6.3 平面向量线性运算的应用课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第六章　平面向量初步 6.3　平面向量线性运算的应用 人教B版 数学 必修第二册 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题. 2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具. 3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算解决平面几何中的平行、长度等问题. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量基本定理: 　　　 　　　　　　　　　　　　　.  (2)求线段的长度或说明线段相等,可以用向量的模:若a=(x,y),则 (3)对于有些平面几何(如长方形、正方形、直角三角形等)问题,常用向量的坐标法,建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示出来,通过代数运算来解决. 如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa 名师点睛 向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)基底法:选取适当的基底(基底中的向量尽量利用已知模的两个向量),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的运算法则、运算规律及相关结论探求几何关系; (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现几何关系的向量化、坐标化,从而将几何问题代数化. 一般地,存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法. 过关自诊 在四边形ABCD中, ,则四边形ABCD的形状一定是(　　) A.矩形　　　B.邻边不相等的平行四边形 C.菱形 D.梯形 D 知识点2　向量在物理中的应用 利用向量可以描述物理学中的　　　　、　　　　、　　　　、加速度等,因此,在涉及这些量的运算时,可以借助向量来完成.  (1)力学问题的向量处理方法 ①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学中各物理量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型回答相关物理现象. ②表示向量的有向线段可以有共同的起点,也可以没有共同的起点;力是既有大小,又有方向的量.用向量知识解决力的问题,往往需要把向量平移到同一作用点上. 位移 力 速度 (2)速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加、减运算,而运动的叠加也用到了向量的合成. 名师点睛 数学中的两类物理背景问题 (1)力 力是具有大小和方向的量,在不计作用点的情况下,是数学中的向量,可用向量求和的平行四边形法则求两个力的合力. (2)速度 速度是具有大小和方向的量,因而可用向量求和的平行四边形法则或三角形法则求两个速度的合速度. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a表示向东走1 km,b表示向南走1 km,则a+b表示向东南走 km.(　　) (2)一条河宽为8 000 m,一艘船从河岸A出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速大小为20 km/h,水速大小为12 km/h,则船到达B处所需时间为30分钟. (　　) √ √ 2.[北师大版教材习题]如图,两条绳提一个物体,每条绳的拉力大小均为5 N,这时两条绳的夹角为60°,求物重G的大小. 解 依题意知|G|=2×5cos 30°=5 (N),即物重G的大小为5 N. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　向量在平面几何中的应用 角度1　向量基底法在平面几何中的应用 规律方法　利用向量线性运算解决几何问题的步骤 变式训练1[人教A版教材习题]如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值. 角度2　向量坐标法在平面几何中的应用 【例2】 如图,已知在直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为CE的中点,用向量的方法证明: (1)DE∥BC; (2)D,M,B三点共线. 证明 以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴, 建立平面直角坐标系,如图. ∵CE⊥AB,AD=DC, ∴四边形AECD为正方形. ∴可求得各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0). 规律方法　平面向量在坐标表示下的应用 利用平面向量的坐标表示,可以将平面几何中长度、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题,运用此种方法必须建立适当的坐标系. 变式训练2已知在直角梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,∠ADC=90°.若点M在线段AC上,则 的取值范围为　　　　　.  探究点二　向量在物理中的应用 【例3】 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,风的速度大小为20 km/h,此时水的流向是正东,速度大小为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度. 解 建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度的大小为|v1|=20 km/h,水流的方向为正东,速度的大小为|v2|=20 km/h,设帆船行驶的速度为v,则v=v1+v2. 由题意,可得向量v1=(20cos 60°,20sin 60°) =(10,10 ),向量v2=(20,0), 规律方法　用向量方法解决物理问题的步骤 (1)把物理问题中的相关量用向量表示; (2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决; (3)结果还原为物理问题. 变式训练3如图,物体W的质量为50 kg,用绳子将物体W悬挂在两面墙之间,已知两面墙之间的距离AB=10 m(AB为水平线),AC=6 m,BC=8 m,求AC,BC上所受的力的大小(g取9.8 m/s2). 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 设点M为BC边的中点,由题意可得 据此结合题意可知CB=2AM, 由三角形的性质可知,△ABC的形状是直角三角形. 故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.[探究点二·2023陕西榆林高一]某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为500 N,则该学生的体重m(单位:kg)约为(　　) (参考数据:重力加速度大小g取10 m/s2, ≈1.732) A.81 B.87 C.89 D.91 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.[探究点一]△ABC所在平面内一点P满足 (m>0,m为常数),若△ABP的面积为6,则△ABC的面积为　　　　　.  12 解析 取AC的中点O, ∴点C到直线AB的距离等于点P到直线AB的距离的2倍, ∴S△ABC=2S△ABP=12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.[探究点二]在静水中划船速度的大小是每分钟40 m,水流速度的大小是每分钟20 m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,那么小船的行进方向应指向哪里? 解 如图所示,设向量 的长度和方向表示水流速度的大小和方向,向量 的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,连接OC. 依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40, ∴∠BOC=30°. 故小船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.已知O是平面内的一定点,A,B,C是平面内不共线的三个动点,若动点P满足 ,λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.P是△ABC所在平面内一点,满足 ,则△ABC的形状是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(多选题)在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下述结论正确的是(　　) CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若 ,则λ=　　　　　,μ=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 10.设O为△ABC内一点,且满足关系式 ,则S△BOC∶S△AOB∶S△COA=　　　　　.  3∶2∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)试用a,b表示向量 (2)设线段AB,OE,CD的中点分别为L,M,N,试证明L,M,N三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为AB上靠近B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)根据题意,因为OA⊥OC,故以O为坐标原点,建立如图所示平面直角坐标系: 设OA=2,则A(2,0),C(0,1),B(1,1),O(0,0), 因为点P在线段BC上运动,故可设其坐标为(m,1),0≤m≤1, |a|=或||=(A(x1,y1),B(x2,y2)). =a+2b,=-4a-b,=-5a-3b 解析 因为=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b, 所以=-8a-2b=2(-4a-b)=2,所以AD∥BC,AD≠BC. 因此四边形ABCD为梯形.故选D. 【例1】 [北师大版教材例题]如图,点O是▱ABCD两条对角线的交点,点E,F分别在边CD,AB上,且.求证:点E,O,F在同一直线上. 证明 设=a,=b,则=a+b. 由,可知点E,F分别是CD,AB的三等分点, 所以=-a+(a+b)=a+b, (a+b)-a=a+b. 因此,又直线FO、直线OE有公共点O,故点E,O,F在同一直线上. 解 因为O是BC的中点, 所以). 又因为=m=n,所以. 因为M,O,N三点共线,所以=1,即m+n=2. 令||=1,则||=1,||=2. (1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1), ∴,∴,即DE∥BC. (2)连接MB,MD,∵M为EC的中点,∴M0,, ∴=(-1,1)-0,=-1,, =(1,0)-0,=1,-. ∵=-,∴,∴D,M,B三点共线. || [,2]　 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),设=λ(0≤λ≤1),则M(λ,2λ),故=(-λ,2-2λ),=(2-λ,-2λ),则 =(2-2λ,2-4λ),||=, 当λ=0时,||取得最大值2,当λ=时,||取得最小值, ∴||∈[,2]. 则帆船的行驶速度v=v1+v2=(10,10)+(20,0)=(30,10),所以|v|==20(km/h).因为tan α=(α为v和v2的夹角,α为锐角),所以α=30°. 所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度大小为20 km/h. 解 物体重力是竖直向下的,大小为50×9.8=490(N),因此AC,BC方向所受到的力F2与F1的合力应该是竖直向上的,且大小为490 N,如图建立平面直角坐标系,设|F1|=a N,|F2|=b N,则F1=,F2=(-b,b).又F1+F2=(0,490),所以解得根据力的相互作用性得BC上所受力的大小为294 N,AC上所受力的大小为392 N. 1.[探究点一](多选题)若O是△ABC所在平面内一点,且满足||= |-2|,则△ABC的形状不可能是(　　) ||=||, |-2|=|2-2|=2||, =m ∵=m(m>0,m为常数), ∴m=2, +λ() 解析 由题意,得=λ(),即=λ(),根据平行四边形法则,知是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心. ||-|-2|=0 解析 由||=|-2|,可得||=||,即||=||, 所以四边形ABCD为矩形,因此,△ABC是直角三角形.故选B. A. B.) C.=0 D.=0 解析 ,故A错误; )=,故B错误; )=0,故C正确; =-)+)+)]=-)=0,故D正确. 故选CD. =λ+μ 9.在△ABC中,点D和E分别在BC,AC上,且,AD与BE交于点R,证明:. 证明 由A,D,R三点共线,可得=λ+(1-λ)+(1-λ). 由B,E,R三点共线,可得=μ+(1-μ)=μ(1-μ). ∴ ∴,∴ -(=)=. +2+3=3+2 11.如图所示,O,A,B三点不共线,=2=3,BC,AD交于点E,设=a,=b. ; (1)解∵B,E,C三点共线, ∴令=x+(1-x)=2xa+(1-x)b,① 同理,∵A,E,D三点共线, 令=y+(1-y)可得=ya+3(1-y)b,② 由①②,得解得 ∴a+b. (2)证明 ∵)=, ∴, ∴=6. 又交于点M,∴L,M,N三点共线. (1)用 和 表示; (2)设 =λ+μ,求λ,μ的取值范围. 解 (1)因为M为AB上靠近B的三等分点,所以). 又CB∥OA,且CB=OA,所以. 则)=)=)=.即. 则=(1,1),=(2,-1),=(m,1). 由=λ+μ可得1=2λ+μm,1=-λ+μ, 则μ=,λ=μ-1. 因为m∈[0,1],则m+2∈[2,3],故μ∈,λ∈. $$