4.2 对数与对数函数 练习-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4.2对数与对数函数 练习-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册 一、选择题 1．已知，则(　　) A． B． C． D． 2．已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（　　） A． B． C． D． 3．设函数，若，则的最小值为（　　）． A． B． C． D．1 4．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 5．已知，则（　　） A． B． C． D． 6．若，则（　　） A． B． C． D． 7． 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．若，，则（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．已知，则（　　） A． B． C． D． 10．已知，，且，则（　　） A． B． C． D． 11．设函数，则使成立的充分不必要条件可以是(　　) A． B． C． D． 三、填空题 12．函数的定义域为　 　． 13．设，且，若，则实数a的取值范围是　 　． 14．已知a＞1，，则a＝　 　． 四、解答题 15．已知集合. （1）求集合的值； （2）求函数的值域. 16．若（，）. （1）过，求的解集； （2）存在x使得、、成等差数列，求a的取值范围. 17．已知函数，的零点分别是与． （1）若，解不等式； （2）已知， ①证明：； ②若，满足，求的最小值． 18．已知函数． （1）证明：的定义域与值域相同． （2）若，求m的取值范围． 19．函数． （1）若的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）方程在区间上有解，求实数a的取值范围． 答案 1．【答案】B 【解析】【解答】解：，因为，所以， ，故. 故答案为：B. 【分析】根据对数函数的运算性质结合对数函数的单调性可得，再计算与1比较即可得大小关系. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：对于AB：由题意可知：， 且，则， 可得，即， 又因为在定义域内单调递增， 所以，故A正确，B错误； 对于C：例如，则， 可得， 即，故C错误； 对于D：例如，则， 可得， 即，故D错误； 故答案为：A. 【分析】对于AB：根据基本不等式结合对数函数单调性分析判断；对于CD：举反例说明即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：函数的定义域为， 令，解得；令，解得； 当时，，要使成立，则，故； 当时，，要使成立，则，故； 故， 则，当且仅当时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：C. 【分析】根据对数函数的性质分析的符号，再由成立确定的符号，即可得，代入结合二次函数的性质求最值即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】令，解得， 所以 函数的定义域为 . 故答案为：A. 【分析】根据根式、分式以及对数的定义列式求解即可. 5．【答案】A 6．【答案】C 【解析】【解答】解：因为，所以， 又，故综上所述： 故答案为：C. 【分析】根据中间值0即可到，再结合对数的运算及换底公式即可比较b，c的大小. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：不等式，变形可得， 令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 且当时，，当时，； 由，得，则， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故，即，则实数的取值范围为. 故答案为：D． 【分析】根据指对混合型不等式，利用指、对运算将不等式，转化为，设函数，利用函数的单调性及取值情况，将问题转化为，令，求导，利用导数判断函数的单调性确定最值即可得实数的取值范围. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：对于A，因为c>1，所以指数函数在R上单调递增， 又因为a<b，所以，故A错误； 对于B，因为c>1，所以对数函数在上单调递增， 又0<a<b<1，所以，故B错误； 对于C，因为0<a<b<1，c>1，可得，因为正弦函数在上不具有单调性， 所以无法判断与的大小，故C错误； 对于D，因为c>1，所以幂函数在上单调递增，又0<a<b<1，所以，故D正确. 故答案为：D. 【分析】根据指数函数、对数函数、正弦函数和幂函数的单调性即可求解. 9．【答案】A,C,D 【解析】【解答】解：A、因为，所以指数函数在上单调递减，且，所以， 因为幂函数在上单调递增，且，所以，所以，故A正确； B、取，，则，故B错误； C、因为对数函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，故C正确； D、因为在上单调递增，所以，， 则，因为对数函数在上单调递减， 所以，故D正确． 故答案为：ACD． 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可. 10．【答案】A,B 【解析】【解答】解：因为，，且 ，所以，当且仅当a =b=1时取等号，故A正确； 因为，，且 ，所以，，，故B正确； 由得，当且仅当时取等号，所以，故C错误； 因为又，所以，故D错误. 故答案为：A、B. 【分析】根据基本不等式可判定A正确，根据指数函数的单调性可判定B正确，根据基本不等式、对数运算及对数函数单调性可判断C错误，根据二次函数的性质可判断D错误. 11．【答案】A,C 【解析】【解答】解：因为所以，， 故， 得或， 则使成立的充分不必要条件是集合或的真子集， 由选项可知，AC正确． 故答案为：． 【分析】由不等式求出的取值范围，再结合充分不必要条件的逻辑关系结合选项进行判断即可．注意选项是取值范围的充分不必要条件. 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】64 【解析】【解答】解：由，利用换底公式将式子化成以2为底， 即，对式子进行化简得：， 即， 利用因式分解得， 所以或， 因为a＞1，所以， 所以，即， 故答案为：64. 【分析】将利用换底公式转化成，接着化简式子，得到进而因式分解得到即可得到结果. 15．【答案】（1）解： （2）解： 16．【答案】（1）解：因为函数的图象过，所以，解得，即，故函数， 又因为函数在上单调递增，则，即即， 故的解集为. （2）解：因为存在使得成等差数列，所以有解， 即， 因为，故，所以在上有解， 则在上有解， 令，因为在上的值域为，所以，即. 【解析】【分析】（1）根据函数的图象过点求出，再利用对数函数的单调性列不等式，求解即可； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质求的取值范围即可. 17．【答案】（1）解：由题意知，则有， 即， 所以不等式的解集为 （2）①由题意知，，则有 当时，，不符合题意； 当时，，此时无解； 当时，，解得； 综上所述，，证得． ②由知，， 即 因为，所以， 即， 设，令， 因为在上单调递增，且 所以，所以的最小值为 【解析】【分析】 (1) 由题意整理可得，结合对数函数性质分析求解； (2) ①分析可得，分类讨论的大小关系，结合对数函数的性质分析证明；②根据题意整理可得，换元设，结合函数单调性求最值. 18．【答案】（1）证明：由得， 所以的定义域为 ， 因为在上单调递增， 所以，所以的值域为， 所以的定义域与值域相同． （2）解：由（1）知在上单调递增， 所以当时，． 设， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 因为， 所以，即m的取值范围为． 【解析】【分析】（1）根据对数函数的真数为非负数可得：解出x即可求得函数的定义域，然后再结合对数函数的单调性即可求得的值域； （2）设，则，然后分别求得即可求解. 19．【答案】（1）解：令，因为函数的定义域为R，所以函数对恒成立， 所以方程无实数解，即，解得，故实数a的取值范围为． （2）解：方程在区间上有解，等价于方程在区间上有解， 即命题，使得， 则命题，使得恒成立，或恒成立． ①对恒成立，或②对恒成立， 设，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即或， 所以原命题． 【解析】【分析】（1）令，由题意可得函数在上恒成立，只需方程无实数解，即判别式小于0列式求解即可； （2）把问题转化为①对恒成立，或②对恒成立，然后利用换元法和复合函数的单调性求最值即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$