面体的12条棱中点在同一个球的球面上，则该球的表面积为 C. 该正八面体内任意一点到8个侧面的距离之和为定值 D. 已知正方体的中心与该正八面体的中心重合，当该正方体绕中心任意转动时，若该正方体始终未超出该正八面体，则该正方体棱长的最大值为 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关．已知被调查的男、女学生的总人数为，则__________． 附：．临界值表： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 13. 三棱锥中，，且两两垂直．设三棱锥的外接球和内切球的表面积分别为和，则______． 14. 若不等式恒成立，则的取值范围为________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E是线段的中点，平面过点、C、E． （1）求平面截正方体所得的截面多边形的面积； （2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值．（参考公式： 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 17. 如图，在正方体中，，点E，F分别为的中点，点G在上． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 淄博烧烤、哈尔滨冬日冰雪、山河四省梦幻联动、鄂了赣饭真湘……，2023年全国各地的文旅部门在网络上掀起了一波花式创意宣传，带火了各地的文旅市场，很好地推动国内旅游业的发展．已知某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项．对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项．已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的． （1）求甲任选一题并答对的概率； （2）若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分．假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为X． （i）求和； （ii）求． 19. 在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． （1）用洛必达法则求； （2）函数（，），判断并说明的零点个数； （3）已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $