精品解析：河北省张家口京源高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

河北省张家口京源高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 考试说明： 1．本试卷共150分.考试时间120分钟. 2．请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的乘方化简复数，从而得到其虚部. 【详解】因为，又，，， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：C. 2. 下列命题正确的有（ ） ①钝角是第二象限角 ②若为锐角，则是第一或第二象限角 ③终边落在直线上的角的集合可表示为 ④若为钝角，则 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】对①，根据钝角的范围即可判断，对②，举特例即可判断；对③，根据终边相同角的表示即可判断；对④，利用诱导公式即可判断. 【详解】对①，钝角的范围为，其为第二象限角，故①对； 对②，当，则，其既不是第一象限也不是第二象限角；故②错； 对③，终边在直线上角的集合可表示，故③错； 对④，，故④错； 综上，正确的个数为1. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用正余弦齐次式法求解即得. 【详解】由，得，解得， 所以. 故选：D 4. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由，列方程可求出，再由，列方程可求出，即可求得. 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以. 故选：C. 5. 已知三棱锥中，，作平面ABC，垂足为，则为的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理即可得解. 【详解】连接，由平面，平面，得，又， 平面，则平面，又平面， 因此，同理，所以为的垂心. 故选：D 6. 某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. B. 车速的众数估计值是70 C. 车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D. 车速的中位数估计值是62.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图求出、众数、平均数、中位数判断即得. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，车速在内的频率最大，车速的众数估计值是65，B错误； 对于C，车速的平均数为， 车速的中位数，则，解得，C错误； 对于D，车速的中位数估计值是62.5. 故选：D 7. 若分别以锐角三边BC，AC，AB所在的直线为轴，旋转得到几何体的体积分别是，且，则最大内角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，将几何体的体积用三角形的面积及对应边表示出，再求出三边的比，并利用余弦定理计算即得. 【详解】令锐角的角所对边分别为，其面积为，边上的高， 以边所在直线为轴得到的几何体是以边上的高为底面圆半径的两个圆锥组成， 这两个圆锥高的和为，于是，同理， ，令， 则，显然，因此， 所以最大内角的余弦值为. 故选：A 8. 已知圆锥的顶点为，母线长为1，其侧面展开图扇形的圆心角为，设该圆锥外接球半径为，内切球半径为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，利用圆锥轴截面等腰三角形外接圆、内切圆与圆锥外接球、内切球大圆的关系求出即可得解. 【详解】依题意，圆锥底面圆半径，则，解得，于是圆锥的高， 圆锥轴截面等腰三角形的外接圆即为圆锥外接球截面大圆，内切圆即为圆锥内切球截面大圆， 令圆锥轴截面等腰三角形底角为，则，因此，即， 圆锥轴截面等腰三角形面积，解得， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 一组数据分别是82，84，86，88，95，96，94，则该组数据的上四分位数是96 B. 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 C. 不可能事件与任意事件相互独立 D. 若事件A，B独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】求出上四位分数判断A；利用互斥事件、对立事件、独立事件的意义判断BCD. 【详解】对于A，数据82，84，86，88，94，95，96，由，得该组数据的上四分位数是95，A错误； 对于B，由互斥事件、对立事件的关系知，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，B正确； 对于C，事件是不可能事件，是任意事件，则，， 则事件与相互独立，C正确； 对于D，事件A，B独立，则，而， 在时，不成立，D错误. 故选：BC 10. 已知函数（其中）的部分图象如下图，则（ ） A. 可能为 B. 若将函数图象向右平移得到，则为偶函数 C. 的解析式可能为 D. 在上的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式，再逐项分析判断即得. 【详解】观察图象得，，由，得，而，解得或， 函数的最小正周期，而且，于是且，解得， 又，且是函数递减区间上的零点，则， 当时，，则；当时，，无解， 因此，，，A错误； 对于B，，，为偶函数，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当时，，，，D错误. 故选：BC 11. 已知A，B，C，D是八分之一球表面上不同四点，M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，四边形CMNK为矩形，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得，，结合条件中，，从而在各直角三角形中得到的正余弦表示，对选项逐一分析判断即可. 【详解】在矩形中，，又，，平面， 则平面，又平面，于是， 又，则，即， 而，，，平面，则平面， 而，则平面，又平面，于是，， 对于A，在中，，在中，， 又，且为的斜边，即， 所以，A正确； 对于B，在中，，在中，， 中，，则，B正确； 对于C，在中，，在中，，又， 所以，而与不一定相等，C错误； 对于D，中，，又，，， 所以， 所以，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是利用线面垂直的判定定理与性质定理证得，，从而得到的正余弦表示，由此得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，关于的方程的一个虚根为，则在复数范围内，方程的根为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再在复数范围内解方程即可. 【详解】由是方程的一个虚根，得该方程的另一个虚根为， 则，，解得， 于是方程为：，即，解得， 所以方程的根为. 故答案为： 13. 为了解某高中学校暑假学生学习情况，采用分层抽样对该校高中三个年级学生平均每天学习时间（单位：小时）进行统计，得到样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均值 样本方差 高一 30 3 1.5 高二 30 4 2 高三 40 5 3.5 根据上述数据，估计该校三个年级学生平均每天学习时间的方差为______． 【答案】3.14 【解析】 【分析】分别由总样本的平均数公式和总样本方差公式求解即可. 【详解】由高中三个年级学生的总样本平均数为： 可得. 总样本方差为： . 故答案为：3.14 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知式消去边，整理成，利用角的范围求得的范围，设，将其整理成关于的一元二次不等式组，解之即得的范围，最后由正弦定理即得.. 【详解】设，则，由得 因为锐角三角形，故，，： ，代入得，解得； ，代入得，解得； ，代入得，对恒成立， 综上，，即，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，是边BC的中点，是边AC上靠近点的三等分点，AM与BN交于点． （1）求； （2）求的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）取平面向量的一个基底，再利用向量的线性运算求出，利用数量积的运算律计算即得. （2）利用（1）的信息，利用向量夹角公式计算即得. 【小问1详解】 在中，，则，， 由是边BC的中点，得，由是边AC上靠近点的三等分点， 得，因此 . 【小问2详解】 由（1）知，， ， 所以的余弦值 16. 已知函数的最小正周期． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，讨论方程根的个数． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，求出，进而求出单调递增区间. （2）探讨函数在上的性质，分离参数，利用数形结合法求出直线与函数在上的图象交点情况即可. 【小问1详解】 依题意，， 由，，得，， 由，解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，，余弦函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上单调递减，函数值从1减小到；在上单调递增，函数值从增大到0， 方程， 因此方程的根即直线与函数在上的图象交点的横坐标， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象， 观察图象知，当或，即或时，直线与函数在上的图象无交点； 当或，即或时，直线与函数在上的图象有1个交点； 当，即时，直线与函数在上的图象有2个交点， 所以当或时，方程根的个数为0； 当或时，方程根的个数为1； 当时，方程根的个数为2. 17. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，点是正方形的中心，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA四边的中点．现在以为起点，再从A，E，B，F，C，G，D，H中任取两点分别为终点得到两个向量，不妨分别记为和． （1）请直接写出的所有可能值组成的集合； （2）在的所有值中，你觉得哪一个值发生的可能性最大，并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定的图形，确定和的模的可能值，和的夹角的可能值，再利用数量的定义求解即得. （2）利用（1）的信息，求出取得各个值的种数，再比较即得. 【小问1详解】 依题意，， ，， ， ， ， 向量和的模是集合中元素，和的夹角， 当时，，当时，， 当时，，当时，或， 所以的所有可能值组成的集合是. 【小问2详解】 在的所有值中，发生的可能性最大， 由（1）知，的情况有8种，的情况有8种， 的情况有10种，的情况有2种，因此的情况最多， 所以在的所有值中，发生的可能性最大. 18. 记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）证明：； （2）若为锐角，点为边BC上一点，AM平分，且，，求的值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理、余弦定理可得，化简可得，化简证明结论； （2）设，由已知和（1）可得，由，可得，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可解得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理， 所以，即， 由正弦定理得， 又中，， 所以 ， 所以，即. 【小问2详解】 设，因为AM平分，且， 则， 由（1）知，，则， 所以， 因为， 所以， 则，又， 则，则，，， 在中，由正弦定理得， 则，得， 所以 ， 在中，由正弦定理， 得，解得. 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）当MA为何值时，二面角的余弦值为． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得. （2）在平面内过点作于，利用线面垂直的性质，线面垂直的性质、判定推理即得. （3）过作于，连接，确定二面角的平面角，借助余弦定理求解即得. 【小问1详解】 菱形中，，平面，平面， 则平面， 而平面平面，平面， 所以. 【小问2详解】 在平面内过点作于，平面平面，平面平面， 则平面，而平面，于是， 又平面，平面， 则，而平面， 因此平面，又， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知平面，平面，则，菱形为正方形， 由平面，平面，得， 过作于，连接， ，而， 则≌，有，于是≌，则， 即，是二面角的平面角， 令，， ，而，在中，由余弦定理得： ，解得， 所以当的值为时，二面角的余弦值为． 【点睛】思路点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省张家口京源高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 考试说明： 1．本试卷共150分.考试时间120分钟. 2．请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 2. 下列命题正确的有（ ） ①钝角是第二象限角 ②若为锐角，则是第一或第二象限角 ③终边落在直线上的角的集合可表示为 ④若为钝角，则 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 12 5. 已知三棱锥中，，作平面ABC，垂足为，则为的（ ） A 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 6. 某时间段公路上车速的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. B. 车速的众数估计值是70 C. 车速的平均数估计值大于其中位数的估计值 D. 车速的中位数估计值是62.5 7. 若分别以锐角三边BC，AC，AB所在的直线为轴，旋转得到几何体的体积分别是，且，则最大内角的余弦值为（ ） A B. C. D. 8. 已知圆锥顶点为，母线长为1，其侧面展开图扇形的圆心角为，设该圆锥外接球半径为，内切球半径为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的有（ ） A. 一组数据分别是82，84，86，88，95，96，94，则该组数据的上四分位数是96 B. 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 C. 不可能事件与任意事件相互独立 D 若事件A，B独立，则 10. 已知函数（其中）的部分图象如下图，则（ ） A. 可能为 B. 若将函数图象向右平移得到，则为偶函数 C. 的解析式可能为 D. 在上的值域为 11. 已知A，B，C，D是八分之一球表面上的不同四点，M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，四边形CMNK为矩形，，记，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，关于的方程的一个虚根为，则在复数范围内，方程的根为______. 13. 为了解某高中学校暑假学生学习情况，采用分层抽样对该校高中三个年级学生平均每天学习时间（单位：小时）进行统计，得到样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均值 样本方差 高一 30 3 1.5 高二 30 4 2 高三 40 5 3.5 根据上述数据，估计该校三个年级学生平均每天学习时间的方差为______． 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，是边BC的中点，是边AC上靠近点的三等分点，AM与BN交于点． （1）求； （2）求的余弦值． 16. 已知函数的最小正周期． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，讨论方程根的个数． 17. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，点是正方形的中心，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA四边的中点．现在以为起点，再从A，E，B，F，C，G，D，H中任取两点分别为终点得到两个向量，不妨分别记为和． （1）请直接写出的所有可能值组成的集合； （2）在所有值中，你觉得哪一个值发生的可能性最大，并说明理由． 18. 记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）证明：； （2）若为锐角，点为边BC上一点，AM平分，且，，求的值． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面. （1）证明：； （2）证明：平面； （3）当MA为何值时，二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $