精品解析：福建省宁德市福鼎第四中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

福鼎四中2023-2024学年第一学期第一次月考 高二数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知直线过，两点且倾斜角为，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率坐标表示以及倾斜角的关系，列出式子计算即可. 【详解】由题可知：，可得. 故选：B 2. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过观察法、排除法求得正确答案. 【详解】通过观察可知， ，，所以BD选项错误. 对比AC选项，注意到数列的分母的间隔不是常数，所以A选项错误. 故选：C 3. 若数列满足，且，则其前15项和（ ） A. 135 B. 105 C. 90 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到数列为等差数列，再求即可。 【详解】因为，所以数列为等差数列。 所以。 故选：B 4. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】由可知数列是公比为的等比数列，再由题意结合等比数列的通项公式代入可求出答案. 【详解】由可知数列是公比为的等比数列， 所以， 解得：. 故选：D. 5. 直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可. 【详解】由图知：，故斜率最小的直线是. 故选：B 6. 已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出，写出通项公式，用裂项法求的和. 【详解】设首项为,公差为,由题意得，解得，所以， 所以， 数列的前2020项和. 故选：A 7. 等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 结合等比数列求和公式有：，解得n=4， 即这个等比数列的项数为8. 本题选择C选项. 8. 已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（ ） A. 230 B. 115 C. 110 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】利用倒序相加法即可求得前20项的和. 【详解】，① ，② 两式相加，又因为 故，所以 所以的前20项的和为 故选：B 二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列与数列是同一个数列 B. 数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 C. 在数列中,第8个数是 D. 数列3,5,9,17,33,…的通项公式为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列的定义数列是根据顺序排列的一列数可知选项A错误, 使,即可得出项数,判断选项B的正误, 根据数列的规律可得到第8项可判断选项C的正误, 根据数列的规律可得到通项公式判断选项D的正误. 【详解】对于选项A,数列与中数字的排列顺序不同, 不是同一个数列, 所以选项A不正确; 对于选项B,令, 解得或（舍去）, 所以选项B正确; 对于选项C,根号里面的数是公差为1的等差数列, 第8个数为,即, 所以选项C正确; 对于选项D,由数列3,5,9,17,33,…的前5项可知通项公式为, 所以选项D正确. 故选:BCD 10. 关于直线：，下列说法正确的有（ ） A. 斜率为 B. 倾斜角为150° C. 在轴上的截距为 D. 直线不经过第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线方程一般式求出斜率及倾斜角可判断A，B选项；将直线化为截距式可判断C，D选项. 【详解】直线：，其斜率为，由得其倾斜角为150°，故A错误，B正确； 将直线化为截距式为 ，故直线在轴上的截距为，故C正确； 直线在轴上的截距为，故直线经过第三象限，直线不经过第一象限，故D正确； 故选：BCD 11. 数列满是，则（ ） A. 数列的最大项为 B. 数列的最大项为 C. 数列的最小项为 D. 数列的最小项为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件，判断出数列的单调性即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由，得到，且易知，时，，当时，， 所以 所以数列的最大项为，最小项为， 故选：BD. 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列各项可知其是以为周期的周期数列，由此可判断A B；根据斐波那契数列的定义，采用累加法可判断C；由斐波那契数列定义可推导得到，累加即可判断D. 【详解】斐波那契数列：， 则，，，，，，，，，， ，，， 即数列是以为周期的周期数列， 对于A，，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C， ，，，， ，故C正确； 对于D，， ， ，，，， ， 又，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题关键是能够根据斐波那契数列的定义，确定其数列前后项所满足的关系式，进而验证得到新定义的数列为周期数列. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13. 在等比数列中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质根据已知条件列方程求解即可 【详解】因为等比数列中，， 所以，解得， 故答案为： 14. 数列满足：，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知条件找出数列的周期计算即可 【详解】， 当时，， 当时，， 依此类推，， 数列为周期数列，周期， . 故答案为：. 15. 在数列中，，，则数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件可得数列是等差数列，求出其通项即可计算作答. 【详解】由得：，而， 于是得数列是以为首项，为公差的等差数列， 则有， 所以数列的通项公式为：. 故答案为： 16. 已知点，若直线过点，且与线段相交，则该直线的斜率的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式分别计算出直线的斜率，观察图象，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围． 【详解】解：作出直线和点对应的图象如图： 要使直线与线段相交，则直线的斜率满足或， ， 或， 则直线斜率的取值范围是． 故答案为 【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，要求熟练掌握直线斜率的坐标公式，比较基础． 四､解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17. （1）已知为等差数列的图象上的两点，求数列的通项公式 （2）已知在等比数列中，，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出数列的首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）设公差为， 由题意可得， 则，解得， 所以； （2）由题意， 解得. 18. （1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知所求直线经过两点，求出直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）由题意可设直线的方程为，再利用待定系数法求出即可. 【详解】（1）由题意可知所求直线经过两点， 则直线的斜率， 所以直线方程为，即； （2）由题意可设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 19. 已知等差数列中， （1）求数列的通项公式 （2）若单调递增，，求数列前项和的最小值 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质求出，进而可求出公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）根据等差数列的前项和公式结合二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 设的公差为， 因为， 则为方差的两根， 所以或， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，或； 【小问2详解】 若单调递增，则， 故， 所以， 所以当时，取得最小值. 20. 如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的． （1）小球第10次落地时，经过的路程是多少米？ （2）小球第几次落地时，经过的路程为？ 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）设从第次落地到第n次落地时经过的路程为，得到当时，，利用等比数列的性质求出通项公式，并求和； （2）设小球第n次落地时，经过的路程为，由于，从而得到方程，求出答案. 【小问1详解】 设小球从第次落地到第n次落地时经过的路程为， 则，，，…． 而且，当时，我们可以得到递推关系，． 这是一个首项为，公比为的等比数列． 因此，且． 所以小球第10次落地时，经过的路程为 ． 【小问2详解】 设小球第n次落地时，经过的路程为， 由于， 因此，解得． 所以当小球第4次落地时，经过的路程为． 21. 已知正项数列的前项和为，且， （1）求数列的通项公式 （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由，① 当时，，解得（舍去）， 当时，，② 由①②得， 即， 又，所以， 所以数列是以为公差，为首项的等差数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 则， ， 两式相减得 ， 所以. 22. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断数列是否具有性质并证明； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 【答案】（1）分别为5、11 （2） 数列具有性质； 证明：因为， 所以， 则，即为等比数列， 所以数列具有性质. （3） 【解析】 【分析】（1）根据数列数列具有性质可得为等比数列，根据等比数列性质可求得答案； （2）依据数列新定义，结合等比数列定义即可判断结论，进而证明； （3）求出，可得，进而推出，分n为奇偶数，求出，综合可得答案. 【小问1详解】 由题意数列具有性质，为等比数列，设公比为q， 由，得， 又； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，则，， 故，适合该式， 故， 所以由得， 则， 因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则， 故， 当n为偶数时， ； 当n为奇数时， ， 故. 【点睛】关键点睛：本题是关于数列新定义类型题目，解答的关键是要理解数列新定义，并依据该定义去解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2023-2024学年第一学期第一次月考 高二数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知直线过，两点且倾斜角为，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 2. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 若数列满足，且，则其前15项和（ ） A. 135 B. 105 C. 90 D. 75 4. 已知数列满足，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 36 5. 直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（ ） A. 230 B. 115 C. 110 D. 100 二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列与数列是同一个数列 B. 数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 C. 在数列中,第8个数是 D. 数列3,5,9,17,33,…的通项公式为 10. 关于直线：，下列说法正确的有（ ） A. 斜率为 B. 倾斜角为150° C. 在轴上的截距为 D. 直线不经过第一象限 11. 数列满是，则（ ） A. 数列的最大项为 B. 数列的最大项为 C. 数列的最小项为 D. 数列的最小项为 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13. 在等比数列中，，则______. 14. 数列满足：，则的值为__________. 15. 在数列中，，，则数列的通项公式为________． 16. 已知点，若直线过点，且与线段相交，则该直线的斜率的取值范围是___________ 四､解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17. （1）已知为等差数列的图象上的两点，求数列的通项公式 （2）已知在等比数列中，，求. 18. （1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 19. 已知等差数列中， （1）求数列的通项公式 （2）若单调递增，，求数列前项和的最小值 20. 如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的． （1）小球第10次落地时，经过的路程是多少米？ （2）小球第几次落地时，经过的路程为？ 21. 已知正项数列的前项和为，且， （1）求数列的通项公式 （2）令，求数列的前项和. 22. 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. （1）若数列具有性质，且，求的值； （2）若，判断数列是否具有性质并证明； （3）设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $