1.2 集合的基本关系 练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.2集合的基本关系 练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册 一、单选题 1．设集合A={–1，1，2}，集合B={x|x∈A且2–x∉A}，则B=（　　） A．{–1} B．{2} C．{–1，2} D．{1，2} 2．已知集合 { }， { }，若 ，则实数a等于（　　） A．1 B．-1 C．±1 D．±1或0 3．设集合 ， ，那么（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 ，反之也成立 D． 和 成立没有关系 4．下列不等式的解集是空集的是（　　） A．x2﹣x+1＞0 B．﹣2x2+x+1＞0 C．2x﹣x2＞5 D．x2+x＞2 5．若集合是与的公倍数，，，且，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D．以上选项均不正确 6．下列各式中，正确的是（　　） A．2⊆{x|x≤2} B．3∈{x|x＞2且x＜1} C．{x|x=4k±1，k∈Z}≠{x|x=2k+1，k∈Z} D．{x|x=3k+1，k∈Z}={x|x=3k﹣2，k∈Z} 7．若则就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为(　　) A．15 B．16 C．64 D．128 8．已知 ， ，则 的元素个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．已知集合，集合，下列关系正确的是（　　）． A． B． C． D． 10．已知函数，集合，集合，若，则实数的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．设 是全集， 定义 ， 对 的真子集 和 ，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 三、填空题 12．设，，若集合，则　 　． 13．A={2，a}，B={2，a2﹣2}，如果A=B，则a=　 　． 14．记关于的方程在区间上的解集为，若有2个不同的子集，则实数的取值范围为　 　. 四、解答题 15．已知 ，设命题 的不等式解集构成集合 ，命题 的不等式解集构成集合 （1）若 是真命题，求集合 （2）若 ，则 的取值范围. 16．已知全集U=R，集合A={x|4≤2x＜128}，B={x|1＜x≤6}，M={x|a﹣3＜x＜a+3}． （1）求A∩∁UB； （2）若M∪∁UB=R，求实数a的取值范围． 17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答. ①；②；③；若集合A={x|-2x-3＞0}，B={x|a-1＜x＜2a+3}设全集为. （1）若a=-1，求； （2）若____________，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条作分别解答，则按第一个解答计 18．设A={x2﹣8x+15=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集． 19．设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数． （1）若，，写出，的值； （2）求的最大值； （3）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A． 答案 1．【答案】C 【解析】【解答】集合B＝{x|x∈A且2﹣x∉A}，集合A＝{﹣1，1，2}， 当x＝﹣1时，可得2﹣（﹣1）＝3∉A； 当x＝1时，可得2﹣1＝1∈A； 当x＝2时，可得2﹣2＝0∉A； ∴B＝{﹣1，2}； 故答案为：C． 【分析】根据题意利用列举法写出集合B的元素即可得出结果。 2．【答案】D 【解析】【解答】∵集合 { }={﹣1，1}， { }， ， ∴当a=0时，N=∅，成立； 当a≠0时，N={ }， ∵ ，∴ 或 =1．解得a=﹣1或a=1， 综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}． 故答案为：D． 【分析】根据题意求出集合M的元素，再结合集合之间的关系对a分情况讨论计算出结果即可。 3．【答案】A 【解析】【解答】显然 时，集合 ，此时 ；若 ，则 可以是集合 中的元素1或2，此时 可以取值1，-1， ，即若 ，则 不成立. 故答案为：A. 【分析】a=1时，集合N的元素相应确定，从而可判断出选项A正确. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意，依次分析选项， 对于A，x2﹣x+1=（x﹣ ）2+ ，则x2﹣x+1＞0恒成立，其解集为R，A不符合题意， 对于B，﹣2x2+x+1＞0⇒2x2﹣x﹣1＜0，有△＞0，其解集不是空集，B不符合题意， 对于C，2x﹣x2＞5⇒x2﹣2x+5＜0，其△=﹣16＜0，其解集为∅，符合题意， 对于D，x2+x＞2⇒x2+x﹣2＞0，有△＞0，其解集不是空集，D不符合题意， 故选C． 【分析】结合一元二次不等式不等式的解法，分别求出4个选项不等式的解集，对于A，将x2﹣x+1=0变形为（x﹣ ）2+ =0，分析易得其不符合题意，对于B，将﹣2x2+x+1＞0变形为2x2﹣x﹣1＜0，求出其△，易得其不符合题意，对于C，将2x﹣x2＞5变形为x2﹣2x+5＜0，其△=﹣16＜0，求出其△，易得其符合题意，对于D，将x2+x＞2变形为x2+x﹣2＞0，求出其△，易得其不符合题意，综合可得答案． 5．【答案】C 【解析】【解答】对于集合，当时，是与的公倍数，因此是的正整数倍， 即是与的公倍数，，且， ∴由集合中元素的互异性，集合中元素有6，12，18，24，30，…， 对于集合，当时，是的正整数倍， ∴集合中元素有6，12，18，24，30，…， ∴. 故答案为：C. 【分析】根据集合的描述法，对两个集合中描述元素的语言和等式进行分析，可得答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】 由于2∈{x|x≤2}，故A不对； 由于{x|x＞2且x＜1}是空集，故3∈{x|x＞2且x＜1}不成立； 由于{x|x=4k±1，k∈Z}={x|x=2k+1，k∈Z}，故C不对； 由于{x|x=3k﹣2，k∈Z}={x|x=3（k﹣1）+1，k∈Z}={x|x=3k+1，k∈Z}，故D正确 故选D 【分析】A选项研究元素与集合的关系，其关系是属于与不属于，由此作出判断； B选项研究元素与集合的关系，可通过研究集合是空集作出判断； C选项研究两个集合之间相等与不等式的关系，由两个集合的属性对应研究即可； D选项研究两个集合的相等关系，由此易判断出正确选项． 7．【答案】A 【解析】【解答】∵由和3，和2，-l，l组成集合，和3，和2都以整体出现，∴有24个集合∵集合为非空集合，∴有24-l=l5个故选A． 【分析】本题关键看清楚-1和1本身也具备这种运算，这样由-1，1，3和 ，2和 四“大”元素组成集合． 8．【答案】C 【解析】【解答】因为 ，所以 ，又由 得 ，所以 ，则 ，故 ，即元素个数有3个. 故答案为：C 【分析】通过解不等式求出A和B，结合补集和交集的运算即可求出相应的元素个数. 9．【答案】A,C,D 【解析】【解答】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合， A符合题意，B不符合题意，C符合题意，D符合题意， 故答案为：ACD． 【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系和集合简单包含关系，进而找出关系正确的选项。 10．【答案】C,D 【解析】【解答】由题意知： ， 由知： 即 ， 由可知： 且为 此时须满足 ，解得 ， 故实数a的取值范围是 ，因此a的取值可以是3，4. 故答案为：CD. 【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法和集合相等的判断方法以及空集的定义，再结合判别式法对称实数a的取值范围，进而得出满足要求的实数a的值。 11．【答案】A,C,D 【解析】【解答】A． ，若 ，则 ， ， ，若 ，则 或 且只有一个成立， ， 或 ，因此A符合题意； B． ，当 时， ，则 ，此时 ，B不符合题意； C． 时，若 ，则 ，若 ，则 ，若 且 ，则则 ，所以 ，C符合题意； D． ，当 时，显然 ，此时 ， 成立，当 时， ， 与 的值要么等于0要么等于1， 或0， 成立，D符合题意． 故答案为：ACD． 【分析】根据题意由已知条件结合真子集的定义，然后由集合之间的关系对选项逐一判断即可得出答案。 12．【答案】0 【解析】【解答】解：集合， 则，可得（）， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 13．【答案】-1 【解析】【解答】解：∵A={2，a}，B={2，a2﹣2}，A=B， ∴a=a2﹣2， 解得：a=﹣1或a=2， 当a=2时，集合A不满足集合元素的互异性，故舍去 故答案为：﹣1 【分析】根据集合相等可得元素相等即可 14．【答案】 【解析】【解答】因为有2个不同的子集，所以A中只有一个元素， 即关于的方程在区间上有且只有一个实数根. 记， 当a=0时，无解，不符合题意； 当a≠0时，的图像的对称轴为x=1. 若a>0时，由且3比0距离对称轴更远，所以要使图像与x轴有且只有一个交点，只需，即，解得：a=1. 若a<0时，则在单增，而，所以在无零点；在单减，要使图像与x轴有且只有一个交点，只需，即，解得：， 综上所述：或a=1。 故答案为：。 【分析】利用集合有2个不同的子集，所以A中只有一个元素，即关于的方程在区间上有且只有一个实数根，令，再利用分类讨论的方法结合二次函数的图象的对称性和二次函数的图象与x轴的交点，从而结合已知条件求出满足要求的实数a的取值范围。 15．【答案】（1）解：因为 ，即 ，解得： ，所以集合 ， （2）解：由 得 ， 方程 的两个根为 ， ， 当 时， ，若 ，则 ，所以 ， 当 时， ，满足 ，所以 ， 当 时， ，若 ，则 ，所以 ， 综上所述： 的取值范围为 ， 【解析】【分析】（1）解不等式 ，即可得集合 ；（2）对 讨论解不等式 即可得集合 ，再利用集合的包含关系求 的取值范围即可. 16．【答案】（1）解：∵全集U=R，集合A={x|4≤2x＜128={x|22≤2x＜27}={x|2≤x＜7}，B={x|1＜x≤6}， ∴∁UB={x|x≤1或x＞6}， 则A∩∁UB={x|6＜x＜7}； （2）解：∵∁UB={x|x≤1或x＞6}，M={x|a﹣3＜x＜a+3}，且M∪∁UB=R， ∴ ， 解得：3＜a≤4， 则实数a的范围是{a|3＜a≤4} 【解析】【分析】（1）求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B补集的交集即可；（2）根据M与B的补集并集为R，确定出a的范围即可． 17．【答案】（1）解：或 当时，， 所以 （2）解：①②③均等价于 当时，，解得； 当时，有或 解得或 综上，实数a的取值范围或. 【解析】【分析】（1）由集合的交集和补集运算求解即可； （2）①②③均等价于，讨论，两种情况，结合集合包含关系得出实数a的取值范围. 18．【答案】解：A={x2﹣8x+15=0}={3，5}， 由题意，当a=0时，B=∅，满足B⊆A， 当a≠0，B={ }，又A={3，5}，B⊆A， 此时 或5，则有a= 或a= ． ∴实数a组成的集合为{0， ， } 所有非空真子集：{0}，{ }，{ }，{0， }，{0， }，{ ， }． 【解析】【分析】先对A集合进行化简，再根据B集合的情况进行分类讨论求出参数的值，写出其集合，即可它的所有非空真子集． 19．【答案】（1）解：根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故， SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故. （2）解：不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1， 2)，(1， 3)， (1， 4)， (2，3)， (2， 4)，(3， 4)六种情况，而(2， 4) ， (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ； （3）解：假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因， 故，所以， 设，则是的因数， 所以是的因数，且是的因数，因为， 所以，因为是的因数，所以， 因为是的因数，所以是的因数， 因为，所以，所以或， 故，或， 所以当取到最大值4时，故，或. 【解析】【分析】（1）根据定义得到，，即可得到，； （2）结合条件得到最多有(1，2)，(1， 3)， (1， 4)， (2，3)， (2， 4)，(3， 4)六种情况，排除(2， 4) ， (3，4)即可得到的最大值； （3）假设，，根据定义可得 或 ，进而得到A. 学科网（北京）股份有限公司 $$