精品解析：四川省自贡市田家炳中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

高二（下）普数学期中考试题 一.单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 给出下列命题：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 3. 已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设等差数列数列的前项和为，若，则（ ） A. 32 B. 47 C. 54 D. 86 5. 若函数f(x)=f′(-1)x2-2x+3,则f′(-1)的值为　(　　) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 6. 函数的大致图像是 A. B. C. D. 7. 10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）. 9. 已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的单调递增区间可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，下列命题中，正确的是（ ） A. 展开式中所有项的二项式系数的和为； B. 展开式中所有奇次项系数的和为； C. 展开式中所有偶次项系数的和为； D. . 12. 下列命题是真命题有（ ） A. 若，则是函数的极值点 B. 函数的切线与函数可以有两个公共点 C. 已知实数，若函数有且仅有3个零点，则b的取值范围是 D. 若函数的导数，且，则不等式的解集是 三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 在的展开式中，含的项的二项式系数为______. 14. 已知数列的前项和为，且，则_________. 15. 等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝_______． 16. 已知直线和曲线相切，则切点坐标为________，实数a的值为________． 四．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（第17题10分，其余每题均12分） 17. 已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若等比数列{bn}满足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式． 18. 已知在的展开式中，第项为常数项． （1）求； （2）求含项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 20. 已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20. （1）求a2的值； （2）求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值； （3）求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值． 21. 已知为等差数列，. （1）求的通项公式； （2）若为的前项和，求. 22. （1）证明：当时，； （2）已知函数.求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二（下）普数学期中考试题 一.单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 给出下列命题：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可 【详解】①中为常数函数，故，故①错误； 对于②，∵，∴，故②正确； 显然③④正确. 故选：C. 2. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】直接由等差数列的性质即可求解. 【详解】由题意. 故选：C. 3. 已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 等比数列的通项公式为，由指数函数的单调性结合充分条件以及必要条件的概念可得结果. 【详解】因为等比数列的通项公式为， 当，时，数列为递减数列，即充分性不成立； 当“数列是递增数列”时，可能是，，即必要性不成立； 即“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 4. 设等差数列数列的前项和为，若，则（ ） A. 32 B. 47 C. 54 D. 86 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的性质可得：，，，成等差数列．即可得出结果． 【详解】解：由等差数列的性质可得：，，，成等差数列， 其首项为2，公差为13, ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5. 若函数f(x)=f′(-1)x2-2x+3,则f′(-1)的值为　(　　) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，令，得. 6. 函数的大致图像是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由的解析式知仅有两个零点与，而A中有三个零点，所以排除A，又，由知函数有两个极值点，排除C，D，故选B． 7. 10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先从7个人中选2人调整到前排，再把两个人在5个位子中选2个进行排列即可求解. 【详解】先从7个人中选2人调整到前排有种，调整后前排有5个人，再把两个人在5个位子中选2个进行排列， 原来的3人按照原顺序站在剩下的3个位子，有种，按照乘法计数原理可得总共有种. 故选：B. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为，解之即可. 【详解】函数的定义域为，，故函数为奇函数， 且不恒为零， 故函数在上为增函数， 由可得，则， 所以，，解得. 故选：A. 二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）. 9. 已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，分情况进行讨论，然后利用等差中项的性质即可求解. 【详解】若公比有，，， 此时，故公比， 由题意， 化简有，两边同时乘以，可得：； 两边同时乘以，可得： 故有或， 选选：AB. 10. 函数的单调递增区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调增区间即可. 【详解】， 令，则， 所以函数的单调增区间为， 则符合题意的选项为AD. 故选：AD. 11. 已知，下列命题中，正确的是（ ） A. 展开式中所有项的二项式系数的和为； B. 展开式中所有奇次项系数的和为； C. 展开式中所有偶次项系数的和为； D. . 【答案】ABD 【解析】 【分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误. 【详解】A：由二项式知：，正确； 当时，有，当有， B：由上，可得，正确； C：由上，可得，错误； D：由二项式通项知：，则，，…，，所以，正确. 故选：ABD. 12. 下列命题是真命题有（ ） A. 若，则是函数的极值点 B. 函数的切线与函数可以有两个公共点 C. 已知实数，若函数有且仅有3个零点，则b的取值范围是 D. 若函数的导数，且，则不等式的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由极值点的定义即可判断；对于B，举出例子即可判断；对于C，分离参数，构造新的函数，利用导数研究方程的根即可判断；对于D，构造函数，利用导数研究函数单调性，从而利用单调性即可解不等式. 【详解】对于A，若，且还需在左右两侧的单调性相反，才足以保证是函数的极值点，故A错误； 对于B，例如，在点处的切线与有两个交点，故B正确； 对于C，若函数，则， 令，则，令，则或， 若时， 当或时，，当时，， 所以当或时，单调递减，当时，单调递增， 所以的极小值为，极大值为， 根据三次函数的性质可知，若函数有且仅有3个零点，则b的取值范围是，故C正确； 对于D，令，则，所以是减函数， 不等式等价于，注意到， 所以不等式的解集为. 故选：BCD. 三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 在的展开式中，含的项的二项式系数为______. 【答案】1 【解析】 【分析】直接由二项式定理即可求解. 【详解】由，， 当，含的项为，其二项式系数为. 故答案为：1 14. 已知数列的前项和为，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用和的关系求解即可. 【详解】当时，， 当时，不满足上式， 则. 故答案为：. 15. 等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝_______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用基本元的思想，将两个已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得的值. 【详解】由于数列为等比数列，故，解得，故. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.解题过程中主要利用除法进行消元，要注意解题题意公比为正数这一条件. 16. 已知直线和曲线相切，则切点坐标为________，实数a的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设切点为，计算，确定，解得或，再验证得到答案. 【详解】设直线与曲线相切于点， 则 ， 故，解得或， 当时，；当时，. 切点坐标为或． 当切点为时，有，故（舍去）． 当切点为时，有，故， 因此切点坐标为，的值为. 故答案为：； 四．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（第17题10分，其余每题均12分） 17. 已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若等比数列{bn}满足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式． 【答案】（1）an＝2n-12； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质得到，然后根据等差数列的通项公式求出和的值即可. （2）根据（1）的条件求出b2＝-24，b1＝-8，然后根据等比数列的通项公式求出的值即可. 【小问1详解】 设等差数列{an}的公差为d， 因为a1＋a5＝2a3＝-12，a4＋a8＝2a6＝0， 所以，所以， 解得， 所以an＝-10＋2(n-1)＝2n-12. 【小问2详解】 设等比数列{bn}的公比为q， 因为b2＝a1＋a2＋a3＝-24，b1＝-8， 所以－8q＝－24，即q＝3， 因此. 18. 已知在的展开式中，第项为常数项． （1）求； （2）求含项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1）； （2）； （3），，. 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令时的指数为，即可得出结果； 将的值代入通项，令的指数为，即可求出结果； 令通项中的指数为整数，求出结果即可. 【小问1详解】 解：通项公式为. 因为第项为常数项，所以时，有，解得. 【小问2详解】 解：由可知，令，解得. 所以含项的系数为. 【小问3详解】 解：由题意可知，， 则可能的取值为，，. 所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）当时，求出，然后利用点斜式即可求出切线方程； （2）分类讨论，当时、当时，的正负情况，再判断单调性，从而确定极值. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 当时，，， 因而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由， ①当时，，函数为上的增函数，函数无极值； ②当时，令，解得， 所以时，，在上的单调递减， 时，，在上的单调递增. 所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值. 综上所述，当时，函数无极值； 当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值. 20. 已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20. （1）求a2的值； （2）求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值； （3）求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值． 【答案】（1）－49×10；（2）0；（3）310. 【解析】 【分析】令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20. （1）结合展开式可得a2＝C(－4)9，从而可的答案； （2）令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，粮食相减即可得解； （3）由（2）两式相加即可得解. 【详解】解：∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20， 令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20. （1）a2＝(－4)9＝－49×10； （2）令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，① 令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，② ∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0； （3）由（2）①+②得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310. 21. 已知为等差数列，. （1）求的通项公式； （2）若为的前项和，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用累乘法，结合已知条件，即可求得结果； （2）利用裂项求和法，结合（1）中所求，即可求得结果. 【小问1详解】 ∵. ∴， ∴， ∴； 当时，满足上式， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， ∴ . 22. （1）证明：当时，； （2）已知函数.求证：当时，. 【答案】22. 证明如下： 要证，需证明， 令，则， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 即对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 所以； 23. 证明如下： 要证， 只需证明， 只需证明， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，所以； 再令，则， 当时，，当时，， 知在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 因为与不同时为0，所以， 故原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）令，求导，利用导数判断的单调性，进而可得，即可证明结果； （2）由于即，故分别构造函数和，利用导数求它们的最值，即可证明. 【22题详解】 略. 【23题详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $