精品解析：北京市房山区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022-2023学年北京市房山区八年级（下）期中 数学试卷 一、选择题（共24分，每题3分） 1. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列多边形中，内角和等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 4. 在中，，则的度数是（　　） A B. C. D. 5. 下列函数y随x的增大而减小的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，相交于点，请你添加一个条件，使是矩形，以下条件符合的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若， ，则菱形的面积为（　　） A. B. 4 C. D. 8 8. 如图是天安门广场周围的景点分布示意图．在图中，分别以正东，正北方向为x轴y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示王府井的点的坐标为； ②当表示天安门的点的坐标为，表示人民大会堂的点的坐标为时，表示故宫的点的坐标为； ③当表示电报大楼点的坐标为，表示王府井的点的坐标为时，表示前门的点的坐标为； ④当表示美术馆的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示中国国家博物馆的点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 四边形外角和等于_______. 10. 函数中，自变量的取值范围是_______. 11. 在平面直角坐标系中，点P(2，)关于x轴对称的点的坐标是____． 12. 某函数的图象经过点，则这个函数的表达式可以是_______．（一个即可） 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像相交于点，那么关于，的二元一次方程组的解是_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为______． 15. 物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系，下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． x 0 1 5 y 15 17 25 （1）写出y与x的函数表达式：______； （2）当弹簧长度为时，则所挂物体质量为______． 16. 如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形 点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，则_____，_______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 三、解答题（共60分，第17-18题，每题5分，第19-24题，每题6分，第25-26题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）在平面直角坐标系内画出函数图象． 18. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E、F在上，，求证：四边形是平行四边形． 19. 一次函数的图象经过点和两点，求这个一次函数的表达式． 20. 已知：．求作：平行四边形． 作法： ①以点C为圆心，长为半径作弧； ②以点A为圆心，长为半径作弧； ③两弧在上方相交于点D，连接． 所以四边形即为所求平行四边形． （1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵ ， ， ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． 21. 一次函数图象经过点，且与x轴相交于点B． （1）当时，求y的值； （2）点C在y轴上，若的面积为6，则点C的坐标为 ． 22. 6．如图．是矩形的一条对角线，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象和轴的交点的纵坐标为．和轴的交点的横坐标为．． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围 24. 如图，在四边形中，，，平分．对角线，相交于点O，过点D作于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 25. A，B两地相距，甲、乙两人开车从A地出发前往B地，其中甲先出发30分钟，乙再出发，如图是甲、乙两人离开A地的距离随甲离开A地的时间变化的图象．请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲的速度为 ； （2）当时，请直接写出与x的函数表达式； （3）求乙出发后多少小时追上甲？ 26. 在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“友好平行点”．已知点，． （1）在点，，中，线段的“友好平行点”是 ． （2）若点的坐标为，则点的坐标为 （用含的代数式表示）； （3）若点在第四象限，且点是线段的“友好平行点”． ①求点横坐标的取值范围； ②请直接写出线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年北京市房山区八年级（下）期中 数学试卷 一、选择题（共24分，每题3分） 1. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据第一象限点的坐标符号特征即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，， ∴点在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限，；第二象限，；第三象限，；第四象限，是解题的关键． 2. 下列多边形中，内角和等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，根据n边形的内角和为分别计算各选项中多边形的内角和，即可解答． 【详解】解：A、它是三角形，内角和为， B、它是四边形，内角和为， C、它是五边形，内角和为， D、它是六边形，内角和为． 故选：C 3. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可． 【详解】解：2与π为常量，C与r为变量， 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键． 4. 在中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的对角相等，即可得出的度数．本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质，掌握平行四边形的对角相等的性质是解答本题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 故选：C． 5. 下列函数y随x的增大而减小的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴只有A选项符合题意， 故选：A． 6. 如图，在中，，相交于点，请你添加一个条件，使是矩形，以下条件符合的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，但四边形不一定是矩形，可判断A不符合题意；由四边形是平行四边形，，可证明四边形是矩形，可判断B符合题意；由四边形是平行四边形，，可证明四边形是菱形，但不一定是矩形，可判断C不符合题意；由四边形是平行四边形，，可证明四边形是菱形，但不一定是矩形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定定理、菱形的判定定理等知识，正确理解矩形与菱形之间的联系与区别是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，，相交于点， ，但四边形不一定是矩形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 故B符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故C不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故D不符合题意， 故选：B． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若， ，则菱形的面积为（　　） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质．根据菱形的性质，可得，，从而得到，再由勾股定理可得，进而得到，然后根据菱形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故选：A 8. 如图是天安门广场周围景点分布示意图．在图中，分别以正东，正北方向为x轴y轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下四个结论： ①当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示王府井的点的坐标为； ②当表示天安门的点的坐标为，表示人民大会堂的点的坐标为时，表示故宫的点的坐标为； ③当表示电报大楼的点的坐标为，表示王府井的点的坐标为时，表示前门的点的坐标为； ④当表示美术馆的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示中国国家博物馆的点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，先根据题意确定直角坐标系，再根据平面直角坐标系进行求解即可． 【详解】解：①当表示天安门的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示王府井的点的坐标为符合题意； ②当表示天安门的点的坐标为，表示人民大会堂的点的坐标为时，表示故宫的点的坐标为；结论正确； ③当表示电报大楼的点的坐标为，表示王府井的点的坐标为时，表示前门的点的坐标为；结论正确； ④当表示美术馆的点的坐标为，表示故宫的点的坐标为时，表示中国国家博物馆的点的坐标为，不符合题意， 所以①②③正确． 故选：C． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 四边形的外角和等于_______. 【答案】360°． 【解析】 【详解】解：n（n≥3）边形的外角和都等于360°． 10. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 11. 在平面直角坐标系中，点P(2，)关于x轴对称的点的坐标是____． 【答案】(，5) 【解析】 【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出结论． 【详解】解：点P（2，-5）关于x轴对称的点是：（2，5）． 故答案为：（2，5）. 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）． 12. 某函数的图象经过点，则这个函数的表达式可以是_______．（一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式．设该函数表达式为，把点代入，即可求解． 【详解】解：设该函数表达式为， 把点代入得：， ∴， ∴该函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像相交于点，那么关于，的二元一次方程组的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)．利用两个相应的一次函数图象的交点坐标就是方程组的解，即可求解． 【详解】解：函数与的图像相交于点， 关于，的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质，由勾股定理求得，再根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：连接、， ∵点B的坐标为， ∴， ∵四边形矩形， ∴， 故答案为：． 15. 物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系，下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系． x 0 1 5 y 15 17 25 （1）写出y与x函数表达式：______； （2）当弹簧长度为时，则所挂物体质量为______． 【答案】 ①. ②. 3.5 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，以及求一次函数自变量． （1）把点代入，即可求出k的值． （2）把，代入，即可求出x的值． 【详解】解：（1）由表格可得，点都在函数的图象上， ∴， 解得， ∴y与x的函数表达式为， 故答案为：； （2）当时， 即， 解得：， 故答案为：3.5． 16. 如图，直线与y轴交于，按如图方式作正方形 点在直线上，点在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，则_____，_______（用含n的代数式表示，n为正整数）． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键． 设直线与x轴交于H，求出，得到，则直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出第n个正方形的边长为，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：设直线与x轴交于H， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴直线与x轴的夹角为， ∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形， ∵，即第一个正方形的边长为2， ∴， ∴，即第二个正方形的边长4， 同理可得，即第三个正方形的边长为8， …， ∴可知第n个正方形的边长为， ∴， ， ， …， 故答案为：2；． 三、解答题（共60分，第17-18题，每题5分，第19-24题，每题6分，第25-26题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知一次函数的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）直接写出A，B两点的坐标； （2）在平面直角坐标系内画出函数的图象． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）令求出的值，再令求出的值即可得出、两点的坐标； （2）利用两点法画出函数图象即可． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【小问1详解】 解：令，则， 令，则，， ，． 【小问2详解】 解：一次函数的图象如图： 18. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E、F在上，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，由平行四边形的性质得，，由线段的和差得，即可得证；掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即：， 四边形是平行四边形． 19. 一次函数的图象经过点和两点，求这个一次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，设这个一次函数的表达式为，把和代入，即可求解；掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设这个一次函数的表达式为，把和代入得： ， 解得：， 这个一次函数的表达式为． 20. 已知：．求作：平行四边形． 作法： ①以点C为圆心，长为半径作弧； ②以点A为圆心，长为半径作弧； ③两弧在上方相交于点D，连接． 所以四边形即为所求平行四边形． （1）使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵ ， ， ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据作图步骤即可作出图形； （2）根据平行四边形的判定解决问题即可． 【小问1详解】 如图所示． 【小问2详解】 ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：；．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 21. 一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B． （1）当时，求y的值； （2）点C在y轴上，若的面积为6，则点C的坐标为 ． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质： （1）把代入求出b的值，再将代入解析式即可； （2）先求出点B的坐标，根据三角形的面积公式求得的值，结合点A的坐标即可得出点C的坐标． 【小问1详解】 解：把代入，得， ． 当时，． 【小问2详解】 解：令， 解得， ． 又的面积为6， ， 解得． ， ， 解得或， ∴点C的坐标为或． 故答案为：或． 22. 6．如图．是矩形的一条对角线，过点作的平行线与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积 【答案】（1）见解析 （2）18 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，可得； （2）由勾股定理而且的长，可求矩形的面积，即可求解． 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， 又， 四边形是平行四边形， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ， 四边形， 四边形的面积．． 23. 在平面直角坐标系中，函数的图象和轴的交点的纵坐标为．和轴的交点的横坐标为．． （1）求该函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得该函数的表达式为； （2）由，知，又，可得，即可解得的取值范围是． 本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 【小问1详解】 解：根据题意，把，代入得： ， 解得， 该函数的表达式为； 小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围是． 24. 如图，在四边形中，，，平分．对角线，相交于点O，过点D作于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及性质， 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 以及平行四边形的判定，勾股定理等知识， 掌握这些性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得出，由角平分线的定义可得出，等量代换可得出，由等角对等边即可得出，等量代换可得出，即可得出四边形是平行四边形，再结合，即可得出四边形是菱形． （2）由菱形的性质可得出，，，有勾股定理可得出， 即可得出，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 由（1）可知，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为1． 25. A，B两地相距，甲、乙两人开车从A地出发前往B地，其中甲先出发30分钟，乙再出发，如图是甲、乙两人离开A地的距离随甲离开A地的时间变化的图象．请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲的速度为 ； （2）当时，请直接写出与x的函数表达式； （3）求乙出发后多少小时追上甲？ 【答案】（1）60 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，数形结合和正确求出一次函数解析式是解题的关键． （1）根据路程除以时间即可求出速度； （2）分和两种情况分别利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）利用待定系数法求出当时，与x的函数表达式是，根据路程相等得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图象可得， 甲的速度为：， 故答案为：60； 小问2详解】 设当时，与x的函数表达式是， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当时，与x的函数表达式是； 设当时，与x的函数表达式是， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当时，与x的函数表达式是； 由上可得，； 【小问3详解】 设当时，与x的函数表达式是， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当时，与x的函数表达式是， 令， 解得， （小时）， 即乙出发后小时追上甲． 26. 在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“友好平行点”．已知点，． （1）在点，，中，线段的“友好平行点”是 ． （2）若点的坐标为，则点的坐标为 （用含的代数式表示）； （3）若点在第四象限，且点是线段的“友好平行点”． ①求点横坐标的取值范围； ②请直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）设点，点，根据题意可得的中点即为的中点，由中点坐标公式可得、的关系式，即可求解； （2）由（1）知，点的坐标为，即可求解； （3）①根据题意可得且，即可求解；②由点、的坐标得：，得到，当时，，当时，，即可求解． 【小问1详解】 解：设点，点， 四边形为平行四边形， 的中点即为的中点， 由中点坐标公式得：， 解得：， 则， 故点、符合上述条件， 点、是线段的“友好平行点”， 故答案为：、； 【小问2详解】 由（1）知，点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 ①点在第四象限，且点是线段的“友好平行点”， 且， 解得：， 点横坐标的取值范围是：； ②由点、的坐标得：， 故， 当时，，当时，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$