专题2.11 有理数的乘除运算（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.11 有理数的乘除运算（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0． 【要点提示】 （1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 【要点提示】 （1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 【要点提示】 （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 【知识点二】有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 【要点提示】 (1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3) 倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4) 互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【要点提示】 （1） 一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2） 因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3） 法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 【知识点三】有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【知识点四】有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两个有理数的乘法运算 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）用“△”表示一种运算符号，表示对于任何数a和b，有，那么 ． 【题型2】多个有理数的乘法运算 【例2】（2024六年级下·上海·专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（　　） A．1个 B．3个 C．1或3或5个 D．以上答案都不对 【变式2】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 【题型3】有理数的乘法运算律 【例3】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·广东广州·开学考试） ． 【题型4】有理数的除法运算 【例4】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（2024·四川达州·二模）下列运算中，计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知、、都是有理数，其中为正数，若代数式的值为，则代数式的值为 ． 【题型5】有理数的乘除混合运算 【例5】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是 ． 【题型6】有理数乘除法的实际应用 【例6】（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位．高铁的票价是按“票价=全程票价×”的方法计算，已知A站至G站全程票价为800元，沿途各站的里程数如图． 根据这些信息，请你解决以下问题． （1）A站至F站的票价是多少元？ （2）王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由． 【变式1】（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·北京·三模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 【例2】（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2、拓展延伸 【例1】（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是_____；（填序号） （2）若，且、为整数，则的最大值为_______； 【拓展】 （3）数轴上A、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小． 【例2】（20-21七年级上·贵州铜仁·阶段练习）观察下列等式： ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： ____（其中n为正整数）； （2）直接写出下列各式的计算结果： = ___________； （3）探究并计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.11 有理数的乘除运算（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0． 【要点提示】 （1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 【要点提示】 （1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 【要点提示】 （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 【知识点二】有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 【要点提示】 (1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3) 倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4) 互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【要点提示】 （1） 一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2） 因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3） 法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 【知识点三】有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【知识点四】有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两个有理数的乘法运算 【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）用“△”表示一种运算符号，表示对于任何数a和b，有，那么 ． 【答案】14 【分析】根据“”所代表的运算法则，将数据代入进行运算即可．此题考查了有理数的运算，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题． 解：由题意得： 故答案为：14． 【题型2】多个有理数的乘法运算 【例2】（2024六年级下·上海·专题练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律． （1）首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可； （2）（3）首先确定乘积的符号，再计算； （4）首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（　　） A．1个 B．3个 C．1或3或5个 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．根据几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为负，即可得解． 解： 5个有理数的积是负数，则5个因数中负因数的个数为1个，3个或5个， 正因数的个数可能为4个或2个或0个． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可． 解：原式 ， 故答案为：． 【题型3】有理数的乘法运算律 【例3】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算律和运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律，同分母的相结合，能凑整的相结合，再进行计算； （2）运用乘法分配律进行计算即可； （3）将原式写成，再根据乘法分配律进行计算即可； （4）倒用乘法分配律进行计算即可． 解：（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·假期作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案． 解：A．，不含数字，该选项符合题意； B．，含数字，该选项不符合题意； C．，方案与原式不相等，该选项不符合题意； D．，方案与原式不相等，该选项不符合题意． 故答案为：A． 【变式2】（22-23七年级上·广东广州·开学考试） ． 【答案】153 【分析】本题主要考查了运用乘法运算律进行有理数的乘法运算． 解： ， 故答案为：153． 【题型4】有理数的除法运算 【例4】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． （1）-（4）根据有理数除法运算法则进行计算即可； 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【变式1】（2024·四川达州·二模）下列运算中，计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法、减法、乘除法．根据有理数的加法、减法、乘除法法则计算出结果，再根据比较有理数大小的方法即可判断． 解：，，，， ， 计算结果最大的是5， 故选：B． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知、、都是有理数，其中为正数，若代数式的值为，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的性质以及有理数的加法运算，根据为正数，得出：中有一个负数，进而即可求解． 解∵为正数， ∴中有一个负数，一个正数， 设，， ∴， 故答案为：． 【题型5】有理数的乘除混合运算 【例5】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）先转换成乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可； （3）将原式转换为，然后根据乘法分配律进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 解：（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，注意乘法运算定律的应用． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法法则，即可求解． 解：                       ． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是 ． 【答案】4 【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可． 解：， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型6】有理数乘除法的实际应用 【例6】（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位．高铁的票价是按“票价=全程票价×”的方法计算，已知A站至G站全程票价为800元，沿途各站的里程数如图． 根据这些信息，请你解决以下问题． （1）A站至F站的票价是多少元？ （2）王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由． 【答案】(1)640元 (2)王叔叔可能在B站下车，也可能在E站下车，理由见解析 【分析】（1）根据票价=全程票价×，代入数值进行计算，即可作答． （2）先算出每一公里的钱数，再结合车费160，即可列式代数进行作答． 本题考查了行程问题，正确掌握票价=全程票价×内容是解题的关键． 解：（1）解：依题意，∵已知A站至G站全程票价为800元，且A站至G站的里程数为公里 ∴（元）； （2）解：（元）； ∵王叔叔从D站上车，购买了一张160元的票 ∴（公里） 结合图形，与D站相距400公里的有B站和E站 所以王叔叔可能在B站下车，也可能在E站下车． 【变式1】（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减法、有理数的乘法，熟练掌握数轴的定义和有理数乘法运算法则是解题关键． 先根据数轴的定义可得，且，进一步判断、、、，再根据有理数乘法法则计算，逐项判断即可． 解：由数轴的定义得：，且， 、、、， A、因为，，所以，故此选项不符合题意； B、因为，，所以，故此选项不符合题意； C、因为，，所以，故此选项不符合题意； D、，，所以，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（2024·北京·三模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 8 31 11 6 17 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ② 1040 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的，分别根据题意求解判断即可； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， ∴经济损失最少的是②， 故答案为：②； （2）一名修理工修按D，C，B的顺序修，另一名修理工修按A，E的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1040． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 【答案】C 【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案． 解∶∵，， ∴8不是完美数，故选项A不符合题意； ∵，， ∴18不是完美数，故选项B不符合题意； ∵，， ∴28是完美数，故选项C符合题意； ∵，， ∴32不是完美数，故选项D不符合题意； 故选：C 【例2】（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 2、拓展延伸 【例1】（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是_____；（填序号） （2）若，且、为整数，则的最大值为_______； 【拓展】 （3）数轴上A、两点分别对应有理数、，若，试比较与0的大小． 【答案】（1）①②；（2）6；（3）见解析． 【分析】（1）、同号，可能同为正数，也可能同为负数即可得到答案； （2）最大，需、同号，而知、均为负整数，分类讨论即可得答案； （3）、异号，分类讨论与0的大小． 解：（1）， 、同号， 、同为正数时，； 、同为负数时，； 故答案为：①② （2）最大 、同号， ， 、同为负数， 、为整数， 、分别为和，此时；或、分别为和，此时， 故答案为：6； （3）， 、异号， 设，则， 若，则， 若，则， 若，则． 设，则， 若，则， 若，则， 若，则． 【点拨】本题考查有理数加法、乘法的法则，解题的关键是分类讨论． 【例2】（20-21七年级上·贵州铜仁·阶段练习）观察下列等式： ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： ____（其中n为正整数）； （2）直接写出下列各式的计算结果： = ___________； （3）探究并计算：． 【答案】(1)；(2)；(3) ． 【分析】(1)根据题目意思即可写出猜想：； (2)利用题(1)所得的猜想将每个算式化简即可得出结果； (3)根据观察可得出：，利用此式子即可化简得出结果． 解：(1)， (2) (3) 【点拨】本题主要考查的是找规律和有理数的混合运算，根据题目信息得出规律并正确运算是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$