2024年九年级中考数学函数专题学案——二次函数五大重要考点

二次函数五大重要考点 一、二次函数的概念 知识梳理 知识点 二次函数的概念 一般地，形如 (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 特别提醒：①等号右边是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0. 典型例题 例1 在下列各式中，y是关于x 的二次函数的是 ( ) A. y=4x+2 解析：y=4x+2是一次函数，故选项A不符合题意；当a≠0时， 才是二次函数，故选项 B不符合题意； 是二次函数，故选项 C符合题意； 等号右边是分式，不是二次函数，故选项D不符合题意. 答案: C 例2 已知 是关于x的二次函数，则m的值为 . 解析： 是关于x的二次函数,∴|m|=2且m-2≠0,∴m=-2. 答案:-2 强化训练 1.下列式子中二次函数有 ( ) ②y=x(x-1); A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.已知y关于x 的二次函数的解析式为y= 则a的值为 . 3.如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度为 20 m)的矩形鸡场.设边 BC的长为x m,鸡场的面积为 y m². (1)写出y关于x 的函数解析式(不需写自变 量取值范围)； (2)指出此函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 二、二次函数的图象与性质 （一） 二次函数 的图象与性质 探究图象 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 一般步骤：列表、描点、连线 x … ---3 -2 -1 0 1 2 3 … … … x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x² … x … -3 -2 ---1 0 1 2 3 … y=--x² … x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … x …… ---3 -2 ---1 0 1 2 3 … y=x² … x … -1.5 ---1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=-2x² … 2.观察所画图象，回答下列问题： (1)二次函数的图象是一条 (填“直”或“曲”)线，叫做抛物线. (2)抛物线都是轴对称图形，上述抛物线的对称轴是 . (3)抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，上述抛物线的顶点为 . (4)图1的函数图象(a 0):①开口向 (填“上”或“下”),开口随a的增大而 . ②当.x<0时，y随x的增大而 ；当 时，y随x的增大而 . ③当. 时,y有最 值,为 . (5)图2的函数图象(a 0):①开口向 (填“上”或“下”),开口随a的增大而 . ②当x<0时，y随x的增大而 ；当.x>0时，y随x的增大而 . ③当x=_时,y有最 值,为 . 3.根据以上规律，填写下表并补全函数图象： y=ax²(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向________ 向________ 开口大小 |a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大 对称轴 ________轴或x=0 顶点坐标 ________ 增减性 当x<0时，y随x 的增大而减小；当x>0时,_________________ 当x<0时,__________________; 当x>0时,_________________ 最值 当 x=____时,y最小值 ==___ 当x=____时,y最大值==___ 典型例题 例1 已知二次函数. 下列说法不正确的是 ( ) A.图象开口向下 B. y随x 的增大而减小 C.图象顶点的坐标为(0，0) D.图象的对称轴为y轴 解析：∵a=-3<0，∴二次函数的图象开口向下，故选项A不符合题意. ∵二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴， ∴当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项D不符合题意. 函数图象的顶点坐标为(0，0)，故选项C不符合题意. 答案: B 例2 (1)已知二次函数. 当x>0时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 . (2)若抛物线 过点. 则 y₂.(填“>”“<”或“=”) (3)如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为(①y=ax²;②y=bx²;③y=cx²;④y=dx².比较a,b,c,d的大小,并用“>”号连接: . 解析：(1)∵二次函数 图象的对称轴是y轴，且当. 时，y随x的增大而增大， (2)函数 的大致图象如图所示，开口向上，对称轴为y轴，点离对称轴越近，函数值越小. 到对称轴的距离分别为2，1，2>1， (3)∵抛物线①②的开口向上,∴a>0,b>0. ∵抛物线①开口较小,∴a>b. ∵抛物线③④的开口向下,∴c<0,d<0. ∵抛物线③开口较小,∴c<d.∴a>b>d>c. 答案: (1)a>1 (2)> (3)a>b>d>c 强化训练 1.如果抛物线 的开口向上，那么m的取值范围为 ( ) A. m≥1 B. m>1 C. m<1 D. m≤1 2.在下列抛物线中，开口最大的是 ( ) 3.二次函数 与一次函数y=ax+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) 4.(2022·荆门中考)抛物线 上有两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),若 则下列结论正确的是 ( ) 或 D.以上都不对 5.下列关于抛物线 的说法，正确的有 .(填序号) ①开口向下，顶点是原点； ②当x>0时，y随x的增大而减小； ③当-1<x<2时,-4<y<-1; ④若(m,p),(n,p)是抛物线 上的两点,则m+n=0. （二） 二次函数 的图象与性质 探究图象 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 一般步骤：列表、描点、连线 与 x --2 --1 -0.5 0 0.5 1 2 y=2x²+1 x --2 —1 一0.5 0 0.5 1 2 y=2x²-1 2.观察所画图象，回答下列问题： (1)抛物线 开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 . 在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 . 当 时,y有最 值,为 . (2)抛物线. 开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 . 在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 . 当 时,y有最 值,为 . (3)三个抛物线形状相同：抛物线 向 (填“上”或“下”)平移 个单位长度就得到抛物线 抛物线 向 (填“上”或“下”)平移 个单位长度就得到抛物线 3.根据以上规律，填写下表并补全函数图象： y=ax²+k(a≠0) a>0 a<0 图象 与y=ax² 的图象的关系 由y=ax²的图象向上平移|k|个单位长度得到 由y=ax²的图象向___平移___个单位长度得到 由y=ax²的图象向___平移___个单位长度得到 由y=ax²的图象向___平移___个单位长度得到 开口方向 向_______ 向________ 开口大小 |a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大 对称轴 ________轴(或x=0) 顶点坐标 ________ 增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，________________ 在对称轴左侧，________________；在对称轴右侧，______________ 最值 x=____时,y最小值=____ x=______时,y最大值==___ 典型例题 例1 (1)下列关于抛物线 的说法正确的是 ( ) A.抛物线开口向上 B.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 C.在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D.顶点坐标为(1,3) (2)在下列选项中，描述函数 与 的图象可能是 ( ) 解析:(1)∵抛物线 ∴抛物线开口向下，对称轴为x=0，顶点坐标为(0，3)，∴当 时，y随x的增大而增大，当. 时，y随x的增大而减小.故选项C说法正确. (2)在选项 A中, 的 的 故选项 A不符合题意； 在选项B中， 的 的 故选项B符合题意； 在选项C中， 的 的 故选项C不符合题意； 在选项D中， 的 的 故选项D不符合题意. 答案:(1)C (2)B 例2 (1)(2020·上海中考)如果将抛物线 向上平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是 . (2)对于二次函数 当--2<x≤1时,y的取值范围是 . 解析：(1)将抛物线 向上平移3个单位长度得到抛物线的解析式是 (2)∵二次函数 ∴该函数图象开口向下，对称轴为y轴. 当x>0时，y随x的增大而减小； 当x<0时，y随x的增大而增大. 当x=0时,y取得最大值5; 当x=-2时,y=-3; 当x=1时,y=3. ∴当—2<x≤1时,y的取值范围是-3<y≤5. 答案：(1)y=x²+3 (2)-3<y≤5 强化训练 1.二次函数 的图象大致是 ( ) 2.下列关于二次函数 的图象及性质的说法不正确的是 ( ) A.它们的对称轴都是y轴 B.对于函数 当x>0时,y随x的增大而减小 C.抛物线 不能由抛物线 y= 通过平移得到 D.抛物线 的开口比抛物线y= 的开口大 3.(一题多解)已知A(--2,y₁),B(--1,y₂),C(3,y₃)三点都在二次函数. 的图象上,则y₁,y₂,y₃的大小关系是 ( ) 4.在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=-kx+2与二次函数 的图象可能是 ( ) 5.如果将抛物线 向下平移2个单位长 度,那 么 所 得 新 抛 物 线 的 解 析 式是 . （三）二次函数 的图象与性质 探究图象 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 一般步骤：列表、描点、连线 x -4 --3 -2 --1 0 1 2 y=₂(x+1) … x *** -2 -1 0 1 2 3 4 y=₂(x-1) … 2.观察所画图象，回答下列问题： (1)抛物线 开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 . 当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. 当 时,y有最 值,为 . (2)抛物线 开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 . 当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. 当 时,y有最 值,为 . (3)三条抛物线形状相同：抛物线 向 (填“左”或“右”)平移 个单位长度就得到抛物线 抛物线 向 (填“左”或“右”)平移 个单位长度就得到抛物线 3.根据以上规律，填写下表并补全函数图象： y=a(x-h)²(a≠0) a>0 a<0 图象 h<0 h<0 与y=ax²的图象的关系 由y=ax²的图象向右平移|h|个单位长度得到 由y=ax²的图象向___平移___个单位长度得到 由y=ax²的图象向___平移___个单位长度得到 由y=ax²的图象向___平移___个单位长度得到 开口方向 向________ 向________ 开口大小 |a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大 对称轴 x=________ 顶点坐标 ________________ 增减性 当x________时，y随x的增大而减小；当x_______时，y随x的增大而增大 当x________时，y随x的增大而增大；当x_______时，y随x的增大而减小 最值 当 x=___时,y最小值=____ 当x=____时,y最大值==___ 典型例题 例1 (1)下列关于二次函数： 的图象及性质说法正确的是 ( ) A.对称轴是x=-3 B.开口向下 C.最大值是3 D.当x<3时，y随x的增大而减小 (2)若在正比例函数y=kx中，y随x的增大而减小，则二次函数. 的图象大致是( ) 解析:(1)抛物线. 的图象的对称轴是x=3，故选项A不符合题意； ∵a=1>0,∴抛物线 的图象开口向上，故选项B不符合题意； ∵抛物线的顶点坐标为(3，0)，有最小值，没有最大值，故选项C不符合题意； 当x<3时，y随x 的增大而减小，故选项D符合题意. (2)由于在正比例函数y=kx中，y随x的增大而减小，故 .根据二次函数的图象和性质，得抛物线 的开口向下，且顶点坐标为(1，0)，对称轴为 ，对比选项中的图象，知选项B符合题意. 答案: (1)D (2)B 例2 (1)已知点( 都在二次函数. 的图象上，则. 与y₃的大小关系为 .(用“>”号连接)y₃ (2)将抛物线y=x²向右平移1个单位长度得到抛物线 ；将抛物线 向 平移 个单位长度得到抛物线 解析:(1)函数. 的大致图象如图所示，抛物线开口向下，对称轴为. 点离对称轴越近，函数值越大. 到对称轴的距离分别为8,4,3, (2)将抛物线 向右平移1个单位长度得到抛物线. 将抛物线 向左平移2个单位长度得到抛物线 答案：(1)y₁<y₂<y₃ (2)y=(x-1)² 左 2 强化训练 1.关于函数. ²的图象，下列说法不正确的是 ( ) A.开口向下 B.对称轴是x=m C.最大值为0 D.与y轴不相交 2.在平面直角坐标系中，二次函数 1)²|的图象可能是 ( ) 3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b和二次函数. 的图象可能为 ( ) 4.抛物线. 的开口 ，顶点坐标是 .当x 时，y随x 的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大. 5.已知二次函数 的图象上有两点A(0,y₁)和B(3,y₂),若 则a的取值范围是 . （四）二次函数 的图象与性质 探究图象 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 一般步骤：列表、描点、连线 x … -3 -2 一1 0 1 2 3 *** y=₂x … ··· x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 y=₂(x 1)²-1 … 2.观察所画图象，回答下列问题： (1)抛物线 开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 . 当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. 当 时,y有最 值,为 . (2)两个抛物线形状相同：抛物线 的图象可以看成是由 的图象先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度得到的. 3.根据以上规律，填写下表并补全函数图象： y=a(x-h)²+k(a≠0) a>0 a<0 图象 与y=ax²的图象的关系 y=ax² -片的(k>0),向左(k<0)平均个单位长度(>0);y=a(x-h)²+k 开口方向 向_________________ 向________________ 开口大小 |a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大 对称轴 x=_______________ 顶点坐标 ________________ 增减性 当x_______________时，y随x的增大而减小；当x_______________时，y随x的增大而增大 当 x _________________时,___________________________; 当 x_______________________时,______________________________ 最值 当x=______________时,y最小值==______________ 当x=_____________时,y最大值=_________________ 典型例题 例1 (1)(2022·郴州中考)关于二次函数 ，下列说法正确的是 ( ) A.函数图象开口向下 B.函数图象的顶点坐标是( C.该函数有最大值，最大值是5 D.当x>1时，y随x的增大而增大 (2)二次函数. 的图象大致为 ( ) 解析:(1)在. 中，a=1>0，∴函数图象开口向上，有最小值5，故选项A，C错误. 函数图象的顶点坐标是(1，5)，故选项B错误. 函数图象的对称轴为x=1，当 时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，故选项 D正确. (2)二次函数. 的图象开口向上，对称轴为x=—2，顶点坐标为( 函数的图象大致为选项D中的图象. 答案:(1)D (2)D 例2 (1)(一题多解)已知抛物线x 是抛物线上的三)点,则y₁,y₂,y₃y₁,y₂,y₃₃的大小关系为 .(用“>”号连接) (2)将抛物线 先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为 ；将抛物线. 先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的解析式为 . 解析：(1)方法1：代入求值 将 三点的横坐标分别代入 得 方法2：数形结合 函数 的大致图象如图所示. ∴抛物线开口向上，对称轴为 点离对称轴越近，函数值越小. 到对称轴的距离分别为5，1，2， (2)将抛物线 先向右平移5个单位长度，得到 再向上平移3个单位长度，得到 将抛物线 先向左平移2个单位长度，得到 即 再向下平移2个单位长度，得到 即 答案：(1)y₁>y₃>y₂ (2)y=(x-5)²+3 y=x²-1 归纳总结 比较两个二次函数值大小的方法： 1.代入求值：把自变量直接代入解析式中求值. 2.数形结合：利用抛物线上的点到对称轴的距离比较大小.当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大；当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越小，相应的函数值越大. 强化训练 1.(2022·哈尔滨中考)抛物线 的顶点坐标是 ( ) A.(9,-3) B.(-9,-3) C.(9,3) D.(-9,3) 2.下列关于抛物线. 的判断中，错误的是 ( ) A.形状与抛物线 相同 B.对称轴是x=-1 C.当x>-2时,y随x的增大而减小 D.当-3<x<1时,y>0 3.若抛物线. 的顶点在第二象限，则m的取值范围是 ( ) A. m>1 B. m<2 C.1<m<2 D.-2<m<-1 4.如果一次函数y=bx+c|的图象经过第一、二、三象限，那么函数 的图象可能是 ( ) 5.将抛物线 先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得的新抛物线的解析式为 ( ) 6.(2020·广安中考)已知二次函数y=a(x- (a,c为常数,a<0),当自变量x分别取 ,0,4时,所对应的函数值分别为y₁,y₂,y₃,则y₁,y₂,y₃的大小关系为 .(用“<”号连接) 7.抛物线. 的开 口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 . 当 x>4 时,y 随 x 的增大而 ;当0≤x≤3时,y的最小值是 ,y的最大值是 . （五） 二次函数 的图象与性质 知识梳理 知识点1 一般式→顶点式 一般地，二次函数 可以通过配方法化成 的形式，即 知识点2 二次函数. 的图象与性质 y=ax²+ bx+c(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 x=-b/a 顶点坐标 (-b,4ac-b,4ac-l₄a²) 增减性 当x<-b/2a时，y随x 的增大而减小；当x>-b/2a时,y随x的增大而增大 当x<-b/2a时，y随x 的增大而增大；当x>-b/2a时,y随x的增大而减小 最值 当x=-b₂/时,yæ小值=4ac--4ae 当x=-b/2a时,y最大值=4ac-b² 典型例题 例 1 (1)利用配方法求二次函数 图象的对称轴和顶点坐标. (2)利用公式法求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 解:(1)∵y=1-4x-2x²=-2(x²+2x+1-1)+1=-2[(x+1)²-1]+1=-2(x+1)²+3,∴该二次函数图象的对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1，3). (2)①∵a=-1,b=-2,c=0, ∴二次函数 图象的对称轴是x=--1,顶点坐标是(-1,1). ∴二次函数 图象的对称轴是. ，顶点坐标是( 例2 已知二次函数 (1)求该函数图象的顶点坐标、与坐标轴的交点坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的大致图象. (2)利用函数图象回答：已知 两点在函数图象上，若. ,则y₁ y₂(填“>”“<”或“=”);当 时，y的取值范围是 . (3)将二次函数 的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 . 解: ∴该函数图象的顶点坐标为(1,4). 当x=0时,y=3,∴该函数图象与y轴的交点坐标为(0,3). 当y=0时, 解得 ∴该函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0). 二次函数 的大致图象如图所示. (2)由二次函数 的图象可知，当. 时,y随x的增大而增大. 在 范围中,当x=1时,y取得最大值,最大值为4;当x=—2时,y=-5;当x=2时,y= 3.∴当-2≤x≤2时,y的取值范围是-5≤y≤4. (3)∵二次函数 ∴将二次函数 的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 即 归纳总结 抛物线 的顶点坐标和对称轴的求法 强化训练 1.二次函数. 的图象是 ( ) 2.下列对二次函数 图象和性质的描述正确的是 ( ) A.该函数图象的对称轴在y轴左侧 B.函数图象开口向下 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.该函数图象与 y轴的交点位于y 轴负半轴 3.(2022·陕西中考 A 卷)已知二次函数 y= 的自变量x₁，x₂，x₃对应的函数值分别为y₁,y₂,y₃.当 时，y₁，y₂，y₃三者之间的大小关系是 ( ) 4.(2022·牡丹江中考)将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 . 5.已知二次函数 的自变量x与函数值y满足下列数量关系(如表)，则代数式a-b+c的值等于 . x … 0 1 2 3 y …… -3 -1 -3 —9 6.已知抛物线 (1)请直接写出抛物线 的顶点A以及与y轴的交点B 的坐标，并在给出的坐标系中描出A，B两点，画出该抛物线(不用列表)； (2)结合图象，请直接写出当1<x<4时，y的取值范围. 三、 利用待定系数法求二次函数的解析式 （一）利用“一般式”求二次函数的解析式 知识梳理 知识点 1 二次函数的“一般式” 二次函数的“一般式” 当条件中已知图象上任意三点坐标或任意三对x，y的值时，我们可以设“一般式”求二次函数的解析式. 知识点2 利用“一般式”求二次函数解析式的一般步骤 (1)设：设二次函数的解析式为 (2)列:将函数图象上已知的三点(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃)代入解析式,列三元一次方程组; (3)解：解三元一次方程组，确定a，b，c的值； (4)代:把a,b,c的值代入 确定二次函数的解析式. 典型例题 例 已知二次函数的图象经过点A(-1,-1),B(0,2),C(1,3),求该二次函数的解析式. 解：设该二次函数的解析式为 将A(-1,-1),B(0,2),C(1,3)代入 得 解得 ∴该二次函数的解析式为 强化训练 1.已知抛物线过点A(2,0),B(--1,0),与y轴交于点C，且OC=2，则这条抛物线的解析式为 ( ) 或. 或 2.已知二次函数 的图象如图所示，则该二次函数的解析式为 . 3.已知二次函数 的自变 量x与函数值y的部分对应值如下表： x -1 0 1 2.5 3 … y=ax²+ bx+c m 1 --2 n -2 根据表中信息，回答下列问题： (1)直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴； (2)求此二次函数的解析式. （二）利用“顶点式”求二次函数的解析式 知识梳理 知识点 1 二次函数的“顶点式” 二次函数的“顶点式”— 当条件中包含有关“顶点”的信息(如：顶点坐标、对称轴、最大值或最小值)时，我们可以设“顶点式”求二次函数的解析式. 知识点2 利用“顶点式”求二次函数解析式的一般步骤 (1)设：设二次函数的解析式为 其中(h，k)是抛物线的顶点； (2)列：将函数图象上的已知点(x₁，y₁)代入解析式，得到一个一元一次方程； (3)解：解一元一次方程，确定a的值； (4)代:把a,h,k的值代入 ，确定二次函数的解析式. 典型例题 例 已知抛物线的顶点坐标为(2，-1)，且图象经过点(1，3)，求此抛物线的解析式. 解：∵抛物线的顶点坐标为(2，—1)，∴设抛物线的解析式为 把(1,3)代入 得a-1=3,解得a=4, ∴此抛物线的解析式为 强化训练 1.(1)已知抛物线的顶点坐标为(1，2)，且图象过点(2，3)，求该抛物线的解析式； (2)已知当x=1时，二次函数有最大值，最大值为5，且图象过点(0，-3)，求该二次函数的解析式. 2.已知一抛物线与x轴交于(2,0),(4,0)两点,顶点到 x 轴的距离为 3，求该抛物线的解析式. （三）利用“交点式”求二次函数的解析式 知识梳理 知识点1 二次函数的“交点式” 二次函数的“交点式” 当条件中已知图象与x轴的两个交点的横坐标时，我们可以设“交点式”求二次函数的解析式. 知识点2利用“交点式”求二次函数解析式的一般步骤 (1)设:已知A(x₁,0),B(x₂,0)是抛物线与x轴的交点,设二次函数的解析式为. (2)列：将函数图象上已知点( 代入解析式，得到一个一元一次方程； (3)解：解一元一次方程，确定a的值； (4)代:把a的值代入. (5)化简:将. 化简为 的形式，确定二次函数解析式. 典型例题 例 已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-6)，利用“交点式”求该抛物线的解析式. 解:设该抛物线的解析式为 y=a(x--1)(x--3). 将(0,-6)代入,得3a=-6,解得a=-2, ∴该抛物线的解析式为y=-2(x-1)(x-3),即 强化训练 1.已知抛物线与x轴交于点(-1,0),(3,0),与y轴交于点(0，—3)，则此抛物线的解析式为 ( ) 2.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示，则该二次函数的解析式为 . x ... 0 1 2 3 4 y 3 0 -1 0 3 3.已知二次函数的图象经过点(3,0),(1,-4),对称轴是x=1，求该二次函数的解析式. （四）二次函数与方程、不等式 1. 二次函数与一元二次方程 探究图象 二次函数 的图象如图所示. (1)①二次函数 的图象与x轴有 个交点，是 ； ②二次函数 的图象与x轴有 个交点，是 ； ③二次函数 的图象与x轴 交点(填“有”或“没有”). (2)①一元二次方程. 有 实数根，为 ； ②一元二次方程 有 实数根，为 ； ③一元二次方程x²-2x+3=0 实数根(填“有”或“没有”). 总结 1.二次函数与一元二次方程之间的关系 二次函数 的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 的根；反过来，一元二次方程 的根是二次函数 的图象与x 轴交点的横坐标. 2.二次函数 的图象与x轴的交点情况 二次函数y=ax²+ bx+c的图象与x轴的交点个数 一元二次方程ax²+ bx+c=0;根的情况 一元二次方程ax²+ bx+c=0根的判别式Δ=b²-4ac 2 两个不相等的实数根 △>0 1 两个相等的实数根 △=0 0 没有实数根 △<0 典型例题 例1 二次函数 的图象如图所示，图象过 A(2.18，一0.51),B(2.68,0.54)两点,则方程 的一个根可能是 ( ) A. x=2.18 B. x=2.68 C. x=-0.51 解析:∵图象过A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)两点,∴当x=2.18 时,y=-0.51;当x=2.68时,y=0.54.∴当y=0时, ，只有选项D符合题意. 答案:D 例2 (1)已知函数 的图象如图所示，则关于x的方程 c—3=0的根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个异号的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 (2)抛物线 与x轴的交点的个数是 ；若抛物线 与x轴有两个交点，则m的取值范围是 . 解析： 的根即为函数 的图象与直线y=3的交点的横坐标. 如图所示，直线y=3与函数. 的图象有两个交点，且都在y轴右侧， ∴关于x的方程 有两个不相等的实数根，且两个实数根同号. (2) <0, ∴抛物线 与x轴的交点的个数是0. ∵抛物线 与x 轴有两个交点， 解得m<1. 答案:(1)C (2)0 m<1 强化训练 1.二次函数 的几组x与y的对应值如下表所示. x 6.17 6.18 6.19 6.20 ·· y=ax²+ bx+c … -0.03 -0.01 0.02 0.06 … 根据表中数据，判断方程 的一个根的范围是 ( ) A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20 2.抛物线 与 x轴的两个交点间的距离是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知二次函数 的图象与x 轴有交点，则m的取值范围是 ( ) A. m≤5 B. m≥2 C. m<5 D. m>2 4.已知二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标是(3，0)，则关于x的一元二次方程 的两个实数根是 . 5.如图所示，已知 P 是二次函数 图象的顶点，若关于 x的一元二次方程 bx--1+m=0有实数根,则m的取值范围是 . 2 二次函数与不等式 知识梳理 知识点 二次函数与不等式的关系 当二次函数 的函数值大于0，即不等式 时，解集为图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围；当二次函数 的函数值小于0，即 时，解集为图象在x轴下方的部分所对应的x的取值范围. 典型例题 例1 二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程ax²+bx+c=0的根是 ； (2)不等式ax²+bx+c>0的解集是 ； (3)不等式ax²+bx+c<0的解集是 ； (4)不等式ax²+bx+c>-3的解集是 . 解析:(1)∵二次函数. 的图象与x轴的交点坐标为( ∴方程 的根是 (2)如图1所示，不等式 的解集是. 或 (3)如图2所示，不等式 的解集是 (4)如图3所示，二次函数 的图象与直线. 交于( 两点，故不等式 的解集是 或 答案： 或x>3 (3)-1<x<3(4)x<0或 例2 如图，已知抛物线 与直线y=kx+m交于A(-3,-1),B(0,3)两点,则关于x的不等式ax²+bx+c>kx+m的解集是 . 解析：由题图，得不等式 的解集是-3<x<0. 答案: -3<x<0 强化训练 1.二次函数 的部分图象如图所示，由图象可知不等式 的解集是 ( ) A.-1<x<5 B. x>5 C. x<-1且x>5 D. x<-1或x>5 2.已知二次函数 则使y≤1成立的x的取值范围是 ( ) A.-3≤x≤1 B.-1≤x≤3 C.x≥-3 D.x≤-1或x≥3 3.如图，已知二次函数 与一次函数 的图象相交于点A(--4，-3),B(2,3),则关于x的不等式 c≤kx+m的解集是 . 4.二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)方程 的两个根为 ； (2)不等式 的解集为 ； (3)y随x的增大而减小的自变量x 的取值范围为 ; (4)若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 . 3 二次函数的图象与字母系数之间的关系 知识梳理 知识点1 二次函数 的图象与a，b，c的关系 系数及其决定对象 系数特点 图象特征 a 决定抛物线开口大小和方向 a>0 开口向上 a<0 开口向下 |a|越小 开口越大 |a|越大 开口越小 b a，b的符号决定对称轴的位置 b=0 对称轴为y轴 a,b同号 对称轴在y轴左侧 a,b异号 对称轴在y轴右侧 c 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与 y轴负半轴相交 知识点2判断与a，b，c相关的常见代数式与零的大小关系 与x轴有两个交点， 看抛物线与x轴的交点<与x轴有一个交点， 与x轴没有交点， (2)2a+b或2a-b:看对称轴与直线x=1或x=-1的位置; (3)a+b+c或a-b+c:令x=1或x=-1,看函数值; (4)4a+2b+c或4a-2b+c:令x=2或x=-2,看函数值; (5)9a+3b+c或9a-3b+c:令x=3或x=-3,看函数值. 典型例题 例1 (2022·株洲中考)已知二次函数 其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为 ( ) 解析：∵c>0，∴-c<0，∴函数图象与y轴负半轴相交，故选项 A，D不符合题意. 当 时，函数图象开口向上.∵b>0，∴对称轴 故选项B不符合题意. 当 时，函数图象开口向下.∵b>0，∴对称轴 故选项C符合题意. 答案: C 例2 (2022·毕节中考)在平面直角坐标系中，已知二次函数 0)的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc>0;②2a-b=0;③9a+3b+c>0;④b²>4ac;⑤a+c<b. 其中正确的结论有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：∵二次函数 的图象开口向下，∴a<0. ∵对称轴为 ∵图象与y轴的交点在y轴正半轴上,∴c>0,∴abc<0,∴结论①错误. ∵b=-2a,∴2a+b=0,∴结论②错误. 由图象可知点(-1,0)关于x=1对称的点为(3,0). ∵当x=-1时,y<0,∴当x=3时,y<0,∴9a+3b+c<0,∴结论③错误. ∵图象与x轴有两个交点,∴b²-4ac>0,∴b²>4ac,∴结论④正确. ∵当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,∴a+c<b,∴结论⑤正确.故正确的结论有2个. 答案:B 强化训练 1.已知二次函数 (其中a,b,c是常数，a≠0)的图象如图所示，则下列判断正确的是 ( ) A. b>0,c>0 B. b>0,c<0 C. b<0,c<0 D. b<0,c>0 2.(2022·巴中中考)如图,函数 的图象是由函数 的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成的，则下列结论正确的是 ( ) ①2a+b=0; ②c=3; ③abc>0; ④将图象向上平移1个单位长度后与直线 y=5有3个交点. A.①② B.①③ C.②③④ D.①③④ 3.如图，已知二次函数 的图象的对称轴为 有下列结论： ①abc>0;②b²-4ac>0;③a-b=0;④2b+c>0;⑤4a+c<2b. 其中正确的结论有 .(填序号) 四 二次函数的实际应用 （一） 二次函数与图形面积 知识梳理 知识点 利用二次函数求几何图形面积最值的步骤 (1)引入自变量； (2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量(有的量是具体数值，无需用含有自变量的代数式表示)； (3)用函数表示几何图形的面积(若图形规则，则直接套用面积公式；若图形不规则，则先进行分割再套用面积公式)，列出函数解析式； (4)根据函数解析式，用公式法或配方法求出最值及取得最值时相应的自变量的值. 典型例题 例1 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18 m，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB 的长为x m，苗圃园的面积为 (1)求y关于x的函数解析式. (2)当x为何值时，苗圃园的面积最大?最大面积为多少? 解:(1)由题意,得AB=DC=xm,BC=(30-2x)m,∴y=x(30-2x)=-2x²+30x. 由题意,得0<30-2x≤18,解得6≤x<15, ∴y关于x的函数解析式为. (2)由(1)知, ∵--2<0,6≤x<15,∴当 时，y有最大值，最大值为 答：当 时，苗圃园的面积最大，最大面积为 例2 如图所示,在△ABC中, 点 P 从点 A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿边BC 向点C 以2cm/s的速度运动.P，Q分别从A，B同时出发，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为ts(t≥0). (1)当t为何值时,PQ的长为5cm ? (2)设 的面积为 ，求出S关于t的函数解析式.点 P，Q出发几秒时，S最大?最大面积是多少? 解:由题意,得AP=t cm,BQ=2t cm.∵AB=5cm,∴PB=AB-AP=(5-t) cm. (1)在 中，由勾股定理，得 即 解得t=0或 答:当t的值为0或2时,PQ的长为5cm . (2)∵当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动， ∴S关于t的函数解析式为 ∴当 时，S有最大值，最大值为 . 答:点P,Q出发 s时，S最大，最大面积是 强化训练 1.如图，某农场要盖三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏.若该农场计划用木材围成总长为24 m的栅栏，设羊圈面积为 S(m²)，垂直于墙的一边长为x(m)，则S关于x的函数解析式为 .(写出自变量的取值范围) 2.(2022·威海中考)如图，某农场要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25 m，木栅栏长47 m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口(另选材料建出入门).求养鸡场的最大面积. 3.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6 cm,BC=12 cm,点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以1 cm/s的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿边BC 向点C 以 2 cm/s的速度移动.点 P,Q分别从点A，B同时出发. (1)设经过ts后,PB= cm.(用含 t的代数式表示) (2)经过几秒,△PBQ的面积等于9 cm²? (3)经过多长时间，五边形APQCD的面积最小?最小面积是多少? （二） 二次函数与商品利润 知识梳理 知识点 利用二次函数求商品利润的最值 利润问题反映的是销售额与单价、销售量与利润之间的关系.为解决这类实际问题，我们需要掌握几个重要的公式：①利润=售价一进价；②总利润=单个商品的利润×销售量；③利润率=利润×100%.通过公式建立二次函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题，从而使问题得以解决. 典型例题 例1 (2022·朝阳中考节选)某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数).当每件消毒用品的售价为9元时，每天的销售量为105 件；当每件消毒用品的售价为11元时，每天的销售量为95件. (1)求y与x之间的函数解析式. (2)设该商店销售这种消毒用品每天获利w(元)，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b. 由题意，得 解得 ∴y与x之间的函数解析式为y=-5x+150. (2)由题意,得we 05. ∵8≤x≤15,且x为整数,当x<19时,ω随x的增大而增大, ∴当x=15时，ω有最大值，最大值为 答：当每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元. 例2 某商城某种商品平均每天可销售20件，每件获得利润40元.为庆祝元旦，商城决定对该商品进行促销，经调查发现，该商品每件每降价1元，平均每天可多售出2件.设该商品每件降价x元.请解答下列问题： (1)用含x的代数式表示：①降价后每售出一件该商品获得利润 元；②降价后平均每天售出 件该商品. (2)在此次促销活动中，商城若要获得最大利润，该商品每件应降价多少元?此时每天获得的最大利润为多少元? 解:(1)①(40-x) ②(20+2x) (2)设每天获得的利润为y元. 根据题意，得y 0. ∵--2<0,0≤x≤40, ∴当x=15时,y有最大值,最大值为1250. 答：商城若要获得最大利润，该商品每件应降价15元，此时每天获得的最大利润为1250元. 强化训练 1.已知将进货价格为35元的商品按单价40元出售时，每天能卖出200个，且该商品单价每上涨1元，其日销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元，每天获得的利润为y元，则下列y关于x 的解析式正确的是 ( ) A. y=(x-35)(200-5x) B. y=(x+40)(200-10x) C. y=(x+5)(200-5x) D. y=(x+5)(200-10x) 2.(2022·聊城中考改编)某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元.在销售过程中，每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为多少元?(利润=总销售额一总成本) 3.(2022·贺州中考)2022年在中国举办的冬奥会和冬残奥会令世界瞩目，冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融也成为热销产品.某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若每套的售价是48元，则每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少售出4套.设冰墩墩和雪容融套件每套的售价定为x元，每天的销售量为y套. (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当每套的售价定为多少元时，每天销售套件所获得的利润最大，最大利润是多少元? （三） 抛物线形实际问题 知识梳理 知识点 利用二次函数解决抛物线形问题 常见情形 解题步骤 抛物线形建筑物 常见的抛物线形建筑物有拱形桥、涵洞、隧道洞门、拱形门窗等 (1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在坐标系中； (2)从已知和图象中获得求二次函数解析式所需要的条件； (3)利用待定系数法求出抛物线的解析式； (4)运用已求出的抛物线的解析式去解决相关问题 运动路线问题 运动员空中跳跃轨迹、球类运行的轨迹、喷头喷出的水的轨迹等 解题技巧 一般把抛物线的顶点作为原点建立平面直角坐标系，用待定系数法求二次函数的解析式时，可设解析式为 y=ax² 典型例题 例1 (2022·广安中考)一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶距离水面2m时，水面宽6 m.水面下降 m时,水面宽8 m. 解析：如图，以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点. 由题意，得AO=OB=3m，点C的坐标为(0，2)，∴可设抛物线的解析式为 把点A(-3,0)代入,得9a+2=0,解得 ∴抛物线的解析式为 当x=4时, ∴水面下降 时,水面宽8 m. 答案： 例2 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m .求水管的长为多少. 解：∵抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，∴设抛物线的解析式为 将(3,0)代入,得 解得 ∴抛物线的解析式为 令x=0,得y=2.25. 答:水管的长为2.25 m. 强化训练 1.如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是 ( ) A.3m B.3. 5m C. 4m D.4.5m 2.如图1，单孔拱桥的形状近似为抛物线形，建立如图2所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度OA 为12 m，拱桥的最高点 B 到水面OA 的距离为6m ，则此抛物线的解析式为 . 3.(2022·甘肃中考)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系 则当小球的飞行高度达到最大时，飞行时间t= s. 4.如图，某尾桥的桥拱是抛物线形，水面宽度AB=8 m，桥拱最高点C到水面的距离为6 m. (1)建立适当的平面直角坐标系，并求抛物线的解析式； (2)现有一艘高4.5m、宽4m 的游船,为了保证安全，船顶距离桥拱面至少0.2m ，通过计算说明这艘游船能否安全通过这座桥. 第五章 二次函数的最值问题 （一）二次函数的区间最值问题 方法指导 1.当自变量取全体实数时，求二次函数的最大(小)值的方法有三种： (1)配方法：配方化为顶点式求最大(小)值； (2)公式法：直接带入顶点坐标公式求最大(小)值； (3)公式加代入法：先用公式求出 的值，再代入函数解析式中求最大(小)值. 2.当自变量取某个范围(区间)时，要根据函数图象的开口方向、对称轴与自变量范围(区间)的关系进行分类讨论(见下表)，其中对称轴为： ，自变量的取值范围为. h≤x₁ h≥x₂ x₁≤h≤x₂ 二次函数y=a(x-h)²+k a>0 当x=x₁时,y取最小值,当x=x₂时，y取最大值 当x=x₂时,y取最小值,当x=x₁时，y取最大值 当x=h时，y取最小值，若x₁(x₂)离h较远,则当x=x₁(x₂)时,y取最大值 a<0 当x=x₁时,y取最大值,当x=x₂时，y取最小值 当x=x₂时,y取最大值,当x=x₁时，y取最小值 当x=h时，y取最大值，若x₁(x₂)离h较远,则当x=x₁(x₂)时,y取最小值 典型例题 例1 求下列条件下，二次函数 的最值： (1)x为任意实数; 解:( 思路导引 (1)将函数解析式配方成顶点式后，根据二次函数的性质即可求得最值.∴当x=3时,y有最小值,最小值为-4. (2)当 时，y随着x的增大而减小；当 时，y随着x的增大而增大.画出二次函数图象，根据图象即可求出 范围内的最值.(2)当1≤x≤6时,函数图象如图所示. (3)分三种情况讨论：对称轴在所给范围的左侧；对称轴在所给范围内；对称轴在所给范围的右侧.画出草图即可求得最值.由图象知，当x=3时，y取得最小值， 当x=6时，y取得最大值， ∴当1≤x≤6时,y的最大值为5,最小值为-4. (3)当t≤x≤t+3时,对t进行分类讨论: ①如图1，对称轴在所给范围的右侧， 有t+3<3,即t<0时,y随x的增大而减小, ∴当x=t+3时,y取得最小值, 当x=t时，y取得最大值， ②对称轴在所给范围内，即0≤t<3时，分两种情况： (ii)当 时,如图2, ∴当x=3时,y取得最小值, 当x=t时，y取得最大值， (ii)当 时,如图3, ∴当x=3时,y取得最小值, 当x=t+3时,y取得最大值, ③如图4，对称轴在所给范围的左侧，即t≥3时，y随x的增大而增大， ∴当x=t时,y取得最小值, 当x=t+3时,y取得最大值, 例2 (1)已知二次函数. 当 时，y有最小值 ,则m的值为 . (2)已知二次函数. 为常数)，当 时，y的最小值为5，则h的值，为 . 解析：(1) ∴抛物线的对称轴为 ①当 时，抛物线的开口向上，对称轴在所给区间内,∴当. 时，y取得最小值， 解得 ②当 时，抛物线的开口向下，如图.由图可知，当 时，y取得最小值， 解得 (2)由题意可知a=1>0，抛物线的开口向上，对称轴为x=h,∴当x>h时,y随x的增大而增大,当x<h时,y随x的增大而减小. ①如图1,若h<1,则当x=1时,y取得最小值5,可得 解得h=-1或h=3(舍去); 思路导引 (1)先求出对称轴为 分 和 两种情况讨论解答即可求得m的值. (2)由函数解析式可知该函数在 时取得最小值1，当 时,y随x的增大而增大；当 时,y随x的增大而减小.根据 时，函数的最小值为5，分以下几种情况讨论：①若 则当 时,y取得最小值5；②若 则当x=3时,y取得最小值5;③若 h≤3,则当x=h 时,y取得最小值1≠5，此种情况不存在. ②如图2,若h>3,则当x=3时,y取得最小值5,可得( 解得h=5或. (舍去); ③如图3,若1≤h≤3,则当x=h时,y取得最小值,y最小值=1≠5,此种情况不符合题意，舍去. 综上所述，h的值为—1或5. 答案:(1)5或-- (2)-1或5 强化训练 1.若二次函数 的图象经过点(0，3)，则y的最小值是 ( ) A.-1 B.3 C.5 D.7 2.已知实数x,y满足. 则x+y的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.在二次函数 中,当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是 ( ) A.0,-4 B.0,-3 C. -3,-4 D.0,0 4.当a≤x≤a+1时,函数 的最小值为1，则a 的值为 ( ) A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 5.已知二次函数 (m为常数),当—1≤x≤2时,函数的最小值为-2,则m的值是 . 6.已知 是关于x的二次函数,当1≤x≤3时,y在x=1处取得最大值,则实数a 的取值范围是 . （二） 利用二次函数的性质解决线段最值问题 方法指导 1.竖直(铅垂)线段的最值问题 如图，P为抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴交直线AC 于点Q，求线段 PQ的最大值. 解题方法： 第一步 求抛物线以及直线AC的解析式； 第二步 设点，表示出点 P，Q的坐标(设点 P的横坐标为m，则点Q的横坐标也为m，再用含m的代数式表示出这两点的纵坐标)； 第三步 表示线段 PQ的长度(将P，Q两点的纵坐标作差，即可得到 PQ关于m的二次函数解析式)； 第四步 利用二次函数的性质求最大值. 2.斜(垂)线段的最值问题 如图，P为抛物线上一点，过点 P作PH⊥AC于点H，求 PH 的最大值(或点 P 到直线AC 的距离的最大值). 解题方法：如图，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点Q.利用∠ 得到 (常数)，把求 PH的最大值转化为求kPQ 的最大值. 知识储备： 相似三角形的相关概念：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似用符号“∽”表示,读作“相似于”, 与 相似记作“ ①相似三角形的常用判定方法：两角分别相等的两个三角形相似. 如图所示，如果 那么 ②相似三角形的常用性质：三个角对应相等，三条边对应成比例. 如图所示，如果 那么 典型例题 类型1 由铅垂线段求最值 例1 如图，已知抛物线 与x轴相交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点 C.若 P 是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与点 B，C重合)，过点 P作PD∥y轴交直线BC于点D，求 PD的最大值及此时点 P 的坐标. 解: 思路导引 ∴当x=0时,y=4;当y=0时, 解得 第一步 求直线 BC的解析式(已知抛物线的解析式，无需求解)； ∴点C的坐标为(0,4),点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0).第二步 设点，表示出点 P，D的坐标，设点P 的坐标为 4)，则点D的坐标为 将点B(8,0),C(0,4)代入y=kx+b,得 解得 第四步 利用二次函数的性质求最大值. 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0). 第三步 用含m的代数式表示出PD的长度； ∴直线BC的解析式为 设点P的坐标为 则点D的坐标为 ∵P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与点B，C重合)，∴0<m<8. ∴当 时，PD取得最大值4，此时点P的坐标为(4，6). 类型2 由垂线段求最值 例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.若P 是第二象限内抛物线上一动点，求点 P 到直线AC 的距离的最大值. C 则点H(m,m+5), 时，PH 取得最大值，最大值为 解：如图，过点P作 于点E，作 轴交直 线AC 于点H. 点H; ∴当x=0时,y=5; 当y=0时, 解得x=1或x=-5. ∴点C的坐标为(0,5),点A的坐标为(、 点B的 坐标为(1,0). ∴OA=OC. ∴△AOC是等腰直角三角形. ∴∠ACO=45°. ∵PH∥y轴,∴∠PHE=∠ACO=45°. 在Rt△PHE中,∠PHE=45°, 即当 PH取得最大值时，PE也取得最大值. 设直线AC的解析式为y=kx+5. 将点A(--5,0)代入,得0=-5k+5, ∴k=1. ∴直线AC的解析式为y=x+5. 设点 ∵--1<0,-5<m<0, ∴当 ∴点P到直线AC 的距离的最大值为 思路导引 第一步 作辅助线，过点 P 作 第二步 利用 PEPH=22, 把求PE的最大 值转化为求 的最大值问题； 第三步 求直线 AC的解析式(已知抛 物线的解析式，无需求解)； 第四步 设点，表示出点 P，H的坐标， 设点 P的坐标为 则 点H的坐标为 第五步 用含 m的代数式表示出 PH 的长度； 第六步 利用二次函数的性质求出 PH 的最大值，进而得出 PE的最大值. 于点 E,作 轴交直线 AC 于 强化训练 1.如图，已知抛物线 的图象与x轴的一个交点为B(5，0)，另一个交点为A，且与y轴交于点C(0,5). (1)求直线 BC与抛物线的解析式； (2)若M是x轴下方抛物线上的一个动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值. 2.如图，已知抛物线 与x轴的交点为A(--1,0)和B,与y轴的交点为C(0,-3),直线l:y=kx--1与抛物线的交点为A和D. (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图，M为抛物线上一动点(不与点 A，D重合)，当点 M在直线l下方时，过点 M 作MN∥x 轴交直线 l 于点 N,求 MN 的最大值. 3.如图，抛物线 与 x轴的两个交点分别为A，B，与y轴相交于点C,已知点C(0,4). (1)求A，B两点的坐标和抛物线的解析式. (2)设 P 是第一象限内抛物线上的动点(不与点C,B重合),过点P作PD⊥BC,垂足为D,在点 P 的运动过程中，线段 PD 的长度是否存在最大值?若存在，请求出最大值及此时点D 的坐标；若不存在，请说明理由. （三） 动点产生的面积问题 方法指导 1.利用铅垂法求三角形面积 通法宝典： 水平宽×铅垂高 2.动三角形PAB面积的最大值的求法 方法1：利用二次函数的性质求最大值 ①如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AB 于点Q，设动点 P 的横坐标为m； ②利用铅垂法把动三角形PAB的面积用含m 的式子表示出来； ③利用二次函数的性质求最大值. 方法2：利用定底平行线法求最大值 ①如图2，平移直线 AB至直线l； ②当直线l与抛物线只有一个交点P 时，动三角形 PAB 的面积最大. 典型例题 类型1 面积定值问题 例1 如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，P 为第二象限内抛物线上的一点.若△PAC的面积为3，求点 P的坐标. 解：如图，过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q. 思路导引 第一步 过点 P 作. 轴交直线AC 于点Q; 第二步 求出直线 AC 的解析式； 令y=0,得 解得 ∴A(-3,0),B(1,0),C(0,3).第四步 利用两定点 A，C的横坐标之差表示出水平宽，即 利用P，Q两点的纵坐标之差表示出铅垂高，即 在 中,令x=0,得y=3; 第三步 设点表示 P，Q的坐标，设点 P的坐标为 则点Q的坐标为( 将A(-3,0),C(0,3)代入,得 解得 设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0). 第五步 利用 水平宽×铅垂高”求 的面积. ∴直线AC的解析式为y=x+3. 设点 P的坐标为 则点Q的坐标为(a,a+3), 解得 当a=--1时,点P的坐标为( 当a=-2时,点P的坐标为( 综上所述，若 的面积为3，则点 P的坐标为( 或 类型2 面积最值问题 例2 (一题多解)如图，已知抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于点A，B.若D是直线AC下方抛物线上的动点，求 面积的最大值. 解:方法1: 如图,过点D作DE∥y轴交直线AC 于点E. 在 中,令y=0,得 解得 令x=0,得y=-3, ∴A(-4,0),B(1,0),C(0,-3), ∴OA=4. 设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0). 把A(-4,0),C(0,-3)代入y=kx+b,得 解得 ∴直线AC的解析式为 设点D的坐标为 则点E的坐标为 ∴当t=--2时,△ACD的面积有最大值,最大值为6. 思路导引 方法1：利用二次函数的性质求最大值 第一步 过点 D作DE∥y轴交直线AC 于点E; 第二步 求出直线 AC的解析式； 第 三 步 设 点 D 的 坐 标 为 则 点 E 的 坐标为 第四步 利用两定点A，C的横坐标之差表示出水平宽，即xc-xA,利用D，E两点的纵坐标之差表示出铅垂高,即.yE—yD; 第五步 用含 m 的式子表示出△ACD 的面积: 水平宽×铅垂高； 第六步 利用二次函数的性质求最大值. 方法2:思路导引 第二步 求出直线 AC的解析式； 第三步 求出直线l的解析式； 第四步 求点 D的坐标； 第五步 求 面积的最大值. 如图，平移直线AC至直线l，使直线l与抛物线只有一个交点，此时 的面积最大.方法2：利用定底平行线法求最大值第一步 平移直线 AC 至直线l，使直线l与抛物线只有一个交点，过点D作x 轴的平行线交y轴于点F，过点A做y 轴的平行线交直线DF 于点 E,则 过点D作x轴的平行线交y轴于点F，过点A作y轴的平行线交直线DF 于点E. 在 中,令y=0,得 解得 令x=0,得 ∴A(-4,0),B(1,0),C(0,-3). 设直线AC的解析式为. 把A(-4,0),C(0,-3)代入. 得 解得 ∴直线AC的解析式为 ∵AC∥l, ∴设直线l的解析式为 联立 整理，得 令 解得m=-6, ∴直线l的解析式为 联立 解得 强化训练 1.如图，已知抛物线 与x轴交于点A,B(点 A 在点B 的左侧),与y轴交于点C，且抛物线与直线交于A，C两点，D是第二象限内抛物线上的动点，设点 D 的横坐标为m，求△ACD面积的最大值及此时点D的坐标. 2.如图，已知抛物线 与y 轴交于点C,与x轴交于点A,B,直线y=x+3恰好经过B,C两点. (1)求抛物线的解析式. (2)已知D是抛物线上一动点,连接 DB,DC.若△BCD的面积为6，求点 D的坐标. 3.如图，已知抛物线 与x轴交于点A(1,0)和点 B(-3,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)若E为第二象限内抛物线上的一个动点，连接BE,CE,求四边形 BOCE 面积的最大值及此时点E的坐标. （四） 利用“将军饮马”解决线段最值问题 方法指导 1.线段和最小问题 2.线段差最大问题 A 典型例题 例1 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点 D.在抛物线的对称轴上找一点 M，使得 的值最小，求点M的坐标及. 的最小值. 解：∵抛物线 思路导引 ∵当x=0时,y=3;当y=0时, 解得 ∴抛物线的对称轴为x=1. 第一步 分析确定模型，同侧线段和最小问题； 第二步 作对称点，点 A 关于对称轴对称的点为 B，连接 BC，与对称轴的交点即为所求点 M，此时 BC的长度即为 的最小值； 如图，连接BC，与对称轴的交点即为点M,连接MA,∴点A关于对称轴对称的点为B. ∴C(0,3),A(-1,0),B(3,0), 第三步 求直线 BC与对称轴的交点M的坐标及BC的长度. 此时点 M,B,C在同一直线上,MA+MC=MB+MC=BC. 设直线BC的解析式为y=kx+b.把B(3,0),C(0,3)代入,得 解得 直线BC的解析式为y=-x+3. 当x=1时,y=2,∴M(1,2), 此时MA+MC的最小值为BC的长度， ∴MA+MC的最小值为3 ,点M的坐标为(1,2). 例2 如图，抛物线. 与y轴的交点为M，顶点为 N.若P 为x轴上的动点，求|PN-PM|的最大值及此时点 P 的坐标. 解:‘ 思路导引 第一步 分析确定模型，同侧线段差最大问题；∵当x=0时,y=-3, ∴抛物线的顶点 N的坐标为(1,-4). ∴M(0,-3). 第二步 延长NM与x 轴的交点即为所求点 P,即当 P,M,N 三点共线时,|PN-PM|的值最大,最大值为 MN的长度； ∴当P,M,N三点共线时,|PN—PM|取得最大值,最大值为MN的长度.∵|PN--PM|≤MN, 第三步 求直线 MN 与x 轴的交点P的坐标及MN 的长度.如图，连接NM并延长，交x轴于点P. 设直线MN的解析式为y=kx+b. 把M(0,-3),N(1,-4)代入,得 解得 ∴直线MN的解析式为y=-x--3. ∵当y=0时,x=-3,∴P(-3,0). ∵M(0,-3),N(1,-4), 即|PN—PM|的最大值为 .综上所述，|PN-PM|的最大值为 ,此时点P的坐标为(-3,0). 强化训练 1.如图，抛物线 交x轴于A,B两点，交 y轴于点C，直线 BC的解析式为y=一x+3. (1)求抛物线的解析式； (2)在直线BC上找一点P,使 PO+PA的值最小，求点 P 的坐标. 视频讲难题 2.(2022·广元中考节选)如图,直线y=—x—2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y= 经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C. (1)求a，b满足的关系式及c的值； (2)当 时，若 P 是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值. 3.如图，已知抛物线 与直线 交于A,B两点,交 x 轴于C,D两点. (1)求点 A,C的坐标; (2)在抛物线的对称轴l上找一点M，使|MB-MD|的值最大，并求出这个最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$