精品解析：云南省曲靖市师宗县平高中学（第四中学）2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

师宗平高学校高二年级期末模拟考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出全集，然后根据补集运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部. 【详解】由， 则，的虚部为2. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】， 所以， 故选：B 4. 已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 5. 甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，，根据互斥事件和独立事件概率求法运算求解. 【详解】设甲第局胜，，2，3，且，，， 所以甲恰好连胜两局的概率 . 故选：B. 6. 若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析不等式在上的解，再根据对称性得出不等式在上的解即可. 【详解】因为在上是增函数且，所以在范围内的解为. 因为函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内的解为，所以不等式在R内的解为. 故选：C 7. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前30项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意，列出数列的递推关系，用累加法求出数列的通项公式，再用裂项求和法求出数列的前想和，可得结果. 【详解】根据已知条件有， 当时，， 以上各式累加得：， 又，所以， 经检验符合上式，所以，所以. 设数列的前项和为， 则， 所以. 故选：A 8. 已知，则的大关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得. 【详解】设，则， 当时，，在上递增； 当时，，在上递减, 故. 则，即； 由可知，故. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. 所有项的系数之和为2187 C. 项系数为280 D. 所有项的二项式系数之和为128 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的展开式有项，判断A的真假；令可得展开式中所有项的系数和，判断B的真假；计算的系数，判断C的真假；利用所有项的二项式系数和为判断D的真假. 【详解】选项A：因为，所以展开式共有8项，故A错误； 选项B：令，则所有项的系数和为，故B正确； 选项C：展开式的项为，故C正确； 选项D：所有项的二项式系数和为，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由函数图象的顶点坐标求出A，再由周期求出即可判断；选项B，由五点法求出，进而得出的解析式，再求出即可判断；选项C，根据正弦函数的性质即可判断；选项D，在上单调，求出最小值即可. 【详解】由函数的图象可得，由，解得，从而A正确； 再根据五点法可得， 又因为，解得， 从而，所以， 即函数为奇函数，从而B错误； 当时，，所以是最值，所以C正确； 因为时，， 因为，所以单调递增， 所以当时，从而D正确. 故选：ACD 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点的横坐标即可得，可判断A；求出直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，利用定义即可得，然后可判断B；根据点的横坐标求出即可判断C；将代入直线方程，求出纵坐标，然后由可得面积，可判断D. 【详解】选项A：过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以，所以， 由抛物线定义可得，，所以， 解得，故A正确． 选项B：由A得抛物线的方程为，，直线的方程为， 联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或， 所以，故，故，B错误． 选项C：由，，得，故C正确． 选项D：由上知，得， 故，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 某批产品中，来自甲厂的占90%，来自乙厂的占10%，甲、乙两厂的优等品的概率分别为0.7、0.3，则这批产品为优等品的概率为______． 【答案】0.66 【解析】 【分析】利用全概率公式，可得答案. 【详解】由题意可知，这批产品为优等品的概率为. 故答案为：. 13. 已知向量，满足，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的相关知识，计算出，借助数量积公式计算即可. 【详解】结合题意：，所以 因为，所以 所以． 故答案为：. 14. 已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，求导，分离参数得到在上恒成立，再构造函数，求的最值即可求解. 【详解】不等式等价于， 令， 根据题意对任意的，当时，， 所以函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 所以当时，，即在区间单调递增， 当时，，即在区间上单调递减， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2）2，2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得：， ， ， 即， ，， ，. 【小问2详解】 由题意，， 所以， 由， 得， 所以，解得：. 16. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P . 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解， （2）根据超级几何概率公式求解概率，即可由期望公式求解. 【小问1详解】 依题意，， ， ， ， 所以y关于x的线性回归方程为. 【小问2详解】 由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个， 所以X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以X的期望是. 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆：的短轴长等于，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 由椭圆的方程，可得右焦点， 当直线斜率不存在时被轴垂直平分，不符合题意； 当直线斜率为0时，； 直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，中点为， 联立方程组，整理得， 可得， 所以，则， 即，则中垂线的方程为， 令，可得，所以， 又由 ， 所以（定值）； 综上所述，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组得到，进而求得，得出中垂线的方程，求得，再由弦长公式求得，即可求解. 【小问1详解】 椭圆：的短轴长等于，离心率可得， ，解得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）单调递减区间为和，单调递增区间为； （3）． 【解析】 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【小问1详解】 因为，所以． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． 【小问3详解】 在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 师宗平高学校高二年级期末模拟考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第层有个球，则数列的前30项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. 所有项的系数之和为2187 C. 项系数为280 D. 所有项的二项式系数之和为128 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上的最小值为 11. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 某批产品中，来自甲厂的占90%，来自乙厂的占10%，甲、乙两厂的优等品的概率分别为0.7、0.3，则这批产品为优等品的概率为______． 13. 已知向量，满足，，则_____． 14. 已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若的面积为，求. 16. 某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合理增加研发资金．为 了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 投入额 10 30 40 60 80 90 110 年收入的附加额 7．30 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的年份为“优”，从上面的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列及数学期望． 参考数据：，，． 附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，． 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆：的短轴长等于，离心率． （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $