精品解析：新疆阿克苏市实验中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

阿克苏市实验中学2023—2024学年第一学期高二年级第三次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 命题人： 审核人： 一、单选题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分） ： 1. 在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 若抛物线上的点到直线的距离等于，则点到焦点的距离（ ） A. B. C. D. 6. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 以上都不对 二、多选题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 若点在圆的外部，则的取值可能为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 10. 关于椭圆 ，下列结论正确的是（     ） A. 长轴长为4 B. 短轴长为1 C. 焦距为 D. 离心率为 11. 已知曲线，则（ ） A. 当时，是圆 B. 当时，是焦距为4的椭圆 C. 当是焦点在轴上的椭圆时， D. 当是焦点在轴上的椭圆时， 12. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 正方体的内切球的半径为 B. 两条异面直线和所成的角为 C. 直线BC与平面所成的角等于 D. 点D到面的距离为 三、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 圆与圆的公共弦的长为______. 14. 一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1，2，3，则球的表面积为___． 15. 准线方程为的抛物线的标准方程为__________. 16. 点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程__________； 四、解答题 （本大题共6小题，共70分）： 17. 已知直线与直线相交于点，则 （1）求过点且平行于直线的直线 （2）求过点且垂直于直线的直线 18. 已知向量，，． （1）求； （2）若，求，的值． 19. 求满足下列曲线的标准方程. （1）圆心在直线上，且与轴交于点，. （2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程. 20. 已知椭圆，经过，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点.求面积的最大值. 21. 如图，在长方体中，，，点P为棱的中点． （1）证明：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 22. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小； （3）若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿克苏市实验中学2023—2024学年第一学期高二年级第三次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150 命题人： 审核人： 一、单选题 （本大题共8小题，每小题5分，共40分） ： 1. 在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接用中点坐标公式求解即可. 【详解】点，, 线段AB的中点的坐标是，即. 故选：C. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可. 【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，即. 故选：D 3. 两条平行直线与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行得到，然后利用两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】因为两直线平行，所以，解得， 所以直线为，即， 所以两平行线之间的距离. 故选：C. 4. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确； B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以， 根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确； D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； 故选：C 5. 若抛物线上的点到直线的距离等于，则点到焦点的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求得的值. 【详解】抛物线的准线为，由抛物线的定义知， 点到焦点的距离等于其到准线的距离，即． 故选：D. 6. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆与直线相切可求得r的值，进而可求得圆的方程. 【详解】由题意知，， 所以所求圆的方程为. 故选：B. 7. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，从而求得侧面积,进而求解表面积. 【详解】设圆锥的母线为，即侧面展开图的半径为,侧面展开图的弧长为. 圆锥的底面半径为2，所以圆锥底面周长为，且侧面展开图为半圆， 所以, 即圆锥的母钱长. 所以圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为, 所以该圆锥的表面积为. 故选：C. 8. 设点，，直线过且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由题意得所求直线的斜率满足或，用直线的斜率公式求出和的值，即可求解. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 而，， 所以或. 故选：A. 二、多选题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 若点在圆的外部，则的取值可能为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 【答案】BC 【解析】 【分析】由圆，结合点在圆外列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，在圆外， 则，解得. 故选：BC 10. 关于椭圆 ，下列结论正确的是（     ） A. 长轴长为4 B. 短轴长为1 C. 焦距为 D. 离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合椭圆的几何性质依次判断即可. 【详解】因为椭圆，所以，，. 长轴长为4 ，故 A正确； 短轴长为，故B 错误； 焦距为，故C正确； ，故 D正确. 故选：ACD. 11. 已知曲线，则（ ） A. 当时，是圆 B. 当时，是焦距为4的椭圆 C. 当是焦点在轴上的椭圆时， D. 当是焦点在轴上的椭圆时， 【答案】AB 【解析】 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，曲线为，此时曲线表示圆，所以选项A正确； 对于选项B，当时，曲线为，此时曲线为椭圆且椭圆的焦距为，所以选项B正确； 对于选项C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项C错误； 对于选项D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以选项D错误， 故选：AB. 12. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 正方体的内切球的半径为 B. 两条异面直线和所成的角为 C. 直线BC与平面所成的角等于 D. 点D到面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定A错误；连接，把异面直线和所成的角的大小即为直线和所成的角，为正三角形，可判定B正确；证得平面，进而求得直线与平面所成的角，可判定C正确；结合等体积法，得到，进而可判定D错误. 【详解】对于A中，正方体的内切球的半径即为正方体的棱长的一半，所以内切球的半径，所以A错误. 对于B中，如图所示，连接， 因为且，则四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线和所成的角的大小即为直线和所成的角的大小， 又因为，则为正三角形，即，所以B正确； 对于C中，如图所示，连接，在正方形中，. 因为平面，平面，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面，所以直线与平面所成的角为， 所以C正确； 对于D中，如图所示，设点D到面的距离为，因为为正三角形， 所以, 又因为，根据等体积转换可知：， 即，即，解得，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 圆与圆的公共弦的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆相减可得， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 又圆圆心到直线的距离， 圆的半径为，所以公共弦长为. 故答案为：. 14. 一个长方体的顶点都在球面上，且长方体的棱长分别为1，2，3，则球的表面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用长方体的体对角线长即为外接球的直径即可求解. 【详解】依题意，长方体的外接球半径，有， 所以所求球的表面积. 故答案为： 15. 准线方程为的抛物线的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据准线方程确定抛物线开口方向并求出值，进而求其标准方程 【详解】已知抛物线的准线方程为， 得该抛物线开口向右，且，得， 故抛物线的方程为：. 故答案为： 16. 点与圆上任一点连结的线段的中点的轨迹方程__________； 【答案】 【解析】 【分析】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程． 【详解】设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y）， 则 代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得． 故答案为：． 【点睛】求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将代入. 四、解答题 （本大题共6小题，共70分）： 17. 已知直线与直线相交于点，则 （1）求过点且平行于直线的直线 （2）求过点且垂直于直线的直线 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，利用两直线平行得到所求直线斜率后，即可求出结果； （2）利用两直线垂直得到所求直线的斜率后，即可求出结果. 【小问1详解】 由解得，即， 因为直线的斜率为， 所以过点且平行于直线的直线的斜率为， 所以直线为：，化简得. 【小问2详解】 因为直线的斜率为， 所以点且垂直于直线的直线的斜率为 所以直线为：，化简得. 18. 已知向量，，． （1）求； （2）若，求，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量夹角余弦公式进行求解； （2）设，得到方程组，求出答案. 【小问1详解】 ; 【小问2详解】 因为，所以设，即， 故，解得. 19. 求满足下列曲线的标准方程. （1）圆心在直线上，且与轴交于点，. （2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标，进而求出半径即可得圆的标准方程. （2）根据给定条件，设出双曲线方程，再按焦点位置求出双曲线标准方程. 【小问1详解】 依题意，圆心在线段的中垂线上，线段的中垂线方程为， 而圆心在直线上，因此圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 【小问2详解】 由双曲线的渐近线方程为，设双曲线方程为， 当双曲线的焦点在轴上时，，方程为， 则有，解得，双曲线方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，，方程为， 则有，解得，双曲线方程为， 所以所求双曲线方程为或. 20. 已知椭圆，经过，且离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点.求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过点，可得，再根据离心率公式可得，进而可得椭圆方程； （2）联立直线方程，结合韦达定理可求得，结合二次函数性质可得最大值. 【小问1详解】 由椭圆，经过， 得，解得， 又椭圆离心率为， 解得，， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 设点， 联立直线与椭圆方程，得， 则，即， 且，， 又直线与轴的交点， 所以， 所以当，即时，取最大值为. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21. 如图，在长方体中，，，点P为棱的中点． （1）证明：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明: AI    设和交于点，连接， 为长方体， ∴点为中点， ∵点为中点， ∴， ∵平面，平面， ∴∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面角的定义得到直线与平面所成角为，然后求正切值即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 为长方体， ∴平面，则直线与平面所成角为， ，， 所以直线与平面所成角的正切值为. 22. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小； （3）若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值． 【答案】（1） 法一：设，连结，， 矩形中是线段的中点，是线段的中点， 所以，，所以为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； 法二：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直， 面面，，面，所以面， 以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，是线段的中点， 则，，，，，， 从而，，，， 设面的法向量为，则由，可知， 令，则，，从而面的一个法向量为， 则，又平面，所以，从而面. （2）； （3）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）法一：设，连结，，先证为平行四边形，得到，再由线面平行的判定证结论；法二：证面，构建空间直角坐标系，应用向量法证线面平行； （2）应用向量法求二面角的大小即可； （3）设，其中，进而得到，再结合向量垂直的坐标表示列方程得，最后求t的最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则，，面的一个法向量为， 设面的法向量为，则，可知， 令，则，，从而面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，因为为锐角，所以， 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 因为点在线段上，而， 设，其中，则，从而， 于是，而， 由知，即， 所以，解得，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，设，其中，根据向量的坐标表示得到，，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $