第七章 三角函数章末总结提升课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 章末总结提升 人教B版 数学 必修第三册 网络构建·归纳整合 专题突破·素养提升 目录索引 网络构建·归纳整合 专题突破·素养提升 专题一　扇形的弧长、面积公式的应用 1.求扇形的弧长、面积公式时,要把扇形的圆心角化为弧度制,然后列方程(组)求解. 2.掌握扇形的弧长、面积公式,重点提升数学运算素养. 【例1】 已知扇形的圆心角为α,所在圆的半径为r. (1)若α=120°,r=6,求扇形的弧长; (2)若扇形的周长为24,当α为多少弧度时,该扇形面积S最大?并求出最大面积. (2)设扇形的弧长为l,则l+2r=24,即l=24-2r(0<r<12),扇形的面积 即α=2 rad时扇形面积S最大为36. 规律方法　弧度制下解决扇形相关问题的步骤 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=αr, .(这里α必须是弧度制下的角) (2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解. 变式训练1[2023重庆沙坪坝校级期末]若圆心角为2 rad的扇形的周长为6 cm,则该扇形的面积为　　　　　cm2.  专题二　三角函数的定义 1.利用三角函数的定义求三角函数值,以及利用三角函数的定义判断三角函数值的符号是常见考查题型,含参时要注意检验是否出现增根或分类讨论. 2.掌握三角函数的定义,重点提升逻辑推理和数学运算素养. 【例2】 [2023内蒙古呼和浩特模拟]已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=-2x上,则cos2θ-sin2θ=(　　) A 解析 直线y=-2x过原点,经过第二象限与第四象限, ①若角θ的终边在第二象限,在终边上取一点P(-1,2), 规律方法　利用定义求三角函数值的步骤 确定终边位置→终边上任取一点P(x,y)→求r= →求三角函数值 变式训练2(多选题)[2023浙江上城校级期末]在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(x,-2),且 tan α=2,则(　 　) ABD 专题三　同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数有两个基本关系式,重点考查给值求值和给式求值以及简单的三角函数式的化简、证明.在求值过程中注意角的范围、三角函数值的正负判断,在化简、证明中充分利用“1”的作用. 2.诱导公式可概括为k· ±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中,奇、偶是指 的奇数倍或偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变);若是偶数倍,则函数名称不变.符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号. 3.掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系及诱导公式,重点提升逻辑推理和数学运算素养. 【例3】 [2023北京海淀校级月考]在平面直角坐标系xOy中,角α的始边为x轴的正半轴,终边经过点P(2,-1),求下列各式的值: (1)tan α; (2)3sin2α+sin αcos α; 规律方法　已知tan α=m,求关于sin α,cos α的齐次式的值 解决这类问题需注意以下两点:(1)一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cos α≠0,所以可除以cos α,这样可将被求式化为关于tan α的表示式,然后代入tan α=m的值,从而完成被求式的求值. B 专题四　利用三角函数的图象与性质解题 1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,在研究性质时,将ωx+φ看成一个整体,利用整体代换思想解题是常见的技巧. 2.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 3.掌握三角函数的图象和性质,重点培养直观想象和数学运算素养. 【例4】 [2023江苏鼓楼校级期中]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 规律方法　1.确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的关键是φ的确定,常用方法有: (1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). (2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点( ,0)作为突破口.“五点”的ωx+φ的值具体如下: “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0; “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π; “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ= ; “第五点”为ωx+φ=2π. 2.求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得. 3.具体求解时注意两点:(1)要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;(2)在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间. 变式训练4已知函数f(x)=2sin( +φ)(0<φ<π). (1)若函数f(x)为偶函数,求φ的值; (2)在(1)的条件下,求函数在[-π,π]上的单调递减区间. 规律方法　三角函数最值问题的常见类型及求解方法 y=Asin(ωx+φ)+b,可先由定义域求得ωx+φ的取值范围,然后求得sin(ωx+φ)的取值范围,最后得最值. 变式训练5函数y=sin 2x+cos x的最大值为　　　　　.  解 (1)∵α=120°=120×,r=6,∴l=αr=×6=4π. S=lr=(24-2r)r=-r2+12r=-(r-6)2+36,当且仅当r=6时,面积S有最大值36, 此时弧长l=24-2×6=12,∴α==2(rad). S=αr2和S=lr 解析 设扇形半径为r,面积为S,圆心角是α,则α=2,则周长2r+αr=2r+2r=4r=6,解得r=,扇形的面积S=αr2=×2×. A.- B.- C. D. sin θ=,cos θ==-,cos2θ-sin2θ==-. ②若角θ的终边在第四象限,在终边上取一点P(1,-2), sin θ==-,cos θ=,cos2θ-sin2θ==-. 综上所述,cos2θ-sin2θ=-.故选A. A.x=-1 B.sin α=- C.cos α= D.tan<0 解析 由题意知,tan α=2=,所以x=-1,即选项A正确; 所以点P为(-1,-2),所以sin α==-,即选项B正确; cos α==-,即选项C错误; 因为点P位于第三象限,即α是第三象限的角,所以α∈(π+2kπ,+2kπ),k∈Z,所以∈(+kπ,+kπ),k∈Z,即是第二或第四象限的角,所以tan<0,即选项D正确.故选ABD. (3). 解 (1)因为在平面直角坐标系xOy中,角α的始边为x轴的正半轴,终边经过点P(2,-1),所以tan α==-. (2)3sin2α+sin αcos α=. (3)= =-2. 变式训练3[2023山西阳泉二模]已知sin α+cos α=,0<α<π,则sin α-cos α =(　　) A.- B. C.- D. 解析 因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=,即sin2α+2sin αcos α +cos2α=,所以2sin αcos α=-. 因为0<α<π,所以cos α<0<sin α,所以sin α-cos α>0. 因为(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1+, 所以sin α-cos α=.故选B. (A>0,ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,且点P(,2)是该函数图象上的一个最高点. (1)求函数f(x)的解析式; (2)把函数f(x)的图象向右平移θ(0<θ<)个单位长度,得到函数g(x)的图象,g(x)在[0,]上是增函数,求θ的取值范围. 解 (1)由已知得A=2,T=π,ω==2, 故f(x)=2sin(2x+φ),所以2sin(2×+φ)=2, 故sin(+φ)=1,得+φ=+2kπ,k∈Z, 则φ=2kπ+,k∈Z. 又因为|φ|<,故k=0时,φ=即为所求, 故f(x)=2sin(2x+). (2)函数f(x)的图象向右平移θ(0<θ<)个单位长度,得g(x)=2sin[2(x-θ)+],令t=2x-2θ+,则y=g(x)化为y=2sin t,因为x∈[0,],故t∈[-2θ,-2θ],所以g(x)在[0,]上单调递增,即y=2sin t在[-2θ,-2θ]上单调递增,又因为0<θ<,所以只需解得≤θ≤, 故所求θ的取值范围是[]. - “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=; 解 (1)∵函数f(x)为偶函数, ∴φ=+kπ(k∈Z),∵0<φ<π,∴φ=. (2)由(1)得f(x)=2cos, 当x∈[-π,π]时,, ∴当,即x∈[0,π]时f(x)单调递减. ∴函数在[-π,π]上的单调递减区间为[0,π]. 【例5】 已知函数f(x)=asin(2x-)+b(a>0),且当x∈[0,]时,f(x)的最大值为,最小值是-2,求a和b的值. 解 ∵0≤x≤,∴-≤2x-, ∴-≤sin(2x-)≤1, ∴f(x)max=a+b=, f(x)min=-a+b=-2.得 解析 y=sin2x+cos x=-cos2x+cos x+1=-(cos x-)2+,故cos x=时,ymax=. $$