2.1.2 圆的一般方程 练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第2课时　圆的一般方程 一、知识梳理 1.当__________________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作 圆的一般方程． 其中圆心为________________，圆的半径为r＝_________________. 2.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是_________________________ 二、课前自测 1.已知圆的方程是x2＋y2－2x－8＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为(　　) A. (－1，0)，9 B. (1，0)，9 C. (－1，0)，3 D. (1，0)，3 2.已知圆C经过O(0，0)，A(4，3)，B(1，－3)三点， 则圆C的方程为(　　) A. x2＋y2－4x－3y＝0 B. x2＋y2－x＋3y＝0 C. x2＋y2－5x－5＝0 D. x2＋y2－7x＋y＝0 3.(多选题)已知方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1 ＝0，若该方程表示圆，则a的值可能为(　　) A. －2 B. 0 C. 1 D. 3 4.若圆x2＋y2－2kx－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则k等于(　　) A. B. － C. 3 D. －3 5.下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长． (1) x2＋y2－4x＝0； (2) 2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0； (3) x2＋y2＋2ax＝0. 三、课后练习 6.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实 数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 7.已知经过点(，1)的直线l平分了圆：x2＋y2－4y＝0的周长，则直线l的倾斜角为(　　) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 8.在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－4＝0与两坐标轴分别交于点A，B，圆C经过点A，B，且圆心在y轴上，则圆C的方程为(　　) A. x2＋y2＋6y－16＝0 B. x2＋y2－6y－16＝0 C. x2＋y2＋8y－9＝0 D. x2＋y2－8y－9＝0 9.已知经过点A(3，1)，B(－7，1)，C(2，4)的圆交y 轴于M，N两点，则MN等于(　　) A. 8 B. 10 C. 4 D. 2 10.(多选题)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的值可能为(　　) A. B. C. D. 1 11.(多选题)关于圆x2＋y2－4x－1＝0，下列说法正确的是(　　) A. 关于点(2，0)对称 B. 关于直线y＝0对称 C. 关于直线x＋3y－2＝0对称 D. 关于直线x－y＋2＝0对称 12.已知方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0(a为实数)表示圆，则a＝ ________． 13.若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________． 14.若方程x2＋2x＋m＝－y2＋4y(m∈R)表示圆，则圆心坐标为________，实数m的取值范围是________． 15.已知一动点M到点A(－4，0)的距离是它到点B(2，0)的距离的2倍，求动点M的轨迹方程． 16.已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，边AC上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0.求： (1) 顶点A，B的坐标； (2) △ABC外接圆的一般方程． 17.在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质： ① 线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆； ② 锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆． 已知曲线W：x2＋y4＝4，A(0，t)，B(2，0)，C(0，)，D(－2，0) 为曲线W上不同的四点．求： (1) 实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程； (2) 四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； (3) 曲线W的小覆盖圆的方程． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　圆的一般方程 一、知识梳理 1.当___D2＋E2－4F＞0______时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程． 其中圆心为________，圆的半径为r＝_______. 2.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是__A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0__ 二、课前自测 1.已知圆的方程是x2＋y2－2x－8＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为(　D　) A. (－1，0)，9 B. (1，0)，9 C. (－1，0)，3 D. (1，0)，3 解析：根据题意，知圆的方程是x2＋y2－2x－8＝0，即(x－1)2＋y2＝9，其圆心坐标为(1，0)，半径r＝3. 2.已知圆C经过O(0，0)，A(4，3)，B(1，－3)三点， 则圆C的方程为(　D　) A. x2＋y2－4x－3y＝0 B. x2＋y2－x＋3y＝0 C. x2＋y2－5x－5＝0 D. x2＋y2－7x＋y＝0 解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为圆C经过O(0，0)，A(4，3)，B(1，－3)三点，所以解得所以圆C的方程为x2＋y2－7x＋y＝0. 3.(多选题)已知方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1 ＝0，若该方程表示圆，则a的值可能为(　AB　) A. －2 B. 0 C. 1 D. 3 解析：因为方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0表示圆，所以(3a)2＋a2－4＞0，解得a＜1.所以满足条件的只有－2与0. 4.若圆x2＋y2－2kx－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则k等于(　B　) A. B. － C. 3 D. －3 解析：由题意，知直线2x－y＋3＝0经过圆心．因为圆心坐标为(k，0)，所以2k＋3＝0，解得k＝－. 5.下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长． (1) x2＋y2－4x＝0； (2) 2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0； (3) x2＋y2＋2ax＝0. 解析：(1) 方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，该方程表示圆，圆心坐标为(2，0)，半径r＝2. (2) 方程可变形为2＋2(y＋1)2＝－，此方程无实数解．故该方程不表示任何图形． (3) 原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.当a＝0时，方程表示点(0，0)，不表示圆；当a≠0时，方程表示以点(－a，0)为圆心、|a|为半径的圆． 三、课后练习 6.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实 数m的取值范围是(　D　) A. B. C. D. 解析：根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)＞0，即1＋4m＞0，解得 m＞－，即实数m的取值范围是. 7.已知经过点(，1)的直线l平分了圆：x2＋y2－4y＝0的周长，则直线l的倾斜角为(　D　) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：由x2＋y2－4y＝0得圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝4，知其圆心为(0，2)．因为直线l平分了圆：x2＋y2－4y＝0的周长，则此直线经过圆的圆心(0，2)，所以其斜率为k＝＝－.所以直线l的倾斜角为150°. 8.在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－4＝0与两坐标轴分别交于点A，B，圆C经过点A，B，且圆心在y轴上，则圆C的方程为(　A　) A. x2＋y2＋6y－16＝0 B. x2＋y2－6y－16＝0 C. x2＋y2＋8y－9＝0 D. x2＋y2－8y－9＝0 解析：因为直线x＋2y－4＝0与两坐标轴分别交于点A(4，0)，B(0，2)，圆C经过点A，B，且圆心在y轴上，线段AB所在直线的斜率为－，中点为(2，1)，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3.所以线段AB的垂直平分线与y轴的交点(0，－3)为所求圆的圆心，半径为＝5.所以圆C的方程为 x2＋(y＋3)2＝25，即 x2＋y2＋6y－16＝0. 9.已知经过点A(3，1)，B(－7，1)，C(2，4)的圆交y 轴于M，N两点，则MN等于(　D　) A. 8 B. 10 C. 4 D. 2 解析：设经过点A(3，1)，B(－7，1)，C(2，4)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有解得所以圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－20＝0.令x＝0，可得 y2－2y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，所以y1＋y2＝2，y1·y2＝－20.所以MN＝＝2. 10.(多选题)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的值可能为(　AB　) A. B. C. D. 1 解析：x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为＋＝－m，则－m＞0，解得m＜.因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m＞0，即m＞0.所以0＜m＜.故选项A，B符合题意． 11.(多选题)关于圆x2＋y2－4x－1＝0，下列说法正确的是(　ABC　) A. 关于点(2，0)对称 B. 关于直线y＝0对称 C. 关于直线x＋3y－2＝0对称 D. 关于直线x－y＋2＝0对称 解析：圆x2＋y2－4x－1＝0，即圆(x－2)2＋y2＝5，它的圆心为(2，0)，半径为，故该圆关于点(2，0)对称，且关于经过点(2，0)的直线对称，故A，B，C正确． 12.已知方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0(a为实数)表示圆，则a＝___－1____． 解析：若方程表示圆，则必有a2＝a＋2，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示圆，满足条件；当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即＋(y＋1)2＝－，不表示圆，不满足条件，故a＝－1. 13.若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为___1 ___． 解析：若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则有a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，化简，得3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.因为a∈，所以符合条件的有a＝0，即方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为1. 14.若方程x2＋2x＋m＝－y2＋4y(m∈R)表示圆，则圆心坐标为___(－1，2)____，实数m的取值范围是___(－∞，5)_____． 解析：因为方程x2＋2x＋m＝－y2＋4y(m∈R)，即 (x＋1)2＋(y－2)2＝5－m表示圆，所以圆心坐标为(－1，2)，且5－m＞0，解得m＜5. 15.已知一动点M到点A(－4，0)的距离是它到点B(2，0)的距离的2倍，求动点M的轨迹方程． 解析：设动点M的坐标为(x，y)，则MA＝2MB，即＝2，整理，得x2＋y2－8x＝0.故所求动点M的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0. 16.已知△ABC的顶点C(2，－8)，直线AB的方程为y＝－2x＋11，边AC上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0.求： (1) 顶点A，B的坐标； (2) △ABC外接圆的一般方程． 解析：(1) 联立可得顶点B的坐标为(7，－3)．因为AC⊥BH，kBH＝－，所以设直线AC的方程为y＝3x＋b，将C(2，－8)代入，得b＝－14.所以直线AC的方程为y＝3x－14.联立可得顶点A的坐标为(5，1)，所以顶点A和B的坐标分别为(5，1)和(7，－3)． (2) 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)三点的坐标分别代入，得解得所以△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0. 17.在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该 平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质： ① 线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆； ② 锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆． 已知曲线W：x2＋y4＝4，A(0，t)，B(2，0)，C(0，)，D(－2，0) 为曲线W上不同的四点．求： (1) 实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程； (2) 四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； (3) 曲线W的小覆盖圆的方程． 解析：(1) 因为点A(0，t)在曲线W：x2＋y4＝4上，所以t4＝4，解得t＝－或t＝ (不合题意，舍去)．所以A(0，－)，B(2，0)，C(0， )．设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以圆的方程为x2＋y2－x－2＝0.因为△ABC是锐角三角形，所以△ABC的最小覆盖圆的方程是x2＋y2－x－2＝0. (2) 因为线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆，所以线段BD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝4.又因为OA＝OC＝＜2，所以点A，C在圆内．所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程是x2＋y2＝4. (3) 因为曲线W：x2＋y4＝4是中心对称图形，设曲线上一点P(a，b)，则OP2＝a2＋b2＝－b4＋b2＋4＝－＋(－≤b≤)，当 b2＝时， OPmax＝，所以曲线W的最小覆盖圆的方程是x2＋y2＝. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$