2.1.1椭圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.1.1 椭圆及其标准方程 学习目标 通过阅读教材中的阅读材料“圆锥的截线”，了解圆锥曲线的由来 由椭圆定义，学会推导椭圆的标准方程 进一步理解坐标法，感悟数形结合思想，发展数学抽象、直观想象、数学运算等素养． 学习重点 学习难点 椭圆的定义和标准方程 椭圆的标准方程的推导 新课导入 现实生活中我们对“椭圆形状”也并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、篮球在阳光下的投影（如图）等．同学们在生活中见过椭圆形状的物品吗？ 新课学习 椭圆的定义 思考一下 结论 椭圆的对称性 例题来了 解： 椭圆的标准方程 x (0,-c) (0 , c) O F1 F2 P 解： 解法一 解法二 确定椭圆的标准方程，需要定位和定量： (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． （2）“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程（组）求解． 证明： 思考交流 a表示长半轴，b表示短半轴，c表示半焦距 当a为定值时,c越大,椭圆形状越扁,c越小,椭圆形状越像圆 拓展一下： 共焦点的椭圆系方程 焦点三角形 F2 x y F1 P 1.概念 2.焦点三角形的性质 课堂巩固 D B D D C 总结一下 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 感谢您的聆听 取一条一定长度的细绳，用笔在纸板上标记 两个点 和 ，将绳子的两端分别打个结，然后 用图钉将两个绳结分别固定在 ， 处，绳长大 于 和 的距离，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖 在画板上慢慢移动(始终保持绳子被拉紧的状态)， 画出曲线． 平面内到两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的集合（或轨迹）叫作椭圆． 其中这两个定点 ， 叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离 叫作椭圆的焦距． 如果绳长小于或者等于 和 的距离时，重复刚才的画图步骤还能画出椭圆吗？ (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．定值必须大于两定点的距离． (2)当距离的和等于 时，点的轨迹是线段． (3)当距离的和小于 时，点的轨迹不存在． 设点P为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知 （a为大于0的常数），设点 为点P关于直线 的对称点，则 （a为大于0的常数）这说明点 也在椭圆上，所以直线 是椭圆的对称轴（如图（1））． 类似地，可知线段 的垂直平分线MN也是椭圆的对称轴（如图（2）），线段 的中点O是椭圆的对称中心（如图（3））． 综上可知，椭圆是轴对称图形，直线 及线段 的垂直平分线都是椭圆的对称轴；椭圆也是中心对称图形，线段 的中点O是椭圆的对称中心． 例1已知 的周长为10，且 ，则 的顶点A的轨迹是什么？并说明理由． 因为 的周长为10，且 ，所以 ，且 ． 根据椭圆的定义可知， 的顶点A的轨迹是以B，C为焦点，焦距长为4的椭圆（不含椭圆与直线BC的交点）（如图）． 观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴． 我们以经过椭圆两焦点 ， 的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设椭圆的焦距 ，椭圆上任意一点到两个焦点 ， 的距离之和为 ．则焦点 ， 的坐标分别为 ． 如图，椭圆与直线 相交于 ，与线段 的垂直平分线相交于 ，根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得 ，且 ，所以 ， 于是有 为方便起见，记 ，则 ，从而 设 是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知点P满足 因为 ， ，所以 ， 即 两边平方、整理，得 上式两边再平方、整理，得 即 ，令 , 将 代入上式，得 ① 椭圆上任意一点的坐标都是方程 的解；以方程 的解为坐标的点都在椭圆上．我们将方程 叫作椭圆的标准方程，它的焦点在x轴上，两个焦点分别是 ，其中 ． 如果焦点在y轴，如图，其焦点分别为 ，用同样的方法可以推出标准方程为 其中 例2 已知椭圆的两个焦点分别为 ，并且经过点 ．求椭圆的标准方程． 因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为 ． 根据椭圆的定义知 从而 ． 又 ，所以 ． 所以椭圆的标准方程为 其图形如右图 因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为 ． 因为点 在椭圆上，又 ，所以 解 或 (舍)，则 ． 所以椭圆的标准方程为 ． 将点M的坐标代入 ，得 所以点 在椭圆 上． 例3 求证：点 在椭圆 上． 1.说明 在椭圆中表示那哪些线的长？ 2.当a为定值的时候，椭圆形状的变化与c有怎样的关系？ 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 焦点 的关系 当A，B，C同号时，方程 可以变形为 ，由此可见方程 表示椭圆的充要条件是A，B，C同号，且 ，此时称 表示椭圆的一般方程，当 时，椭圆的交点在x轴上，当 时，椭圆的交点在y轴上. 与椭圆 的公共焦点的椭圆系方程为 与椭圆 的公共焦点的椭圆系方程为 设P是椭圆上的一点， ， 为椭圆的 两个焦点，当点P， ， 不在同一条直线 上时，它们构成一个三角形，称作焦点三角形 在椭圆 中，设 ， 是椭圆的左、右焦点， 为椭圆上的一点， . 焦点三角形的周长为 焦点三角形的面积 （3）焦点三角形的面积 ，当 ，即P为椭圆与y轴交点时， 取得最大值，为bc. （4） ，当且仅当p为椭圆与y轴交点时取等号，此时 取得最大值. 1.若方程 表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：因为方程 ，即 表示焦点在y轴上的椭圆， 所以 ，即 ，所以实数k的取值范围是 . 2.长轴长为10，焦点坐标为 ， 的椭圆方程为( ) A. B. C. D. 解析：由题得椭圆焦点在y轴上，且 ，所以 ，由焦点坐标为 ， ， 所以 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为： . 3.如果方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. 或 D. 且 解析：因为方程 表示焦点在y轴上的椭圆， 所以 ，即 ，解得 且 . 4.下列与椭圆 焦点相同的椭圆是( ) A. B. C. D. 解析：由题意得，椭圆C中 ， ， 即焦点坐标为 和 ； 对于A选项，椭圆焦点在y轴上，不满足题意； 对于B选项，椭圆焦点在x轴上， ， ， ，不满足题意； 对于C选项，椭圆焦点在x轴上， ， ， 不满足题意； 对于D选项，椭圆焦点在x轴上， ， ， ，满足题意； 故答案为：D. 5.已知椭圆 ， ， 为两个焦点，P为椭圆C上一点，若 ，则 的面积为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析：由 解得 ， .因为 ， ，所以 ， . 6.已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是___________. 解析：方程 ，即 表示焦点在y轴上的椭圆， 得 ，解得 . 7.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2 ，则此椭圆的标准方程为_____________. 解析：由已知 ， ，所以 ， ，所以 . 又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为 . $$