精品解析：湖北省咸宁市通城县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

湖北省咸宁市通城县2022-2023学年八年级下学期4月期中数学试题 一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑） 1. 在▱ABCD中，∠A=80°，∠B=100°，则∠C等于（　　） A 60° B. 80° C. 100° D. 120° 2. 下列二次根式中，能与合并的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 4. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 5. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 6. 已知，则的平方根是（ ） A. 2 B. -2 C. D. 7. 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则A、C两点间的距离是（　　） A. 4 B. C. D. 2 8. 如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）． A. 3 B. C. 4 D. 2 二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请将答案填写在答题卷相应题号的位置） 9. 计算=_______ 10. 比较大小：4______（填“＞”，“＜”或“＝”）． 11. 若是整数，则正整数n的最小值为______． 12. 如图，在中，的平分线交于点，且，的周长是，则等于_____． 13. 如图所示，，数轴上点表示的数是_______． 14. 一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为______． 15. 观察分析下列数据：，，3，，，…，按规律第18个数据为 _________________． 16. 如图，正方形的面积为16，对角线，相交于点，点，分别在边，上运动，，平分，与边交于点．则下列结论： ①； ②四边形的面积保持4不变； ③； ④最小值为． 其中正确说法的序号是 ______________．（把你认为正确的序号都填上） 三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分.请认真读题，冷静思考.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置） 17 计算：． 18. 有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面积． 19. 如图，点E在边长为10的正方形内，，，请求出阴影部分的面积， 20. 中国古代数学家们对于勾股定理发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明：a2+b2＝c2； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值． 21. 如图，在菱形ABCD中，，，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形； ②若，求证：四边形AMDN是菱形． 22. 如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． （1）若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ （2）若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 23. 如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点是的中点，点在边上运动． （1）若为的中点，连接的延长线交射线于点． ①求证：四边形为平行四边形； ②当点的坐标为 时，四边形为菱形． （2）当等腰三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省咸宁市通城县2022-2023学年八年级下学期4月期中数学试题 一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑） 1. 在▱ABCD中，∠A=80°，∠B=100°，则∠C等于（　　） A. 60° B. 80° C. 100° D. 120° 【答案】B 【解析】 【详解】解：因为平行四边形的对角相等，所以∠C＝∠A＝80°. 故选B 2. 下列二次根式中，能与合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类二次根式，同类二次根式的定义，理解定义“几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．”是解题的关键． 【详解】解：A.，与不是同类二次根式，所以不能和合并，故不符合题意； B.，与不是同类二次根式，所以不能和合并，故不符合题意； C.，与是同类二次根式，所以能和合并，故符合题意； D.，与不是同类二次根式，所以不能和合并，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　) A. B. 1, C. 6,7,8 D. 2,3,4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可. 【详解】解：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误，不符合题意； B．12+（）2=（）2,故该选项正确，符合题意； C．62+72≠82，故该选项错误，不符合题意； D．22+32≠42，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会判断是否为直角三角形是解答关键. 4. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质逐项分析即可． 【详解】A. 对角相等是平行四边形的性质，矩形和菱形都具有，故该选项不符合题意； B. 对角线互相垂直是菱形的性质，矩形不具有，故该选项符合题意； C. 对角线相等是矩形和菱形都具有的性质，故该选项不符合题意； D. 对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 5. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减及乘除运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．根据二次根式的乘法、二次根式的化简、二次根式的除法及二次根式的加减运算，进行各选项的判断． 【详解】解：A、，计算正确，故选项不符合题意； B、，计算正确，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能直接合并，原式计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 6. 已知，则的平方根是（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根有意义的条件求出x，进而求出y，根据平方根的概念解答即可． 【详解】解：由题意得，x﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x＝3， 则y＝1， ∴x+y＝4， ∵4的平方根是±2， ∴x+y的平方根是±2， 故选：C． 【点睛】本题考查的是算术平方根有意义的条件、平方根的概念，掌握算术平方根的意义是解题的关键． 7. 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则A、C两点间的距离是（　　） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质即可求出答案． 【详解】在矩形OABC中， OB＝AC， ∵B（1，3）， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理． 8. 如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为、的中点，则长度的最大值为（ ）． A. 3 B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题中条件可判定EF是中位线，可得，当动点N与点B重合时，DN值最大，，此时EF长度取最大值． 【详解】解：如图，连接DN， ∵点E、F分别为、的中点， ∴EF是中位线，， 当动点N与点B重合时，，此时DN长度取最大值，即此时EF长度取最大值． ∵，，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线性质，用勾股定理解三角形，理解长度的最大值就是求DN长度最大值是解题关键． 二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请将答案填写在答题卷相应题号的位置） 9. 计算=_______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可. 【详解】. 故答案为2 【点睛】考核知识点：二次根式除法.掌握法则是关键. 10. 比较大小：4______（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，比较容易，由可得，从而即可得解． 【详解】解：∵, ∴， 故答案为：． 11. 若是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据n是正整数，则也是正整数，则20n一定是一个完全平方数，首先把20n分解因数，确定20n是完全平方数时，正整数n的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴正整数n的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，理解是正整数的条件是解题的关键． 12. 如图，在中，的平分线交于点，且，的周长是，则等于_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用． 根据是的平分线和，求出，根据的周长是，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵周长是， ∴， ∴， 则． 故答案为：． 13. 如图所示，，数轴上点表示的数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理求出线段的长，结合数轴即可． 【详解】解：点到数轴的线段交于点． 由图可知点到数轴的距离为，点距离点的横向距离为． 在中， 点表示的数为 故答案为：． 14. 一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求菱形的面积，二次根式的乘法．熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：菱形的面积是：． 故答案为：． 15. 观察分析下列数据：，，3，，，…，按规律第18个数据为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根及数字的变化规律，发现规律是关键．观察发现规律为，写出第18个数据即可． 【详解】解：，，3，，，，， 第18个数据为：． 故答案为：． 16. 如图，正方形的面积为16，对角线，相交于点，点，分别在边，上运动，，平分，与边交于点．则下列结论： ①； ②四边形的面积保持4不变； ③； ④的最小值为． 其中正确说法的序号是 ______________．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】依据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、勾股定理，通过推理计算即可得到正确的结论，进而得出答案． 【详解】解：正方形的对角线，相交于点， ，，， 又， ， ， ，故①正确； 与的面积相等， 四边形的面积与的面积相等， 又的面积等于正方形面积的四分之一， 四边形的面积保持4不变，故②正确； 如图所示，连接， 平分， ， 又，， ， ， ， ， 中，， ，故③正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 当有最小值时，值最小， 是等腰直角三角形， 当时，的最小值等于的一半， 即的最小值等于2， 的最小值为，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形、直角三角形解决问题． 三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分.请认真读题，冷静思考.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写在答题卷相应题号的位置） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解，先利用平方差公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解： ． 18. 有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，分别求得18和32的算术平方根，则可得两个正方形的边长，然后用小正方形的边长乘以两个正方形的边长之差即可得出答案． 【详解】解：∵两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2， ∴这两个正方形的边长分别为：＝3（dm），＝4（dm）， ∴剩余木料的面积为：（4﹣3）×3＝×3＝6（dm2）． 【点睛】本题考查了二次根式在正方形和长方形面积计算中的应用，熟练掌握二次根式的计算是解题的关键． 19. 如图，点E在边长为10的正方形内，，，请求出阴影部分的面积， 【答案】76 【解析】 【分析】先求出AB=10，，再由勾股定理的逆定理证明△AEB是直角三角形，即∠AEB=90°，从而求出，则． 【详解】解：∵四边形ABCD是边长为10的正方形， ∴AB=10，， ∵AE=6，BE=8， ， ∴△AEB是直角三角形，即∠AEB=90°， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理是解题的关键． 20. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明：a2+b2＝c2； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23 【解析】 【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． （2）根据完全平方公式的变形解答即可． 【详解】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2， ∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2； （2）由图可知： （b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10， ∴2ab＝10， ∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23． 【点睛】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． 21. 如图，在菱形ABCD中，，，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形； ②若，求证：四边形AMDN是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）①3，②见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意由菱形的性质可得∠DNE=∠AME，再由点E是AD边的中点，可得AE=DE，从而可证明△NDE≌△MAE（AAS），则NE=ME，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案； （2）①由题意可知当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定； ②根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴ ∴， ∵点E是AD边的中点， ∴ 在和中， ∴（） ∴， 又DE=AE， ∴四边形AMDN是平行四边形 （2）①解：当AM的值为3时，四边形AMDN是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=6， ∵点E是AD边的中点， ∴AE=AD=3， ∴AM=AE=3， ∵∠DAB=60°， ∴△AEM等边三角形， ∴EM=AE， ∵NE=EM=MN， ∴MN=AD， ∵四边形AMDN是平行四边形， ∴四边形AMDN是矩形． 故答案为：3； ②证明：∵，， ∴ ∵ ∴是等边三角形， 又DE=AE， ∴ ∵四边形AMDN是平行四边形 ∴四边形AMDN是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质和矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质与等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 22. 如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． （1）若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ （2）若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 【答案】（1） （2）图见解析，25 【解析】 【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程，求出的值即可求解； （2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，过点作交的延长线于点，在中由勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：（1）设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站应建在离点处； 【小问2详解】 如图，作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点， 则． 故答案为：25． 23. 如图甲，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】我们已经学习了①平行四边形、②菱形、③矩形、④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是______（填序号）． （2）【性质探究】小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图甲，在四边形中，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． （3）【问题解决】如图乙，在中，，，D，E分别是，的中点，连接，，有，求． 【答案】（1）②④；（2）猜想正确，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查四边形中新定义的问题，熟练掌握勾股定理与几何问题的结全是解题的关键， （1）利用垂美四边形的定义结合菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）利用垂美四边形的定义可得到，再根据勾股定理即可得到答案； （3）结合垂美四边形的结论，代入即可得到答案． 【详解】解：（1）∵菱形、正方形的对角线相互垂直， ∴菱形和正方形符合垂美四边形的定义， 故答案为：②④； （2）猜想正确，理由如下： ∵四边形中，， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）∵，，D、E分别是、的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，点是的中点，点在边上运动． （1）若为的中点，连接的延长线交射线于点． ①求证：四边形为平行四边形； ②当点的坐标为 时，四边形为菱形． （2）当等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）①见解析；② （2）点的坐标为：或或或 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而可以解决问题； ②由①知：四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，然后利用勾股定理求出的值，即可解决问题； （2）分为三种情况：①时，②时，③时，结合点的坐标，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出答案． 【小问1详解】 ①证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ②解：由①知，四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∵矩形的顶点的坐标为， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵在上， ∴点的纵坐标是， ∴的坐标是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵的坐标是，四边形是矩形， ∴， ∵为中点， ∴， ∵在上， ∴点的纵坐标是4， 以为圆心，以为半径作弧，交于P，如图1所示， 此时， 由勾股定理得，， 即的坐标是； 以为圆心，以为半径作弧，交于、，过点作于点，过点作于点，如图2所示， 此时， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 同理可得，四边形为矩形，， 由勾股定理，可得， 即的坐标是，的坐标是； ③作的垂直平分线交于，如图3所示， 此时，的坐标是． 综上所述：点P坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的性质、矩形判定与性质、勾股定理、坐标与图形、等腰三角形的定义和性质等知识，解题关键是注意一定要进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$