2.1.1 圆的标准方程 练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

第2章　圆与方程 2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 一、知识梳理 1.圆的定义：平面上到________的距离等于________的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2.确定圆的基本要素是________和________． 3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是____________________． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以________为圆心、半径为r的圆． 二、课前自测 1.圆心为(－1，2)，半径为5的圆的方程为(　　) A. (x－1)2＋(y＋2)2＝5 B. (x＋1)2＋(y－2)2＝5 C. (x－1)2＋(y＋2)2＝25 D. (x＋1)2＋(y－2)2＝25 2.已知点A(1，1)，B(5，3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为(　　) A. (x－2)2＋(y－3)2＝5 B. (x－2)2＋(y－3)2＝1 C. (x－3)2＋(y－2)2＝5 D. (x－3)2＋(y－2)2＝1 3.(多选题)下列说法错误的是(　　) A. 圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5 B. 圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b C. 圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D. 圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为5 4.圆心在y轴上，半径为1，且经过点(1，2)的圆的方程是 __________________． 5.求经过点P(1，1)和坐标原点，且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的 标准方程． 三、课后练习 6.已知圆的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝4，则其圆心和半径分别为(　　) A. (－3，2)，2 B. (3，－2)，2 C. (－3，2)，4 D. (3，－2)，4 7.已知点A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)， 则△ABC外接圆的方程是(　　) A. x2＋(y－3)2＝5 B. (x＋3)2＋y2＝5 C. x2＋(y＋3)2＝5 D. (x－3)2＋y2＝5 8.点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A.点P在圆外 B.点P在圆内 C.点P在圆上 D.不确定 9.圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为(　　) A.(x＋3)2＋(y＋2)2＝4 B.(x＋4)2＋(y－6)2＝4 C.(x－4)2＋(y－6)2＝4 D.(x＋6)2＋(y＋4)2＝4 10.(多选题)关于曲线C：x4＋y2＝1，给出下列四个命题，其中正确的是 (　　) A. 曲线C关于原点对称 B. 曲线C关于直线y＝x对称 C. 曲线C围成的面积大于π D. 曲线C围成的面积小于π 11. 圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是________． 12.已知圆(x＋3)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)与x轴相切，则r＝________． 13.已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝_________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围是________________________． 14.已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在 x轴上，求圆C的标准方程． 15.已知点A(－1，0)，B(3，0)都在圆C上，且圆C的圆心在直线y＝2x上，求圆C的标准方程． 16. 在① 点A(4，a)，B(－2，4)；② 点A(b，6)， B(－2，b)；③ 点A(4，6)，B(c，4)中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知AB的中点坐标是(1，5)，且________．求： (1) 直线AB的方程； (2) 以线段AB为直径的圆的方程． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章　圆与方程 2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 一、知识梳理 1.圆的定义：平面上到___定点___的距离等于__定长___的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2.确定圆的基本要素是__半径____和___圆心____． 3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是___(x－a)2＋(y－b)2＝r2____． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以__原点O__为圆心、半径为r的圆． 二、课前自测 1.圆心为(－1，2)，半径为5的圆的方程为(　D　) A. (x－1)2＋(y＋2)2＝5 B. (x＋1)2＋(y－2)2＝5 C. (x－1)2＋(y＋2)2＝25 D. (x＋1)2＋(y－2)2＝25 解析：根据题意，得所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25. 2.已知点A(1，1)，B(5，3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为(　C　) A. (x－2)2＋(y－3)2＝5 B. (x－2)2＋(y－3)2＝1 C. (x－3)2＋(y－2)2＝5 D. (x－3)2＋(y－2)2＝1 解析：由题意，知圆心为AB的中点(3，2)，直径为＝2，所以半径为.所以所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝5. 3.(多选题)下列说法错误的是(　ABD　) A. 圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5 B. 圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b C. 圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D. 圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为5 解析：对于A，圆(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为(1，2)，半径为，故A错误；对于B，圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)，其圆心为(－2，0)，半径为|b|，故B错误；对于C，圆(x－)2＋(y＋)2＝2，其圆心为(，－)，半径为，故C正确；对于D，圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5，其圆心为(－2，－2)，半径为，故D错误． 4.圆心在y轴上，半径为1，且经过点(1，2)的圆的方程是____x2＋(y－2)2＝1________． 解析：设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1.又点(1，2)在圆上，所以1＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1 5.求经过点P(1，1)和坐标原点，且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程． 解析：方法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则有解得所以圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 方法二(几何法)：由题意，知OP是圆的弦，其垂直平分线的方程为x＋y－1＝0.因为弦的垂直平分线经过圆心，所以联立解得即圆心坐标为(4，－3)，半径为r＝＝5.所以圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 三、课后练习 6.已知圆的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝4，则其圆心和半径分别为(　A　) A. (－3，2)，2 B. (3，－2)，2 C. (－3，2)，4 D. (3，－2)，4 解析：已知圆的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝4，则其圆心为(－3，2)，半径为2. 7.已知点A(－4，2)，B(－4，－2)，C(－2，2)， 则△ABC外接圆的方程是(　B　) A. x2＋(y－3)2＝5 B. (x＋3)2＋y2＝5 C. x2＋(y＋3)2＝5 D. (x－3)2＋y2＝5 解析：由题意，知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，所以外接圆的半径为＝＝，圆心为(－3，0)．所以△ABC外接圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5. 8.点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　B　) A.点P在圆外 B.点P在圆内 C.点P在圆上 D.不确定 解析：因为点P(1，3)到圆心(0，0)的距离为＝＜，所以点P在圆内． 9. 圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为(　C　) A.(x＋3)2＋(y＋2)2＝4 B.(x＋4)2＋(y－6)2＝4 C.(x－4)2＋(y－6)2＝4 D.(x＋6)2＋(y＋4)2＝4 解析：由圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4，可得其圆心为(－2，12)，半径为2.由题意，可得该圆关于直线x－y＋8＝0对称的圆的圆心与点(－2，12)关于该直线对称，半径为2.设所求圆的圆心为(a，b)，则得圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4. 10.(多选题)关于曲线C：x4＋y2＝1，给出下列四个命题，其中正确的是 (　AC　) A. 曲线C关于原点对称 B. 曲线C关于直线y＝x对称 C. 曲线C围成的面积大于π D. 曲线C围成的面积小于π 解析：对于A，将方程x4＋y2＝1中的x换为－x，y换为－y，方程不变，所以曲线C关于原点对称．所以A正确．对于B ，将方程x4＋y2＝1中的x换为y，y换为x，方程变为y4＋x2＝1，与原方程不相同，所以曲线C不关于直线y＝x对称．所以B错误．在曲线C上任取一点P(m，n)，则m4＋n2＝1，所以|m|≤1.所以m4≤m2.所以m2＋n2≥m4＋n2＝1.所以点P(m，n)在单位圆x2＋y2＝1外．所以C正确，D错误． 11. 圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是__5____． 解析：由题意，得圆心坐标为(0，0)，所以圆心到直线的距离为d＝＝5. 12.已知圆(x＋3)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)与x轴相切，则r＝___1____． 解析：根据题意，知圆心为(－3，1)，半径为r，若该圆与x轴相切，则r＝1. 13.已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则a＝__－2或－6__；若点P在圆C外，则实数a的取值范围是_____(－∞，－6)∪(－2，＋∞)__________． 解析：当点P在圆C上时， ＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或－6.当点P在圆C外时， ＋(1－1)2＞1，解得a＜－6或a＞－2.故实数a的取值范围是(－∞，－6)∪(－2，＋∞)． 14.已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在 x轴上，求圆C的标准方程． 解析：由于圆心在x轴上，可设圆心为C(a，0)．因为圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，所以CA＝CB，即(a－5)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，解得a＝2.故圆心为C(2，0)，半径CA＝＝.故圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10. 15.已知点A(－1，0)，B(3，0)都在圆C上，且圆C的圆心在直线y＝2x上，求圆C的标准方程． 解析：由题意，知圆心在线段AB的垂直平分线上，易知线段AB的垂直平分线的方程为x＝1，联立解得所以圆心坐标为(1，2)，半径r＝＝2.所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝8. 16. 在① 点A(4，a)，B(－2，4)；② 点A(b，6)， B(－2，b)；③ 点A(4，6)，B(c，4)中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知AB的中点坐标是(1，5)，且________．求： (1) 直线AB的方程； (2) 以线段AB为直径的圆的方程． 解：若选①，由中点坐标公式，得解得a＝6.所以A(4，6)，B(－2，4)． 若选②，由中点坐标公式，得解得b＝4.所以A(4，6)，B(－2，4)． 若选③，由中点坐标公式，得解得c＝－2.所以A(4，6)，B(－2，4)． (1) 因为点A(4，6)，B(－2，4)，所以直线AB的方程为y－6＝(x－4)，化简，得x－3y＋14＝0. (2) 因为AB＝＝2，所以圆的半径r＝，圆心坐标为(1，5)．所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－5)2＝10. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$