精品解析：河北省石家庄市第二十八中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题

2022-2023学年石家庄二十八中七年级（下）期中数学试卷 一、选择题 1. 下面的各组图案中，不能由其中一个经过平移后得到另一个的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移变换的定义判断即可． 【详解】解：A、能由其中一个经平移后得到另一个，故此选项不合题意； B、能由其中一个经平移后得到另一个，故此选项不合题意； C、不能由其中一个经平移后得到另一个，故此选项符合题意； D、能由其中一个经平移后得到另一个，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用平移设计图案，关键是理解平移定义． 2. 在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二元一次方程组的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、B、D、符合二元一次方程组的定义； C中的第二个方程是分式方程，故C错误． 故选C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，熟知二元一次方程组必须满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程是解题的关键． 3. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果两个角相等，那么这两个角都为 D. 同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用平方的意义，绝对值的定义、直角的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、如果a=-2，那么a2=4，正确，是真命题，符合题意； B、如果|a|=a，那么a≥0，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、如果两个角相等，那么这两个角不一定都为90°，故原命题错误，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：A． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方的意义，绝对值的定义、直角的定义及平行线的性质． 4. 下列运算中，计算结果正确的是（　　） A. a4•a＝a4 B. a6÷a3＝a2 C. (a3)2＝a5 D. (ab)3＝a3b3 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方公式进行计算即可做出判断． 【详解】解：∵； ； ； 故A、B、C选项错误； 由于D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方等公式的理解与应用，解决本题的关键是牢记公式，本题较基础，考查了学生的基本功． 5. 现用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长分别是和，那么第三根的长不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，设第三根的长是，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，进而即可判断求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三根的长是， 则， ∴， ∴第三根的长不可能是． 故选：． 6. 下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式． 平方差公式适用于形如的乘法，需满足两项中一项相同，另一项互为相反数，据此作答即可． 【详解】解：选项A：，两括号均为，属于完全平方式，不符合平方差公式． 选项B：，可整理为，其中相同，与互为相反数，符合平方差公式． 选项C：，可化为，属于完全平方式，不符合平方差公式． 选项D：，两项均无相同或相反数关系，无法应用平方差公式． 故选：B． 7. 代入法解方程组时，代入正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据代入消元的方法，可直接将方程组中第一个方程代入第二个中，消去y即可． 【详解】解：， 将①代入②得：， 故选：B． 【点睛】本题考查代入消元法解二元一次方程组，理解代入消元法的基本方法是解题关键． 8. 下列四个图形中，与互为内错角的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了内错角，熟练掌握内错角的定义是解题的关键．根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角逐一判断即可． 【详解】解：A．与不是内错角，不符合题意，选项错误； B．与不是内错角，不符合题意，选项错误； C．与是内错角，符合题意，选项正确； D．与不是内错角，不符合题意，选项错误， 故选：C． 9. 在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ） A. 过作∥ B. 延长到，过作 C. 作于点 D. 过上一点作， 【答案】C 【解析】 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 10. 一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据平角和直角定义，得方程x+y=90； 根据∠1比∠2的度数大50°，得方程x=y+50． 可列方程组为， 故选C． 【点睛】考点：1．由实际问题抽象出二元一次方程组；2．余角和补角． 11. 如图，下列条件①；②；③；④．其中能判定的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定逐个分析即可得． 【详解】解：①能判定； ②不能判定； ③能判定； ④能判定； 综上，能判定的有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 12. 若的积中不含x的二次项和一次项，则a和b的值（ ） A. a＝0；b＝2 B. a＝3；b＝9 C. a＝－1；b＝2 D. a＝2；b＝4 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多项式的乘法法则将乘开，并合并关于的同类项，然后x的二次项和一次项的系数等于0求解即可． 【详解】解： ＝x3+ax2+bx-3x2-3ax-3b = x3+(a-3)x2+(b-3a)x-3b， ∵积中不含x的二次项和一次项， ∴a-3=0，b-3a=0， ∴a=3，b=9， 故选B． 【点睛】本题考查了利用多项式的不含问题求字母的值，先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程求解即可． 13. 已知一个甲种病毒的质量为千克，一个乙种病毒的质量为千克．若一个甲种病毒和一个乙种病毒的质量之和为千克，则用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据有理数的乘法与加法法则求出的值，再根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 14. 要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案Ⅰ和Ⅱ的结果是否等于夹角，即可判断正误 【详解】方案Ⅰ：如下图，即为所要测量的角 ∵ ∴ ∴ 故方案Ⅰ可行 方案Ⅱ：如下图，即为所要测量的角 在中： 则： 故方案Ⅱ可行 故选：C 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明 15. 已知有若干片相同的拼图，其形状如图1所示．当4片拼图紧密拼成一列时，总长度为23cm，如图2所示；当10片拼图紧密拼成一列时，总长度为56cm，如图3所示，则图1中的拼图长度为（ ） A. 5.5cm B. 5.6cm C. 5.75cm D. 6.5cm 【答案】D 【解析】 【分析】设一个拼图中去掉半圆的宽度为xcm,半圆的半径长为ycm，根据等量关系4片拼图紧密拼长度=23cm，10片拼图紧密长度为56cm，列方程组得，解方程组即可． 【详解】解：设图一中一个拼图中去掉半圆的宽度为xcm,半圆的半径长为ycm， 根据题意列方程组得， ②-①得， 解得， 把代入①得， 所以， ∴x+y=5.5+1=6.5cm． 故答案为：6.5． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，掌握二元一次方程组的实际应用的方法与步骤，抓住等量关系4个拼图中去掉半圆的宽度+半径=23cm，10片拼图中去掉半圆的宽度+半径=56cm，列方程组是解题关键． 16. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，利用如图所示的“三角形”解释二项式的展开式的各项系数，此“三角形”称为“杨辉三角”.如其展开式的系数从左起依次是，，，，请根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形中的规律即可求出的展开从左起第四项的系数. 【详解】根据规律可得： 的从左起第四项系数为4=3+1； 的从左起第四项系数为10=6+4； 的从左起第四项系数为20=10+10； 的从左起第四项系数为35=15+20； ∴的从左起第四项系数为21+35=56； 故选：B. 【点睛】本题主要考查了代数式中的规律问题，正确找出相关规律是解题关键. 二、填空题 17. 若，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，解一元一次方程．原式先化为，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 18. 如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使，则图中∠D应___（填“增加”或“减少”）___度． 【答案】 ①. 增加 ②. 20 【解析】 【分析】延长EF交BD于H，利用“8”字形求出∠EHC，利用外角的性质得到∠EFD=∠D+∠DHF，由此求出∠D的度数，进而得到答案． 【详解】解：延长EF交BD于H， ∵∠A+∠B=∠E+∠EHC， ∴∠EHC=， ∴， ∵∠EFD=∠D+∠DHF， ∴∠D=∠EFD-∠DHF=， ∵， ∴∠D的度数应增加，增加， 故答案为：增加，20． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形各角的关系是解题的关键． 19. 我们定义：三角形，五角星； （1）＝_______； （2）若，则＝_______． 【答案】 ①. 27 ②. 32 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照规定的运算顺序进行计算即可； （2）先根已知条件和规定的运算得到，再利用规定的运算得到算式利用同底数幂的乘法和幂的乘方变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得：， 故答案为：27； （2）∵＝4， ∴， ∴， ∴ 故答案为：32． 三、解答题 20. 计算： （1）解方程组：； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）1 （4） 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，负整数指数幂、零次幂，平方差公式． （1）利用加减消元法求解即可； （2）根据负整数指数幂、零次幂、有理数的乘方运算法则计算即可求解； （3）利用平方差公式简便运算即可求解； （4）利用平方差公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ，得， 解得， 把代入②，得 ， 解得， ∴该方程组的解为； 【小问2详解】 解：； =； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 21. 已知多项式． （1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程． 在标出①②③的几项中，出现错误的是 ．请写出正确的解答过程； （2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值”小明给出的值为4，请你求出此时A的值． 【答案】（1）①③，见解析 （2）16 【解析】 【分析】（1）观察小明的作业，发现完全平方公式以及去括号时出错，修改即可； （2）由给出的值求出x2+2x的值，A结果化简后代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：①③； 正确解答过程为： 【小问2详解】 ∵x2+2x+1=4， ∴x2+2x=3， 则A=3+13=16． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键． 22. 已知：如图，，求证：． 证明：延长交 于点F， 则 ， 又∵， ∴ ， ∴（ 相等，两直线平行）． 【答案】；；；内错角 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的判定．根据三角形的外角的性质，平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”填空即可求解． 【详解】证明：延长交于点F， 则， 又∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；内错角． 23. 如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， （1）①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； （2）在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】（1）①； ②，证明如下： 证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和 由格线平行可得 ∵ ∴． （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．难点是作辅助线，第（2）要分类讨论，不要出现遗漏情况． （1）①先标出和，然后再根据平行的性质可得，然后再利用角的和差解答即可； ②如图：过点C作一条直线平行于格线，标出和 ，再根据平行的性质可得，然后再利用角和差解答即可； （2）分两种情况：当射线在的内部，当射线在的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：①如图1：标出和， 由格线平行，利用平行的性质可得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：； ②略． 【小问2详解】 解：设与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为， 当射线在的内部，如图： 在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出和 由格线平行可得， ∵ ∴即， ∴ 即 当射线在的外部，如图： ∵ ∴ 由（1）中②知， ∴ 综上所述：或． 24. 根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高______cm，放入一个大球水面升高______cm； （2）如果要使水面上升到55cm，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】（1）2，3 （2）应放入大球0个，小球12个，或放入大球2个，小球9个，或放入大球4个，小球6个，或放入大球6个，小球3个，或放入大球8个，小球0个 【解析】 【分析】（1）水面升高除以球的个数即可求解； （2）可设应放入大球x个，小球y个，根据要使水面上升到68cm，列出方程，再根据整数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：（37-31）÷3 =6÷3 =2（cm）， （37-31）÷2 =6÷2 =3（cm）， 答：放入一个小球水面升高 2cm，放入一个大球水面升高 3cm； 故答案为：2，3． 【小问2详解】 解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有 3x+2y=55-31，即3x+2y=24， ∵x，y都是整数， ∴x=0，y=12； x=2，y=9； x=4，y=6； x=6，y=3； x=8，y=0． 答：应放入大球0个，小球12个，或放入大球2个，小球9个，或放入大球4个，小球6个，或放入大球6个，小球3个，或放入大球8个，小球0个． 【点睛】本题考查了二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程的解法，解答时理解图的含义是解答本题的关键． 25. 两个边长分别为和的正方形按图1放置，其未叠合部分（阴影）面积记作，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形，如图2所示，两个小正方形叠合部分（阴影）面积记作． （1）用含，的代数式分别表示，； （2）若，，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意及图形可直接进行求解； （2）由（1）可得，然后根据完全平方公式可进行求解． 【详解】解：（1）由题意及图形可得： ，； （2）由（1）可得：，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查几何背景下的乘法公式，熟练掌握利用乘法公式进行求解问题． 26. 将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N． 【发现】 （1）如图1，若点A在内，当时，则 ； （2）如图2，若点A在内，当时， ； 【探究】 若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由； 【应用】 如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数； 【拓展】 如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ． 【答案】 发现：（1）；（2）， 探究：，理由： ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， 应用：； 拓展： 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，正确识图是解本题的关键． （1）先判断出，进而得出，即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； 探究：同（1）的方法即可得出结论； 应用：由（探究）知，，进而求出，即可求出，最后用平角的定义即可得出结论； 拓展：首先利用角的关系推导出，结合，得到，进而得解． 【详解】发现：（1）解：∵是直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是直角三角形， ∴， ∴，在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：略 应用：由（探究）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 拓展：∵，，，， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年石家庄二十八中七年级（下）期中数学试卷 一、选择题 1. 下面的各组图案中，不能由其中一个经过平移后得到另一个的是（ ）． A. B. C. D. 2. 在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）. A. B. C. D. 3. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果两个角相等，那么这两个角都为 D. 同位角相等 4. 下列运算中，计算结果正确的是（　　） A. a4•a＝a4 B. a6÷a3＝a2 C. (a3)2＝a5 D. (ab)3＝a3b3 5. 现用三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长分别是和，那么第三根的长不可能是（　　） A. B. C. D. 6. 下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 7. 代入法解方程组时，代入正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列四个图形中，与互为内错角的是（　　） A. B. C. D. 9. 在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ） A. 过作∥ B. 延长到，过作 C. 作于点 D. 过上一点作， 10. 一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，下列条件①；②；③；④．其中能判定的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 若的积中不含x的二次项和一次项，则a和b的值（ ） A. a＝0；b＝2 B. a＝3；b＝9 C. a＝－1；b＝2 D. a＝2；b＝4 13. 已知一个甲种病毒的质量为千克，一个乙种病毒的质量为千克．若一个甲种病毒和一个乙种病毒的质量之和为千克，则用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 14. 要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 15. 已知有若干片相同的拼图，其形状如图1所示．当4片拼图紧密拼成一列时，总长度为23cm，如图2所示；当10片拼图紧密拼成一列时，总长度为56cm，如图3所示，则图1中的拼图长度为（ ） A. 5.5cm B. 5.6cm C. 5.75cm D. 6.5cm 16. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，利用如图所示的“三角形”解释二项式的展开式的各项系数，此“三角形”称为“杨辉三角”.如其展开式的系数从左起依次是，，，，请根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 17. 若，则_____． 18. 如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使，则图中∠D应___（填“增加”或“减少”）___度． 19. 我们定义：三角形，五角星； （1）＝_______； （2）若，则＝_______． 三、解答题 20. 计算： （1）解方程组：； （2）； （3）； （4）． 21. 已知多项式． （1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程． 在标出①②③的几项中，出现错误的是 ．请写出正确的解答过程； （2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值”小明给出的值为4，请你求出此时A的值． 22. 已知：如图，，求证：． 证明：延长交 于点F， 则 ， 又∵， ∴ ， ∴（ 相等，两直线平行）． 23. 如图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， （1）①如图1，点O在一条格线上，当时， °； ②如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并证明； （2）在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 24. 根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高______cm，放入一个大球水面升高______cm； （2）如果要使水面上升到55cm，应放入大球、小球各多少个？ 25. 两个边长分别为和的正方形按图1放置，其未叠合部分（阴影）面积记作，若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形，如图2所示，两个小正方形叠合部分（阴影）面积记作． （1）用含，的代数式分别表示，； （2）若，，求的值． 26. 将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N． 【发现】 （1）如图1，若点A在内，当时，则 ； （2）如图2，若点A在内，当时， ； 【探究】 若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由； 【应用】 如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数； 【拓展】 如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $