精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区青剑湖实验中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题

2023-2024学年第二学期初二第一次课堂检测 一、选择题（共8小题） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 彩民小明购买10000张彩票，中一等奖．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 3. 为了了解某校八年级1000名学生的身高情况，从中抽查100名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指（ ） A. 1000名学生 B. 被抽取的100名学生 C. 1000名学生的身高 D. 被抽取的100名学生的身高 4. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 6. 如图，四边形为菱形，对角线，交于点，，垂足为．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ） A. 4s B. 3s C. 2s D. 1s 8. 对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（ ） A. 甲的思路对，他的值错 B. 乙的思路错，他的值对 C. 甲和乙的思路都对 D. 甲和乙的值都对 二、填空题（共8小题） 9. 某医院病房护士对一位病人每小时测一次体温，要把这位病人一昼夜体温变化情况用统计图表示出来选用_______________ 统计图比较合适（填“条形”、“扇形”、“折线”）． 10. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___． 11. 如图，两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了间的距离：先在两地外选一点，然后测出的中点，并测量出的长为，由此他就知道了间的距离，则______． 12. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________． 13. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E为的中点，若，等于______． 14. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数 合格的产品数 合格的产品频率 估计这批产品合格的产品的概率为___________(精确到)． 15. 已知平面上四点，，，，直线将四边形分成面积相等的两部分，则的值为_______________． 16. 如图，四边形中，，，，，为射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到，的最小值为___________． 三、解答题（共10小题） 17. 某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、 D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题． （1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为 ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 度； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校有学生3000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？ 18. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 （1）通过以上实验，盒子里红球的数量为__________个． （2）若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则___________． （3）若先从袋子中取出个红球，再放入个一个样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求的值． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）四边形为___________四边形； （3）点（在格点上）为平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点有___________个． 20. 已知：如图，四边形中，，． （1）求证： （2）与的位置关系为： 21. 如图，中，，，，将绕点按顺时针旋转，得到，求的长度． 22. 如图，在中，点分别在上，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，若，且，求四边形的周长． 23. 如图，在正方形中，延长至点E，使得，连接，，交于点F． （1）试探究的形状； （2）求的度数． 24. 利用中位线定理，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，， ． 求证： ． 25. 在矩形纸片中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，使点落在点处如图①．设与相交于点，求的长； （2）将矩形折叠，使点落在点处，折痕为，如图②，若点恰好在边上，连接，求的长度； （3）将矩形纸片折叠，使点与重合如图③，求折痕的长． 26. 平面直角坐标系中点，；记，两点的横向距离为；纵向距离为，，两点的相对距离记为． （1）已知与，则________． （2）已知与，且，求满足条件的所有点围成的图形面积为____________． （3）已知点在上，，直接写出的最小值． （4）已知点，，且，求满足条件的所有点围成的图形长为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期初二第一次课堂检测 一、选择题（共8小题） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵A中的图形旋转180°后不能与原图形重合， ∴A中的图象不是中心对称图形， ∴选项A不正确； ∵B中的图形旋转180°后能与原图形重合， ∴B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形， ∴选项B正确； ∵C中的图形旋转180°后能与原图形重合， ∴C中的图形是中心对称图形，也是轴对称图形， ∴选项C不正确； ∵D中的图形旋转180°后不能与原图形重合， ∴D中的图形不是中心对称图形， ∴选项D不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 2. 彩民小明购买10000张彩票，中一等奖．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定性事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：彩民小明购买10000张彩票，中一等奖，这个事件是随机事件， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了随机事件，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的特点是解题的关键． 3. 为了了解某校八年级1000名学生的身高情况，从中抽查100名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指（ ） A. 1000名学生 B. 被抽取的100名学生 C. 1000名学生的身高 D. 被抽取的100名学生的身高 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：为了了解某校八年级1000名学生的身高情况，从中抽查了100名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指1000名学生的身高情况． 故选：C． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 4. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等． 5. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，四边形为菱形，对角线，交于点，，垂足为．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．由菱形的性质和勾股定理得，再由，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：C． 7. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ） A. 4s B. 3s C. 2s D. 1s 【答案】B 【解析】 【详解】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t， 根据题意得到12-3t=t， 解得：t=3， 故选B． 【点睛】本题考查一元一次方程及平行四边形的判定，难度不大． 8. 对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（ ） A. 甲的思路对，他的值错 B. 乙的思路错，他的值对 C. 甲和乙的思路都对 D. 甲和乙的值都对 【答案】A 【解析】 【分析】据矩形长为宽为，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值． 【详解】解：矩形长为宽为， 矩形的对角线长为：， 矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放， 该正方形的边长不小于， ， 该正方形边长的最小正数为． 故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 二、填空题（共8小题） 9. 某医院病房护士对一位病人每小时测一次体温，要把这位病人一昼夜体温变化情况用统计图表示出来选用_______________ 统计图比较合适（填“条形”、“扇形”、“折线”）． 【答案】折线 【解析】 【分析】根据各种统计图的特点解答即可． 【详解】解：根据统计图的特点可知：医院病房护士要统计一位病人一昼夜的体温情况，应选用折线统计图比较合适． 故答案为：折线． 【点睛】本题主要考查了条形统计图、折线统计图、扇形统计图的特点，条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系． 10. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是___． 【答案】AB=DC（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】∵在四边形ABCD中，AB∥CD， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：AB=DC（答案不唯一）． 还可添加的条件AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 11. 如图，两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了间的距离：先在两地外选一点，然后测出的中点，并测量出的长为，由此他就知道了间的距离，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线的判定和性质，掌握中位线的性质是解题的关键． 根据点分别是线段的中点，可得，由此即可求解． 【详解】解：已知点分别是线段的中点， ∴线段是的中位线， ∴，且测量出的长为， ∴， 故答案为：． 12. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖， ∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=， ∴小球停在黑色区域的概率是； 故答案为： 【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比． 13. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E为的中点，若，等于______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条边长是解题关键． 由菱形的性质可证得为直角三角形，由E为的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得．再由菱形的性质即可求得长度． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴为直角三角形． ∵，且点E为线段的中点， ∴． ∴． 故答案为：10． 14. 某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据： 抽取的产品数 合格的产品数 合格的产品频率 估计这批产品合格的产品的概率为___________(精确到)． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：由表可知合格的产品频率都在左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为， 故答案为：． 15. 已知平面上四点，，，，直线将四边形分成面积相等的两部分，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】由ABCD四点坐标可得，四边形ABCD为矩形 所以，能将矩形ABCD分成面积相等的两部分的直线必须经过矩形对角线的交点 即线段AC和线段BD的交点（暂设它为E）， 因为矩形的对角线互相平分， 所以E点为BD中点， 在Rt三角形ABD中， 根据中位线定理，得E（5，3） 把E（5，3）代入函数，得 3=5-3+2 解得=0.5 16. 如图，四边形中，，，，，为射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到，的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．将绕点顺时针旋转至，连接，可证得，从而得出，可得出，，从而得出，从而，故当点在处时，最小，从而，从而得出的最小值． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在处时，最小， ， 的最小值为：． 故答案为：． 三、解答题（共10小题） 17. 某学校开展课外球类特色的体育活动，决定开设A：羽毛球、B：篮球、C：乒乓球、 D：足球四种球类项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（每人只选取一种），随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘成如甲、乙所示的统计图，请你结合图中信息解答下列问题． （1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为 ，其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是 度； （2）请把条形统计图补充完整； （3）若该校有学生3000人，请根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是多少？ 【答案】（1）40%，144； （2）作图如下： （3）600人 【解析】 【分析】（1）根据各项目百分比之和为1可得，再用A的百分比乘以360度可得答案； 【详解】（2）先求出总人数，再根据A项目所占百分比求得其人数，即可补全条形图； （3）用总人数乘以D项目所占百分比可得答案． 解：（1）样本中最喜欢A项目的人数所占的百分比为1-30%-10%-20%=40%， 其所在扇形统计图中对应的圆心角度数是360°×40%=144度， 故答案为40%，144； （2）本次抽查的学生人数是：15÷30%=50（人）， ∴喜欢A：篮球的人数是：50-15-5-10=20（人）， 作图略； （3）3000×20%=600人， 答：根据样本估计全校最喜欢足球的学生人数约是600人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 18. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 （1）通过以上实验，盒子里红球的数量为__________个． （2）若先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则___________． （3）若先从袋子中取出个红球，再放入个一个样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求的值． 【答案】（1）6 （2）6 （3）1 【解析】 【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3，从而得出摸到红球的概率，再用总球的个数乘以红球的概率即可得出盒子里红球的数量； （2）根据盒子里有6个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出； （3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.3， 盒子里红球的数量为：（个． 故答案为：6； 【小问2详解】 盒子里有6个红球，“摸出黑球”为必然事件， ． 故答案为：6； 【小问3详解】 由（1）知红球6个，黑球14个，根据题意得： ， 解得：， 则的值为1． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）四边形为___________四边形； （3）点（在格点上）为平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点有___________个． 【答案】（1）见解析 （2）平行 （3）3 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查作图旋转变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出，，的对应点，，即可． （2）根据平行四边形的判定即为判定． （3）画出符合条件的平行四边形即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：连接，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行． 【小问3详解】 解：如图所示，满足条件的点的坐标为，，,共有3个． 故答案为：3. 20. 已知：如图，四边形中，，． （1）求证： （2）与的位置关系为： 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由可得，然后再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （2）先证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：如图：连接 ∵ ∴ 在和中 、、 ∴ ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵、 ∴四边形是平行四边形 ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，掌握相关判定与性质定理成为解答本题的关键． 21. 如图，中，，，，将绕点按顺时针旋转，得到，求的长度． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，证明是等边三角形是解题的关键．先根据勾股定理求出，由旋转的性质可得，，由此可证明是等边三角形，则． 【详解】解：中，，，， ， 将绕点按顺时针旋转，得到， ，， 是等边三角形， ． 22. 如图，在中，点分别在上，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，若，且，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2）20 【解析】 【分析】（1）先由ASA证明△AOF≌△COE，得出FO=EO，再由AO=CO，即可得出结论； （2）根据平行四边形的对角线互相平分确定OE=3，OA=4，然后求得AE=5，从而求得答案． 【详解】解：（1）证明：连接AE，CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠OAF=∠OCE， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA） ∴FO=EO， 又∵AO=CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=EC； （2）． ∴OA=OC=4，OE=OF=3， ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形， ∴AE=EC=CF=FA， ； 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 23. 如图，在正方形中，延长至点E，使得，连接，，交于点F． （1）试探究的形状； （2）求的度数． 【答案】（1） 解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，进而得，即可解决问题； （2）利用正方形的性质及三角形外角定义求出，然后根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 利用中位线定理，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，， ． 求证： ． 【答案】是的中点，．证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理．取的中点，连接，从而可得是的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，从而可得是的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，即可解答． 【详解】已知：如图，在中，，是的中点． 求证：． 证明：如图，取的中点，连接， 点是的中点， 是的中位线， ∴， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 故答案为：是的中点，． 25. 在矩形纸片中，，． （1）将矩形纸片沿折叠，使点落在点处如图①．设与相交于点，求的长； （2）将矩形折叠，使点落在点处，折痕为，如图②，若点恰好在边上，连接，求的长度； （3）将矩形纸片折叠，使点与重合如图③，求折痕的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，设，表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）由折叠得，，再由勾股定理得，可得，最后由勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再连接、，根据翻折的性质可得，，根据两直线平行，内错角相等求出，然后求出，根据等角对等边可得，从而求出四边形是菱形，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠得，， 矩形的对边， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； 【小问2详解】 解：由折叠得，， 在中，， ， ， 在中，， ； 【小问3详解】 解：由折叠得，，设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 连接、， 由翻折的性质可得，，， 矩形的边， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， 即， 解得． 26. 平面直角坐标系中点，；记，两点的横向距离为；纵向距离为，，两点的相对距离记为． （1）已知与，则________． （2）已知与，且，求满足条件的所有点围成的图形面积为____________． （3）已知点在上，，直接写出的最小值． （4）已知点，，且，求满足条件的所有点围成的图形长为__________． 【答案】（1）4 （2）8 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据定义代入数据计算即可； （2）根据定义，分情况列出关系式，画出示意图，求出交点坐标，即可解答； （3）设，则，根据x的取值范围分情况讨论即可； （4）先求出点W所在直线的解析式，结合（2）（3）方法求出点w的取值范围，利用两点间距离公式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ； 【小问2详解】 解：与，且， ， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 联立，解得， 联立，解得， 联立，解得， 联立，解得， 如图，即为所有点围成的图形， 所有点围成的图形面积为； 【小问3详解】 解：设， ， 则， 当时，解得：， 即时，， ， 的值随x的增大而减小， 此时，当时，有最小值为； 当时，解得：， 即时，， ， 的值随x的增大而减小， 此时，当时，有最小值为； 当时，解得：， 即时，， ， 的值随x的增大而增大， 此时，当时，有最小值为； 当时，解得：，无解； 即不存在该种情况； 综上，的最小值为； 【小问4详解】 解：， 令，则， 令，则， 点W所在直线的解析式过点， 则，解得：， 点W所在直线的解析式为， ，且， ， 当，时， 解得：， 则，即， ，即， ， ； 当，时， 解得：， 则，即， ， ， ； 当，时， 解得：， 则，即， ， ， ； 当，时， 解得：， 则，即， ， ， ， ； 综上，当时，满足， 满足条件的所有点围成的图形为点的长为点与点的距离， 即． 【点睛】本题考查新定义问题，一次函数与几何图形的应用，两点间的距离公式，一元一次不等式组的应用，直角坐标系中点的坐标．熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $