精品解析：北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2023-2024学年高二下学期期末模拟测试数学试卷(2024.6.24)

人大附中朝阳学校高二下数学期末模拟测试试卷 一､选择题：（每题4分，共计40分） 1. 已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为（ ） A. ∀c＞0，方程x2-x+c=0无解 B. ∀c≤0，方程x2-x+c=0有解 C. ∃c＞0，方程x2-x+c=0无解 D. ∃c≤0，方程x2-x+c=0有解 2. 设集合，，若，则实数的值为 A. B. C. D. 3. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. 5. 某公司选择甲、乙两部门提供的方案的概率分别为0.45，0.55，且甲、乙两部门提供的方案的优秀率分别为0.6，0.8．现从甲、乙两部门中任选一方案，则该方案是优秀方案的概率为（ ） A. 0.69 B. 0.7 C. 0.71 D. 0.72 6. 现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年种产品定价为每件元，年销售量为万件，从第二年开始，商场对种产品征收销售额的的管理费（即销售元要征收元），于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的管理费不少于万元，则的最大值是 A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，；点P沿线段AB（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是，当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）． A. B. C. D. 10. 若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记．下列命题中正确的是（ ） A. 已知，，且，则 B. 已知，，则存在实数a，使得 C. 已知，若，则对任意，都有 D. 已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 二､填空题：（每题5分，共计30分） 11. 在的二项展开式中，常数项为160，则的值为________ . 12. 已知，则按照从大到小排列__________. 13. 春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________． 14. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是__________. 15. 已知函数f(x)的定义域为R，满足f（x+2）＝2f(x)，且当x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3.有以下三个结论： ①f（-1）； ②当a∈（，]时，方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f(x)有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z. 其中，所有正确结论的序号是_____. 16. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论： ①若，则存在唯一一个周期为1的周期点； ②若，则存在周期为2的周期点； ③若则不存在周期为3的周期点； ④若，则对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点． 其中所有正确结论的序号是_________． 三､解答题：（共计80分） 17. 已知命题对于成立，命题关于k的不等式成立． （1）若命题p为真命题，求实数k的取值范围； （2）若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 18. 某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. （1）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； （2）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望； （3）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 19. 已知函数（，为正实数）． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数单调区间； （Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围． 20. 已知函数． （1）若在R上是增函数，求实数a的取值范围； （2）当时，判断0是否为函数极值点，并说明理由； （3）若存在三个实数，满足，求实数a取值范围． 21. 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． （1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． （2）若集合是集合的一个元基底，证明：； （3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人大附中朝阳学校高二下数学期末模拟测试试卷 一､选择题：（每题4分，共计40分） 1. 已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为（ ） A. ∀c＞0，方程x2-x+c=0无解 B. ∀c≤0，方程x2-x+c=0有解 C. ∃c＞0，方程x2-x+c=0无解 D. ∃c≤0，方程x2-x+c=0有解 【答案】A 【解析】 【分析】 利用特称命题的否定是全称命题，可得结果. 【详解】命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为∀c＞0，方程x2-x+c=0无解, 故选：A. 【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题. 2. 设集合，，若，则实数的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为集合，，且， 所以1,4是方程的根，所以p=1×4=4，故选B． 考点：本题主要考查集合的运算． 点评：简单题，直接按补集的定义及韦达定理建立p的方程． 3. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理得出，代入可得选项. 【详解】由题可知：函数单调递增，若 一个零点在区间内，则需：， 即，解得， 故选：C. 【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题. 4. 设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当m＜0时，不等式m+＞4不成立， 当m＞0时，m+≥2=4，当且仅当m=，即m=2时，取等号， A．当m=2时，满足m＞0，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件， B．当m=2时，满足m＞1，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件， C．当m＞2时，不等式m+＞4成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件． D．当m=2时，满足m≥2，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件， 故选C． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键． 5. 某公司选择甲、乙两部门提供的方案的概率分别为0.45，0.55，且甲、乙两部门提供的方案的优秀率分别为0.6，0.8．现从甲、乙两部门中任选一方案，则该方案是优秀方案的概率为（ ） A. 0.69 B. 0.7 C. 0.71 D. 0.72 【答案】C 【解析】 【分析】利用全概率公式结合题意直接求解即可. 【详解】用，分别表示选到的方案来自甲部门、乙部门，用表示选到的方案是优秀方案． 由题意得，，，， 所以由全概率公式得 ． 故选：C 6. 现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出事件发生的个数和事件同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案. 【详解】由题意可知事件发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为, 事件同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为，故. 故选：D. 7. 某工厂生产的种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年种产品定价为每件元，年销售量为万件，从第二年开始，商场对种产品征收销售额的的管理费（即销售元要征收元），于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少万件，要使第二年商场在种产品经营中收取的管理费不少于万元，则的最大值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据题意,第二年该产品年售量为万件,年销售收入为万元,则第二年商场在种产品收取的管理费为万元,故所求函数为： ，令，化简得,解得:, 的最大值是. 故选D. 考点：函数应用. 8. 已知函数，，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法进行分解，即可得出的取值范围． 【详解】的定义域为实数集，，所以是奇函数， ，∴在R上单调递增； 由得，， 则，即， 当时，，此时不等式等价为成立， 当，，所以， 因为，，所以， 则，则. 故选：D. 9. 如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，；点P沿线段AB（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是，当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知，它们的初速度相等，故点的速度为，然后可以根据，求出在中点、三等分点时的，则点移动的距离可求，结合速度、时间可求． 【详解】解：由题意，点初始速度即为点的速度． 当在靠近点的三等分点时：，解得：， 当在中点时：，解得：， 所以经过的时间为：． 故选：D． 10. 若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记．下列命题中正确的是（ ） A. 已知，，且，则 B. 已知，，则存在实数a，使得 C. 已知，若，则对任意，都有 D. 已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 【答案】D 【解析】 【分析】A直接计算即可判断；B分类讨论判断；C举反例判断；D对任意的实数，求出满足条件即可． 【详解】对于A，∵，，∴，于是或，∴A错； 对于B，假设存在实数，使， 若，，矛盾， 若，，矛盾， 若，，矛盾， 若，，矛盾， 若，，矛盾， ∴B错； 对于C，取，，则，但对任意，，不成立，∴C错； 对于D，对任意的实数，只须满足，，，就有，从而，∴D对． 故选：D． 二､填空题：（每题5分，共计30分） 11. 在的二项展开式中，常数项为160，则的值为________ . 【答案】-2 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项求出常数项为，即得解. 【详解】由题得， 令. 所以常数项为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求二项式的展开式的某一项，一般利用展开式的通项研究求解. 12. 已知，则按照从大到小排列为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性进行大小判断． 【详解】， ， ， 则， 故答案为： 13. 春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知：，且，从而可得值． 【详解】由题意可知： ∴，即, ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题． 14. 设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，按和分类讨论，结合指数函数值域求解即得. 【详解】当时，若，则， 若，则，当且仅当时取等号， 则当时，恰有一个零点，因此； 当时，若，则， 若，，显然，此时有一个解， 由恰有一个零点，则当且仅当，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 15. 已知函数f(x)的定义域为R，满足f（x+2）＝2f(x)，且当x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3.有以下三个结论： ①f（-1）； ②当a∈（，]时，方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f(x)有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z. 其中，所有正确结论的序号是_____. 【答案】①②. 【解析】 【分析】由题意可得函数f(x)的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假. 【详解】 如图： 对①，因为函数f(x)的定义域为R， 满足f（x+2）＝2f(x)，x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3， 所以f（-1）f（-1+2） f（1）•（21﹣3），所以①正确； 对②，f(x)的大致图象如图所示可得当a∈（，]时， 方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确 对③，因为x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3＝0， x＝log23，又因为f（x+2）＝2f(x)， 所以函数f(x)由无数个零点， 但没有整数零点，所以③不正确； 故答案为：①②. 【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于中当题. 16. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论： ①若，则存在唯一一个周期为1的周期点； ②若，则存在周期为2的周期点； ③若则不存在周期为3的周期点； ④若，则对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点． 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用新定义，求出周期点或根据定义进行证明判断． 【详解】①设，则，显然是增函数，由得， 时，，递减，时，，递增， 所以时，，只有唯一解， 因此只有唯一解，即存在唯一一个周期为1的周期点，①正确； ②，， 解得，此时，不合题意， 所以不周期为2的周期点，②错误； ③，若，则，，，所以存在周期为3的周期点，③错； ④，所以无解，因此对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点，④正确． 故答案为：①④． 【点睛】方法点睛：本题考查新定义，解题关键是对“周期为k的周期点”的正确理解与应用，同理要掌握命题真假判断的方法，如命题①是证明只有唯一解，命题②③只要找互一个周期点就可判断真假，命题④通过函数的值域或最值判断． 三､解答题：（共计80分） 17. 已知命题对于成立，命题关于k的不等式成立． （1）若命题p为真命题，求实数k的取值范围； （2）若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据命题为真命题可得，解不等式即可； （2）分类讨论，和求出实数m的取值范围，再由命题p是命题q的必要不充分条件，求解即可. 【小问1详解】 若命题为真，则有 ， 解得， 所以实数k的取值范围为：. 【小问2详解】 设集合， 关于k不等式成立， 若，不等式的解集为：， 若，不等式的解集为：， 若，不等式的解集为：， 因为命题p是命题q的必要不充分条件， 若，则为的真子集，故成立， 若，需满足为的真子集，则，所以， 若，需满足为的真子集，则，所以， 所以实数m的取值范围为：. 18. 某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步数信息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示. （1）从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率； （2）从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数为，求的分布列及数学期望； （3）根据11月4日至11月10日某一天的数据制作的全校800名教职员工步数的频率分布直方图如图2所示.已知这一天甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名，判断这是哪一天的数据.（只需写出结论） 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）11月6日 【解析】 【分析】（1）根据古典概型即可得解； （2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对于概率，即可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （3）先分别求出各个区间的人数，从而确定甲乙步数所在的区间，进而可得出结论. 【小问1详解】 设“甲比乙的步数多”为事件， 在11月4日至11月10日这七天中，11月5日与11月9日这两天甲比乙步数多， 所以； 【小问2详解】 由图可知，7天中乙的步数不少于20000步的天数共2天； 的所有可能取值为， ， 所以的分布列为 0 1 2 ； 小问3详解】 由频率分布直方图知，步数在各个区间的人数如下， 有人， 有人， 有人， 有人， 有人， 有人， 因为甲与乙的步数在全校800名教职员工中从多到少的排名分别为第501名和第221名， 所以甲走的步数在区间内，乙走的步数在区间内， 符合的只有11月6日这一天， 所以这是11月6日的数据. 19. 已知函数（，为正实数）． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）见解析，（Ⅲ） 【解析】 【分析】(I)先对函数求导，然后根据导数的几何意义可求切线斜率，进而可求切线方程； (II)先对函数求导，可得．通过讨论a﹣2的正负，判断导数在[0，+∞）上的符号，进而求出函数的单调区间； (III)结合（II）中函数单调区间，可求函数取得最小值的条件及最小值，从而可求a的范围. 【详解】(I)当时，， 则 所以.又， 因此所求的切线方程为； (II) 当，即时，因为，所以， 所以函数在上单调递增. 当，即时， 令，则（），解得. 当时，，当时，. 所以函数的单调递增区间为， 函数的单调递减区间为； (III)由(II)知当时，函数在上单调递增， 则的最小值为，满足题意. 当时，函数单调递增区间为， 函数的单调递减区间为， 则的最小值为，而，不合题意. 所以的取值范围是. 20. 已知函数． （1）若在R上是增函数，求实数a的取值范围； （2）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由； （3）若存在三个实数，满足，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，若在R上是增函数，即恒成立，得，设，求导后利用单调性求得函数的最小值，即可求得结果；（2）对函数二次求导后求得导数的单调性即可判断出结果；（3）若存在三个实数，满足，则函数存在3个单调区间，结合（1）中函数的单调性且时，，利用单调性解得结果. 小问1详解】 ∵，则，若在R上是增函数，即恒成立，得，设，，得，得，即在递减，在递增，则，故. 【小问2详解】 当时，，，得，则递增，，则时，，时，，则在上递减，在上递增，故是函数的极小值点. 【小问3详解】 ∵，令，得，由（1）得， 又在递减，在递增，则， 且时，，， 当时，， 若存在三个实数，满足，故当有两根使得，故或时，，此时递增，时，，此时递减，且时，，则必有先增后减再增，故必存在，满足，故，即. 21. 已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． （1）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． （2）若集合是集合的一个元基底，证明：； （3）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底.，是的一个二元基底.． （2）设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得，即． （3）由（2）可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”．再讨论当时，集合的所有情况均不可能是的4元基底，而当时，的一个基底，由此可得 的最小可能值为5． 【小问1详解】 ①不是的一个二元基底. 理由是； ②是的一个二元基底. 理由是， . 【小问2详解】 不妨设，则 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数至多有个； 形如 的正整数至多有个. 又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底. 故，即. 【小问3详解】 由（2）可知，所以. 当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设为的一个4元基底， 不妨设，则. 当时，有，这时或. 如果，则由，与结论*矛盾. 如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，均不可能是的4元基底. 当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可. 综上，的最小可能值为5. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$