精品解析：2024年河南省九年级中考数学模拟试卷(六)

河南中考数学模拟试卷 （六） （满分 120分，建议用时100分钟） 一、选择题（ 每小题3分，共30分） 1. 实数， 2，，， 中，最大的数是（ ） A. -3 B. C. 20240 D. 2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法中错误的是（　　） A. 将油滴入水中，油会浮出水面是一个必然事件 B. 1、2、3、4这组数据的中位数是2.5 C. 一组数据的方差越小，这组数据的稳定性越差 D. 要了解某种灯管的使用寿命，一般采用抽样调查 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠CEF＝120°，则∠MPB＝（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 人体红细胞的直径约为0.0000077米，数据0.0000077用科学记数法表示为，则n的值是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 8. 如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，于点，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 9. 已知二次函数y与x的部分对应值如表： x … 0 2 4 … y … 2 2 … 下列结论错误的是（ ） A. 该函数有最大值 B. 该函数图象的对称轴为直线 C. 当时，函数值y随x增大而减小 D. 方程有一个根大于3 10. 如图，是平面直角坐标系中轴上的一点，，以为底构造等腰，且，将沿着射线方向平移，每次平移的距离都等于线段的长，则第2024次平移结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=______． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 13. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89，方差分别是，，，你认为适合选______参加决赛．（填“甲”“乙”或“丙”） 14. 如图，B、E是以AD为直接的半圆O的三等分点，弧BE的长为，作BC⊥AE，交AE的延长线于点C，则图中阴影部分的面积为______. 15. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别为，的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处，连接，点为中点，则的最小值是_________． 三、解答题 （本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简： ． 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A，B两点，点B的坐标为． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）已知点坐标为，求的面积． 18. 某校开展了以“不忘初心，牢记使命”为主题的知识竞赛，现从该校八、九年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用m表示），共分成四个组：A． ，B． ， C． ，D． ．另外给出了部分信息如下： 八年级10名学生成绩： 99， 80，99，86， 99，96，90，100，89，82． 九年级10名学生的成绩在C组的数据：94，90，94． 八、九年级抽取学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 92 93 c 52 九年级 92 b 100 50.4 九年级抽取学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上面图表中的a= ，b= ， c= ； （2）扇形统计图中“D组”所对应的圆心角的度数为 ； （3）该校九年级共有840名学生参加了知识竞赛活动，估计九年级参加此次知识竞赛活动成绩为较好（90≤m<95）的学生有多少人？ （4）现准备从九年级中D组中的甲、乙、丙、丁四个学生中随机选取两个参加市区的比赛，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率． 19. 如图，某建筑物楼顶挂有广告牌，张伟准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以张伟从点A沿坡度为的斜坡步行30米到达点P，测得广告牌底部C点的仰角为，广告牌顶部B点的仰角为，张伟的身高忽略不计，已知广告牌米，求建筑物CO的高度．（参考数据：，，） 20. 重庆市涪陵区是中国规模最大、最集中的榨菜产区，享有中国“榨菜之乡”的美誉．已知3件鲜脆榨菜丝和4件麻辣萝卜干的进价共240元，5件鲜脆榨菜丝和2件麻辣萝卜干的进价共260元． （1）请分别求出每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干进价． （2）某特产店计划用不超过5600元购进鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干共150件，且鲜脆榨菜丝的数量不少于麻辣萝卜干数量的．在销售过程中，每件鲜脆榨菜丝的售价为50元，每件麻辣萝卜干的售价为42元．为了方便顾客选择喜欢的口味，特产店拿出一件鲜脆榨菜丝和一件麻辣萝卜干作为样品让顾客免费品尝（此样品不再销售给顾客）．若剩下的特产全部都卖完，该特产店应如何进货，可使利润最大？最大利润为多少元？ 21. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 阿基米德折弦定理 从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦，如图1．古希腊数学家阿基米德发现，若，是的折弦．是的中点，于点，则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”． 证明如下：如图2，在上截取，连接，，，． 则（依据1）． ∵是的中点，∴， ∴． 在和中， ∴，∴． ∵于点，∴（依据2）． ∴． 任务： （1）填空：材料中的依据1是指________________；依据2是指________________． （2）如图3，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，求的长． 22. 如图，已知抛物线 顶点 D的坐标为，与x轴的正半轴交于点 A，与y轴交于点B，连接． （1）求b，c的值； （2）点在抛物线y1上，当时， 请根据图象直接写出n的取值范围； （3）将抛物线向右平移1个单位得到抛物线，与交于点 C，将点C向下平移k个单位，使得点C落在线段上，求k的值． 23. 随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：【观察猜想】-【探究证明】-【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题： 已知：如图1所示将一块等腰三角板放置与正方形的重含，连接、，E是的中点，连接． 【观察猜想】 （1）与的数量关系是________，与的位置关系是___________； 【探究证明】 （2）如图2所示，把三角板绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与的关系是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）若旋转角，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南中考数学模拟试卷 （六） （满分 120分，建议用时100分钟） 一、选择题（ 每小题3分，共30分） 1. 实数， 2，，， 中，最大数是（ ） A. -3 B. C. 20240 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，根据负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴最大的数是； 故选：D． 2. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， B选项图形即中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意， 故选：D； 【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形． 3. 下列说法中错误的是（　　） A. 将油滴入水中，油会浮出水面是一个必然事件 B. 1、2、3、4这组数据的中位数是2.5 C. 一组数据的方差越小，这组数据的稳定性越差 D. 要了解某种灯管的使用寿命，一般采用抽样调查 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A．将油滴入水中，是一定会发生的事件，故油会浮出水面是一个必然事件，故A选项正确； B．1、2、3、4这组数据的中位数是(2+3)÷2=2.5，故B选项正确； C．一组数据的方差越小，这组数据的稳定性越强，故C选项错误； D．要了解某种灯管的使用寿命，具有破坏性，一般采用抽样调查． 故选D． 考点：1.随机事件2.全面调查与抽样调查3.中位数4.方差． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再将解集表示在同一数轴上即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得：x≥-1， 解不等式②，得：x＜2， 将不等式的解集表示在同一数轴上： 所以不等式组的解集为-1≤x＜2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，关键是正确求出每一个不等式解集，并会将解集表示在同一数轴上． 5. 如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠CEF＝120°，则∠MPB＝（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠EFP=∠CEF=120°， ∴∠MPF=∠EFP-∠M=120°-90°=30°， ∴∠MPB=180°-∠MPF=180°-30°=150°， 故选：D． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 7. 人体红细胞的直径约为0.0000077米，数据0.0000077用科学记数法表示为，则n的值是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：，则． 故选：D． 8. 如图，在菱形中，，，点是对角线的中点，于点，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质求出CD=8，∠ODC=30°，在Rt△DOC中，利用锐角三角函数求出OD，在Rt△DOE中，利用锐角三角函数求出OE即可 【详解】解：连接OC， ∵四边形是菱形，点O为对角线的中点， ∴OC⊥BD，AB=AD=DC=8，DC∥AB， ∵∠BAD=120°， ∴∠ADB=∠ABD=， ∴∠CDB=∠ABD=30°， 在Rt△DOC中， ∴OD=CDcos30°=， ∵， ∴△DCE是直角三角形， ∴OE=ODsin30°=． 故选择：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，掌握菱形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数是解题关键． 9. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 2 4 … y … 2 2 … 下列结论错误的是（ ） A. 该函数有最大值 B. 该函数图象的对称轴为直线 C. 当时，函数值y随x增大而减小 D. 方程有一个根大于3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上坐标点的特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：A、由表格中的数据可得，该函数有最大值，故选项正确，不符合题意； B、该函数图象的对称轴为直线，故选项正确，不符合题意； C、当时，y随x的增大而减小，故选项正确，不符合题意； D、由表格中的数据可得该函数图象的对称轴为直线，且方程有一个根， 方程有一个根，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，是平面直角坐标系中轴上的一点，，以为底构造等腰，且，将沿着射线方向平移，每次平移的距离都等于线段的长，则第2024次平移结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，平面直角坐标系中平移规律探索，作于点C，利用等腰三角形“三线合一”的性质可得，，再解求出点B坐标，找出平移后点B坐标的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：如图，作于点C， ，，，， ，， ， ， 由图观察可知，第1次平移相当于点向上平移1个单位，向右平移个单位，第2次平移相当于点向上2平移个单位，向右平移个单位，…… 以此类推，第n次平移后点的对应点坐标为， 第2024次平移结束时，点的对应点的坐标为，即， 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 13. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89，方差分别是，，，你认为适合选______参加决赛．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，解决本题的关键是明晰方差的意义．由于平均数都相同，根据方差作出判断即可． 【详解】 根据方差的意义：方差越小，数据越稳定； 故甲的成绩最稳定，选择甲适合参加决赛． 故答案为：甲． 14. 如图，B、E是以AD为直接的半圆O的三等分点，弧BE的长为，作BC⊥AE，交AE的延长线于点C，则图中阴影部分的面积为______. 【答案】. 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC-S扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可． 【详解】解：连接BD，BE，BO，EO， ∵B，E是半圆弧的三等分点， ∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°， ∴∠BAC=∠EBA=30°， ∴BE∥AD， ∵弧BE的长为， ， 解得：R=2， ∴AB=ADcos30°=2， ， ， ， ∵△BOE和△ABE同底等高， ∴△BOE和△ABE面积相等， ∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S扇形BOE=. 【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△BOE和△ABE面积相等是解题关键． 15. 如图，在平行四边形中，，，，点，分别为，的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处，连接，点为中点，则的最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得，知当取得最小值时，取得最小值，由折叠知，点在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，当点运动到线段上时，取得最小值，为，过点作于点，根据的直角三角形的性质可得的长与的长，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值，即可求出的最小值． 【详解】解：连接，，过点作于点，如图所示，则， ∵点为的中点，点为中点， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵平行四边形中，，点为的中点， ∴， 由折叠知，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动， 当点运动到线段上时，取得最小值，最小值为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形折叠．熟练掌握平行四边形性质，折叠性质，三角形中位线定理，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 三、解答题 （本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简： ． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先依次二次根式，差的绝对值，负指数幂，除法，再合并即可； （2）先对括号里的分式进行通分计算，再与外面的分式运算即可． 本题考查实数的混合运算和分式的化简，能理解对应的运算法则且注意运算顺序是解题的关键． 【详解】解：（1） ． （2） 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A，B两点，点B的坐标为． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）已知点坐标为，求的面积． 【答案】（1），； （2）12． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）求得直线与轴的交点的坐标，一次函数和反比例函数的交点的坐标，然后根据求得即可． 【小问1详解】 解：∵将分别与中，得： ，， 解得：，， ∴一次函数和反比例函数的解析式分别为：，； 【小问2详解】 把代入得，， ∴，则， 联立，解得：或，即， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，熟知待定系数法是解题的关键． 18. 某校开展了以“不忘初心，牢记使命”为主题的知识竞赛，现从该校八、九年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用m表示），共分成四个组：A． ，B． ， C． ，D． ．另外给出了部分信息如下： 八年级10名学生的成绩： 99， 80，99，86， 99，96，90，100，89，82． 九年级10名学生的成绩在C组的数据：94，90，94． 八、九年级抽取学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 八年级 92 93 c 52 九年级 92 b 100 50.4 九年级抽取学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上面图表中的a= ，b= ， c= ； （2）扇形统计图中“D组”所对应的圆心角的度数为 ； （3）该校九年级共有840名学生参加了知识竞赛活动，估计九年级参加此次知识竞赛活动成绩为较好（90≤m<95）的学生有多少人？ （4）现准备从九年级中D组中的甲、乙、丙、丁四个学生中随机选取两个参加市区的比赛，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率． 【答案】（1）40；94；99 （2） （3）252 （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到、、的值； （2）根据扇形统计图中的数据可以得到扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数； （3）总人数乘以样本中对应比例即可； （4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好选到甲，丁两位同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解： 九年级10名学生的成绩在组的数据：94，90，94， 所占的百分比为：， ，即的值为40， 九年级成绩的中位数为， 八年级成绩的众数， 故答案为：40，94，99； 【小问2详解】 解：扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数为， 故答案为：； 小问3详解】 解：（人， 答：估计九年级参加此次知识竞赛活动成绩在组的学生有252人； 【小问4详解】 解：画树状图为： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽到甲和丁的有2种结果， 所以恰好选到甲，醒两位同学的概率为． 【点睛】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、统计表、中位数、众数、方差，用列表法或树状图法求概率．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19. 如图，某建筑物楼顶挂有广告牌，张伟准备利用所学的三角函数知识估测该建筑的高度．由于场地有限，不便测量，所以张伟从点A沿坡度为的斜坡步行30米到达点P，测得广告牌底部C点的仰角为，广告牌顶部B点的仰角为，张伟的身高忽略不计，已知广告牌米，求建筑物CO的高度．（参考数据：，，） 【答案】约为米 【解析】 【分析】过点P作于E，于F，则，结合图形，利用锐角三角函数分别求解、，进而求得、即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于E，于F，则， ∵，即， ∴，又米， ∴米， ∵，， ∴，， ∵，米， ∴，解得（米)， ∴（米）， 答：建筑物CO的高度约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答是解答的关键． 20. 重庆市涪陵区是中国规模最大、最集中的榨菜产区，享有中国“榨菜之乡”的美誉．已知3件鲜脆榨菜丝和4件麻辣萝卜干的进价共240元，5件鲜脆榨菜丝和2件麻辣萝卜干的进价共260元． （1）请分别求出每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价． （2）某特产店计划用不超过5600元购进鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干共150件，且鲜脆榨菜丝的数量不少于麻辣萝卜干数量的．在销售过程中，每件鲜脆榨菜丝的售价为50元，每件麻辣萝卜干的售价为42元．为了方便顾客选择喜欢的口味，特产店拿出一件鲜脆榨菜丝和一件麻辣萝卜干作为样品让顾客免费品尝（此样品不再销售给顾客）．若剩下的特产全部都卖完，该特产店应如何进货，可使利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价分别为元、元． （2）购进鲜脆榨菜丝90件，麻辣萝卜干60件时，可使利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题干中的等量关系正确列式是解题关键． （1）设每件鲜脆榨菜丝的进价为元，每件麻辣萝卜干的进价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设利润为，鲜脆榨菜丝的数量为件，则麻辣萝卜干的数量为件，先根据题意列一元一次不等式组，求出的取值范围，再根据题意列出关于的一次函数，利用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设每件鲜脆榨菜丝的进价为元，每件麻辣萝卜干的进价为元， 由题意得：，解得：， 答：每件鲜脆榨菜丝和麻辣萝卜干的进价分别为元、元． 【小问2详解】 解：设利润为，鲜脆榨菜丝的数量为件，则麻辣萝卜干的数量为件， 由题意得：， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 当，时，有最大值，最大值为元， 即购进鲜脆榨菜丝90件，麻辣萝卜干60件时，可使利润最大，最大利润为元． 21. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 阿基米德折弦定理 从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦，如图1．古希腊数学家阿基米德发现，若，是的折弦．是的中点，于点，则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”． 证明如下：如图2，在上截取，连接，，，． 则（依据1）． ∵是的中点，∴， ∴． 在和中， ∴，∴． ∵于点，∴（依据2）． ∴． 任务： （1）填空：材料中的依据1是指________________；依据2是指________________． （2）如图3，是的直径，是上一点，且满足，若，的半径为10，求的长． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等；等腰三角形三线合一． （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论和等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质即可得到答案； （2）过点作于点．先求出，再求出，从而得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：同弧所对的圆周角相等；等腰三角形三线合一． 【小问2详解】 如图，过点作于点， ∵是的直径， ∴∠， ∵，圆的半径为10， ∴， ∴， ∵， ∴是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 22. 如图，已知抛物线 的顶点 D的坐标为，与x轴的正半轴交于点 A，与y轴交于点B，连接． （1）求b，c的值； （2）点在抛物线y1上，当时， 请根据图象直接写出n的取值范围； （3）将抛物线向右平移1个单位得到抛物线，与交于点 C，将点C向下平移k个单位，使得点C落在线段上，求k的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线顶点坐标可得抛物线对称轴，从而可得b的值，将顶点坐标代入解析式求c的值． （2）将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及对称轴求解． （3）求出平移后抛物线解析式，联立两抛物线方程可得点C坐标，求出直线解析式，将点C平移后的坐标代入直线解析式求解． 【小问1详解】 ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入得， 解得． 【小问2详解】 由（1）得， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴时，y随x增大而增大， ∴时，． 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线向右平移1个单位得到抛物线， 令， 解得， ∴点C坐标为， 将代入得， ∴点B坐标为， 令， 解得或， ∴点A坐标为， 设直线解析式为， 将，代入得 ， 解得 ， ∴， 点C向下平移k个单位后坐标为， 将代入得， 解得． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的平移、二次函数与方程及不等式的关系． 23. 随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：【观察猜想】-【探究证明】-【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题： 已知：如图1所示将一块等腰三角板放置与正方形的重含，连接、，E是的中点，连接． 【观察猜想】 （1）与的数量关系是________，与的位置关系是___________； 【探究证明】 （2）如图2所示，把三角板绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与的关系是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）若旋转角，且，求的值． 【答案】（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）设证明，由点是的中点，得到，进而求解； （2）证明和，得到，，进而求解； （3）证明，过点作于点，设，则，，则，即可求解． 【详解】解：（1）设交于点， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ，， 点是的中点，则，即， ， ， 即， 故答案为：，CM⊥BE； （2），，仍然成立． 如图所示，延长至使，连接， ，， ， ，， ，， ， 而， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）由得， ，则， 由（2）知，， ， 过点作于点，设，则，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、直角三角形中线定理、解直角三角形、三角形全等等，综合性强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$