精品解析：江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

2023-2024学年度第二学期高一年级第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：赵 剑 审核人：周 峰 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中给出下列结论（ ） ①与的夹角为；②；③；④在上的投影向量（其中为与同向的单位向量）．其中正确结论为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7. 如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，“是钝角三角形”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 9. 已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若且，则 10. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义两个平面向量的一种运算，为的夹角，则对于两个平面向量，下列结论正确的有（    ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知向量，，若，则______． 13. 已知，与是方程的两个根，则___________． 14. 已知是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，不共线，且，，． （1）将用，表示； （2）若，求的值； （3）若，求证：A，B，C三点共线． 16. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上上. （1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值. （2）若，当时，求的值. 18. 现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. （1）若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 （2）如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期高一年级第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：赵 剑 审核人：周 峰 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式结合两角差的余弦公式即可得出答案. 【详解】 . 故选：C. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 3. 已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知条件求得，再利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值. 【详解】由题意可知，点在直线上，则，可得， 因此，. 故选：D. 4. 如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，连接并延长交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，再根据平面向量基本定理分别表示，进而根据向量共线设，代入向量可得，进而得到. 【详解】设，则，又， 设，则， 故，即， 故. 故选：C 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】将看成一个整体，将化简后代入即可的出答案. 【详解】令，则，， 故选：D. 【点睛】本题考查三角恒等变换.属于基础题.熟记二倍角公式与降次公式是解本题的关键. 6. 八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中给出下列结论（ ） ①与的夹角为；②；③；④在上的投影向量（其中为与同向的单位向量）．其中正确结论为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用正八边形的性质，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析运算即可. 【详解】对①：为正八边形，则与的夹角为，①错误； 对②：，平分，则，②错误； 对③：∵，则，③正确； 对④：∵，即与的夹角为， ∴向量在向量上的投影向量为，④错误. 故选：C. 7. 如图，，是半径为的圆上的两点，且若是圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算可得，由数量积的定义可得，，当取最大值时，取得最大值当与同向时，取得最大值为，代入求解即可． 【详解】因为， ， ， 所以 即当取最大值时，取得最大值． 当与同向时，取得最大值为， 此时，取得最大值． 故选：C． 8. 在中，“是钝角三角形”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】注意三角形内角和是，然后讨论哪个角是钝角即可. 【详解】若是钝角三角形，或为钝角时，，满足条件， 为钝角时，， 由于则，满足条件，所以是充分条件. 时，当时，或为钝角，为钝角三角形. 当时，或，无解， 当时，为钝角，为钝角三角形，所以是必要条件. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 9. 已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 若且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】平面向量共线的传递性判断A，由向量数量积的定义可判断B，根据数量积及共线向量的概念可判断C，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D. 【详解】对A，在同一平面内的向量均为非零向量，若且，则，即A正确； 对B，若，则，又，所以， 因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B错误； 对C，因为与共线，与共线，所以不一定成立，即C错误； 对D，若且，则，，即D正确. 故选：AD． 10. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； 由， 可得 ，D正确； 故选：ABD 11. 定义两个平面向量的一种运算，为的夹角，则对于两个平面向量，下列结论正确的有（    ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据 的定义对选项逐一分析, 由此判断出结论正确的选项. 【详解】对于A选项，, 所以A 选项结论正确； 对于 B 选项，等式左边 ，右边 ，其中 是 与 的夹角， 故当 ，等式不成立，所以B选项结论错误. 对于C选项，等式左边 右边，故C 选项结论正确. 对于D选项，根据C的分析可知 ， 而 为非负数. 故 . 所以D选项结论正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算结合平面向量的模长公式可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值. 【详解】已知向量，，若，所以，解得． 故答案为：. 13. 已知，与是方程的两个根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与是方程的两个根，顶顶顶，且，再利用两角和的正切公式求解. 【详解】解：因为，且与是方程的两个根， 所以，且， 所以，且， 所以， 故答案为： 14. 已知是角终边与单位圆的两个不同交点，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，得到，由，求得，化简，即可求解. 【详解】令，且，且， 所以， 因为，可得，可得， 又因为，所以，即 所以 ， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，不共线，且，，． （1）将用，表示； （2）若，求的值； （3）若，求证：A，B，C三点共线． 【答案】（1）； （2）； （3） 当时， ，，， 所以， 所以，又有公共点， 所以A，B，C三点共线． 【解析】 【分析】（1）根据向量的减法运算即得； （2）根据向量共线定理可得，进而可得，即得； （3）由题可得，然后根据向量共线定理结合条件即得. 【小问1详解】 因为，， 所以； 【小问2详解】 因为，，， 所以，即，又向量，不共线， 所以，解得， 即的值为； 【小问3详解】 略 16. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据，利用两角差的余弦函数公式即可求解． （2）利用二倍角公式可求，的值，进而即可代入求解． 【详解】（1）因为， 所以 又因为， 所以 所以 （2）因为， 所以 所以 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想． 17. 如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上上. （1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值. （2）若，当时，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）用为基底表示向量，再根据向量相等即可得答案； （2）用为基底表示向量，再根据得点在边上的位置，进而根据向量的夹角公式计算即可. 【详解】解：（1）因为点是上靠近的三等分点，点是边上中点， 所以， 所以，，所以 （2）因为在正方形中，，设， 所以，，， 所以，解得. 所以， 所以 ， 所以. 18. 现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. （1）若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 （2）如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 【答案】（1），矩形面积的最大值为 （2）矩形面积的最大值为，第一种方案更优. 【解析】 【分析】（1）计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值； （2）取中点，连接，设，设，其中，计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值，与方案一中矩形的面积比较大小，可得出结论. 【小问1详解】 解：由题得，则， 则， 所以，， 所以矩形面积为 ， 因为，则，故当时，即当时， 矩形的面积取最大值，且最大值为. 【小问2详解】 解：取中点，连接，设，如下图所示： 设，其中，由圆的几何性质可知， ，， 因为四边形为矩形，则且， 因为，则，且，所以，四边形为矩形， 所以，，即为的中点， 又因为，则，所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 则矩形的面积为 ，其中， 因为，则， 所以当，即时取最大值，矩形的面积取最大值，且最大值为 ， ，则，所以第一种方案更优. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【详解】解：（1） 的相伴特征向量. （2）向量的相伴函数为， ，. ，，. . （3）由为的相伴特征向量知： . 所以. 设，， ，， 又，. ， ，， . 又， 当且仅当时，和同时等于，这时式成立. 在图像上存在点，使得. 【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $